新高考数学二轮复习讲义专题07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（原卷版）

专题07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式【考点专题】1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝αr扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr23.任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).5．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限6．常见特殊角的三角函数值n0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02πsinSKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00-10cosSKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-101SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0-SKIPIF1<0-1-SKIPIF1<0007．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ8．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式变形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.9．辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).（其中SKIPIF1<0）＝eq\r(a2＋b2)cos(x—φ).（其中SKIPIF1<0）【方法技巧】1．求三角函数值(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．2．同角三角函数基本关系式的应用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3．诱导公式(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.4．三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).5．给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．=1\*GB3①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．=2\*GB3②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．6．已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．7．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明=1\*GB4㈠分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．=2\*GB4㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq\r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan

eq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝tan

eq\f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．【核心题型】题型一：定义法求三角函数值1．（2022·吉林延边·高三阶段练习）若点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，则SKIPIF1<0的值为（）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<02．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知角SKIPIF1<0的终边上有一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021秋·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考阶段练习）已知锐角SKIPIF1<0终边上一点A的坐标为SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的弧度数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：利用三角函数符号判断角所在象限4．（2017·全国·校联考二模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是(

)A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．（2019秋·河北衡水·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则点PSKIPIF1<0所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2022·浙江·模拟预测）已知SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“角SKIPIF1<0为第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要题型三：知一求二7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）在三角形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________．题型四：齐次式法求值10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型五：整体代换法诱导公式化简求值13．（2014·高三课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.题型六：给值求角16．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值为_____．题型七：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题19．（2023·全国·高三专题练习）以下关于SKIPIF1<0的命题，正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增B．直线SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一条对称轴C．点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象的一个对称中心D．将函数SKIPIF1<0图象向左平移SKIPIF1<0个单位，可得到SKIPIF1<0的图象20．（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．021．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求函数的SKIPIF1<0最小值及相应的SKIPIF1<0值；(3)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的增区间（直接写出结论）.题型八：三角恒等变换与平面向量结合问题22．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调增区间．24．（2020秋·吉林·高三校考期中）已知向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0(1)用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0及SKIPIF1<0.(2)求函数SKIPIF1<0的最小值及SKIPIF1<0的值.【高考必刷】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限2．（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0在第一象限，则在SKIPIF1<0内的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（广东省河源市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知角SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021秋·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．37．（2021·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．39．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）若SKIPIF1<0是第二象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，10．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．411．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．212．（2022秋·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2018·高三课时练习）已知在△ABC中，cosSKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0，那么sinSKIPIF1<0＋cosA＝()A．SKIPIF1<0 B．－SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第二象限的角，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．-518．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是锐角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0不能取（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的一条对称轴为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的一个对称中心为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的图象可由SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位得到22．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有1个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州一中校考阶段练习）已知：函数SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．将SKIPIF1<0的图像向右平移SKIPIF1<0个单位长度得SKIPIF1<0的图像B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0对称二、多选题24．（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<025．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则下列说法错误的是（

）A．将SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位得到函数SKIPIF1<0的图象B．函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条对称轴D．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个对称中心26．（2022·浙江·模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减C．SKIPIF1<0的图象向左移SKIPIF1<0个单位，图像关于SKIPIF1<0轴对称D．SKIPIF1<0取最大值时，x的取值集合为SKIPIF1<027．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题29．（2022·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，则SKIPIF1<0_________.30．（2018·高三课时练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于________．31．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<