初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题08线段和差问题的2种处理方法含答案及解析

专题08线段和差问题的2种处理方法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、等量代换法 3类型二、截长补短法 5压轴能力测评 71用SSS判定两个三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.2用SAS判定两个三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.备注：如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定两个三角形全等的方法方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.4用HL判定两个直角三角形全等的方法方法技巧：HL只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.类型一、等量代换法通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题。例．如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，①求证：△ADC≌△CEB．②求证：DE=AD+BE.(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由.【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；【变式训练2】．已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′的位置．

（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．【变式训练3】．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(2)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，请直接写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．类型二、截长补短法和宜并之差宜贴，短则补之长则截。截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段。无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过全等实现。例．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线．(1)求的度数；(2)若，求的长．【变式训练1】．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：；【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明；【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②．【变式训练2】．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式训练3】．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明；(3)探究线段之间的数量关系，并证明．1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．42．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．93．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．4．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（

）A．3 B．9 C．11 D．155．如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（

）A．30 B．40 C．50 D．606．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定7．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．8．已知与都是等腰直角三角形，且．求证：(1)；(2)．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

专题08线段和差问题的2种处理方法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、等量代换法 3类型二、截长补短法 8压轴能力测评 161用SSS判定两个三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用边边边证明三角形全等，只要找到对应边分别相等，即可证明！三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.备注：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.2用SAS判定两个三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用边角边证明两三角形全等，这个角必须是两对应边的夹角，切不可看成是SSA，SSA是不能作为判定三角形全等的方法的。（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.备注：如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定两个三角形全等的方法方法技巧：此类主要是利用两角和一边，注意这个边可以是两角的夹边，也可以是角的对边或邻边！两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.备注：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）备注：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.4用HL判定两个直角三角形全等的方法方法技巧：HL只适用于直角三角形的判定，指的是一直角边和一斜边。（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.备注：1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.类型一、等量代换法通过用图中相等的一条线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两线段相等的问题，通过全等得到线段等，直接代换，将分散的线段转化到同一直线上解决问题。例．如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，①求证：△ADC≌△CEB．②求证：DE=AD+BE.(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由.【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）△ADC≌△CEB；理由见解析【分析】（1）①要证△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一边AC=CB对应相等，由题意根据同角的余角相等，可得另一内角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定；②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE；（2）同理，根据上一小题的解题思路，易得△ADC≌△CEB.【详解】（1）①∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）②∵△ADC≌△CEB∴AD=CE，BE=CD又∵DE=CD+CE∴DE=AD+BE（2）△ADC≌△CEB；∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过P点作PD⊥AB于点D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，利用"角角边"，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证．【详解】证明：（1）∵是由旋转得到，∴，∴，∵∠C=90°，AP′⊥AB∴，又∵∴（2）如图，过P点作PD⊥AB于点D，∵∴，∵∴∴在和中，∴∴∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线的性质作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练2】．已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′的位置．

（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）5【分析】由已知绕点顺时针旋转至，运用ΔABC是等边三角形联想：绕点顺时针旋转至，问题转化为将绕点顺时针旋转至，运用旋转的性质解题．【详解】解：（1）’是等边三角形．理由：绕点顺时针旋转至，，；是等边三角形．（2）是等边三角形，，，；在△中，由勾股定理得，∵,∴∠ABP=∠CB，在△ABP和中，，∴（SAS）．【点睛】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．【变式训练3】．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(2)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，请直接写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【答案】（1）AF=EC．（2）AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【详解】试题分析：（1）证明△AOF≌△COE即可；（2）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．试题解析：（1）证明：当∠AOF=90°时，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．在△AOF和△COE中．∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．（2）解：四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE由（1）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，AC=，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∴∠AOF=45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．考点：1.菱形的判定；2.平行四边形的判定与性质；3.旋转的性质．类型二、截长补短法和宜并之差宜贴，短则补之长则截。截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段。无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过全等实现。例．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)度(2)10【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．（1）由题意，根据，即可解决问题；（2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题．【详解】（1）解：∵为的角平分线，∴∵，∴，∴（2）解：在上截取，连接．∵为的角平分线．∴，∵，∴，∵∴，∴∴，又∵，∴∴，∴【变式训练1】．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：；【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明；【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②．【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②．【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论；（2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题；（3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题．【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，

，都是等边三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如图2，在上取一点，使得，

是等边三角形，，，是等边三角形，，，，是外角平分线，，，，，，，，，，，，；（3）解：①，②都是定值，证明如下：如图3，在上取一点，使得，

和均为正三角形，，，三点共线，，，由（1）知：，，，，，，是等边三角形，，过点作，，垂足分别为，，，的面积的面积，，，，，，，①；②，，，．综上所述：①，②都是定值．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出图形寻找全等三角形．【变式训练2】．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．【详解】（1）解：在上截取，连接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式训练3】．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明；(3)探究线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)相等，见解析(3)，见解析【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证；（2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解；（3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解．【详解】（1）解：∵在和中，∵，，，∴，∴．（2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，由（1）可知，，设，∵，∴，且，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，

∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，由（2）可知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，则是等腰三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论．【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识．2．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如图，在上截取连接证明利用全等三角形的性质证明求解再证明从而可得答案．【详解】解：如图，在上截取连接平分故选：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，，∴CH==，即：CE+EF的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．4．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．5．如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，证得进而求出和即可求出四边形的面积．【详解】解：由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，∵平分，∴，∵，∴,,∵，，，，∴,∴,,∴四边形的面积为:;故选：C．【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理和角平分线性质是解题的关键．6．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.7．如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．【答案】证明见解析【分析】解法一：延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明；解法二：作的中点E，连接、，根据直角三角形得到性质就可以得出，由平分就可以得出，从而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出，证，推出，从而得到结论．【详解】解法一：解：延长、相交于点，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；解法二：解：取的中点E，连接、，∵，∴，∴，∵，∴A，B，C，D四点共圆，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．已知与都是等腰直角三角形，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）与都是等腰直角三角形得到两组对边分别相等，利用两直角都加一个公用角推得，利用