初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题14全等三角形中动点问题的四种类型含答案及解析

专题14全等三角形中动点问题的四种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、分类讨论的动点问题 1类型二、分动点相遇问题 3类型三、动点中的线段关系 5类型四、动点与面积 7压轴能力测评 9全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。注意：很多情况下，在不明确对应边或对应角的时候，注意分类讨论的问题。类型一、分类讨论的动点问题例．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．(1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，①与是否全等，请说明理由；②判断线段和线段的关系？(2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，；(1)分别求出A、B两点的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒．点P在动过程中，若，求此时t的值；(3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由．【变式训练2】．如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点．(1)如图1，当，且点在上，点在上时，①用含的式子分别表示和：________，________．②当时，与全等吗？请说明理由．(2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由．【变式训练3】．如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．(1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半：(2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．类型二、分动点相遇问题例．如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？【变式训练1】．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)．(1)用含t的代数式表示线段PC的长度；(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(4)若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式训练2】．如图，已知正方形的边长为20cm，点E在AB边上，．(1)如果点P在线段上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段上由C点向D点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？并说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，？(2)如果点P，点Q不同时出发，点P从点B出发1秒时，点Q从点C出发，两点都沿正方形四边逆时针运动，点P的运动速度是点Q运动速度的1.2倍，点P运动96cm时与点Q相遇，求点Q的运动速度．【变式训练3】．如图，已知中，，点D为的中点．(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？类型三、动点中的线段关系例．【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若，，探究与的关系，并说明理由．【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值．【变式训练1】．如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，①试说明．②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由．(2)如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值．【变式训练2】．点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，O为中点．

(1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，①试判断的形状，并说明理由；②若正方形边长为4，当点为的中点，则的长为______．(2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系，并说明理由．(3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为______．【变式训练3】．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段与满足的关系，并说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其它条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

类型四、动点与面积 例．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内．(1)如图1，若，求点C的坐标．(2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．(3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，，点，且．已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为ts．(1)求A，C两点的坐标；(2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积；(3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值，并直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．

(1)当时，；当时，；(2)如图①，当时，的面积等于面积的一半；(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．【变式训练3】．如图1，在长方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．点P从D出发，以1cm/s的速度在射线DC上运动，设点P的运动时间为t秒．(1)t＝s时，DP＝AD；(2)当t为何值时，△APC的面积等于6cm2；(3)如图2，当P从D点开始运动的同时，点Q从C点出发，以xcm/s的速度在线段CB上运动，是否存在这样的x的值，使得△ADP与△PCQ全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．1．如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，①试说明．②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由．(2)如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值．2．已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在轴的负半轴上，．（1）如图1，求点的坐标；（2）如图2，点从出发以每秒1个单位长度向点运动，运动时间为，设的面积为，求与的关系，并写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，延长交于点，若，求与的比值．3．如图①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，点M和点N是动点，分别从A，C出发，以相同的速度沿AC，CB边上运动．（1）判断DM与DN的关系，并说明理由；（2）若AC=BC=2，请直接写出四边形MCND的面积；（3）如图②，当点M运动到C点后，将改变方向沿着CB运动，此时，点N在CB延长线上，过M作ME⊥CD于点E，过点N作NF⊥DB交DB延长线于F，求证：ME=NF．4．如图1，在中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点．(1)求证：；(2)若直线绕点A旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何，请证明；(3)若直线绕点A旋转到图3时，其余条件不变，与，的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．(4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述与，的关系．5．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为．(1)当，两点相遇时，求的值；(2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示）(3)当与全等时，求的值．6．如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．

(1)若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由．(2)若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．(3)若点、点分别以（2）中的速度同时从点，出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点与点第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．7．如图，已知中，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向A点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等？请说明理由；②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？8．（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且．(1)求线段的长；(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．9．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发．分别过、两点作垂直于过点的直线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）：(1)当、两点相遇时，求的值；(2)在整个运动过程中，求的长（用含的代数式表示）(3)当与全等时，请直接写出的值．10．如图1，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．

(1)_________（用含的代数式表示）(2)如图2，当点从点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

专题14全等三角形中动点问题的四种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、分类讨论的动点问题 1类型二、分动点相遇问题 11类型三、动点中的线段关系 17类型四、动点与面积 24压轴能力测评 34全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。注意：很多情况下，在不明确对应边或对应角的时候，注意分类讨论的问题。类型一、分类讨论的动点问题例．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．(1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，①与是否全等，请说明理由；②判断线段和线段的关系？(2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①全等，理由见解析；②与的关系是垂直且相等(2)存在或使得与全等【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．（1）①当时，，，即可证得；②利用，得出，，进一步得出得出结论即可；（2）与全等，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可．【详解】（1）①全等，理由如下：当时，，，又，在和中，．②由①得，，线段与线段垂直，因此、与的关系是垂直且相等；（2）由题意可得：，，，，①若，则，，∴，解得；②，则，，∴，解得，综上所述，存在或使得与全等．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，；(1)分别求出A、B两点的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒．点P在动过程中，若，求此时t的值；(3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存，在请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N点坐标为或或【分析】（1）由及面积关系，即可求得；（2）由，得，由面积公式即可求得t的值；（3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点A作轴于A，使得，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点B作轴于B，使得连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标．【详解】（1）解∶，，或（舍），；（2）解：由题意知：，，，，，，；（3）解：当时，；轴⊥轴，，，，在中，，，，；在和中，，．，；①当点N在上，且时，则，且，，；，，；②过点A作轴于A，使得连接，，，，，，，则轴，，，；③过点B作轴于B，使得连接，与②同理得：，轴，

，；综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等，N点坐标为或或．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，注意分类讨论．【变式训练2】．如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点．(1)如图1，当，且点在上，点在上时，①用含的式子分别表示和：________，________．②当时，与全等吗？请说明理由．(2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)①②全等，理由见解析(2)有可能，的值为1或3.5或12【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论．（1）①由题意得：：，，即可得出答案；②由证明即可；（2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时，则，，得；②当点P与点Q重合，与全等，然后计算出t的值即可；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，，即可得出结论．【详解】（1）解：①由题意得：，，则，，故答案为：；②当时，与全等，理由如下：当时，，，∴，∵，∴，又∵于E，于F，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）当时，与有可能全等，分三种情况：①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示：

则，∴，解得：；②如图2所示：

∵点P与点Q重合，∴与全等，∴，∴．解得：．③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示：

则，∴，∴，即满足条件的t值为或或．【变式训练3】．如图（1），在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．(1)如图（1），当________时，的面积等于面积的一半：(2)如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好全等于，求点的运动速度．【答案】(1)或(2)或或或【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．（1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；（2）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．【详解】（1）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半，

∴，∴，当在上时，如图，的面积等于面积的一半，

∴，∴，综上所述，当为或时，的面积等于面积的一半．（2）解：设点Q的运动速度为，①当点P在上，点Q在上，时，∴，

∴，解得；②当点P在上，点Q在上，时，∴，

∴，解得；③当点P在上，点Q在上，时，∴，

∴点P的路程为，点Q的路程为，∴，解得；④当点P在上，点Q在上，时，∴，

∴点P的路程为，点Q的路程为，∴，解得；∴Q运动的速度为或或或．类型二、分动点相遇问题例．如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？【答案】(1)①全等，理由见详解；②(2)经过后，点与点第一次在边上相遇【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等；②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据“路程速度时间”公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长．【详解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，点为的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假设，且，∴，∵，，∴，，∴点，点运动的时间，∴点的速度为：，∴当点的运动速度为时，与全等，故答案为：．（2）解：设经过后点相遇，∴，解得，，∴点共运动了，∵，∴点，点在边上相遇，∴经过后，点与点第一次在边上相遇．【点睛】本题主要考查运用“路程速度时间”的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解题的关键．【变式训练1】．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=8cm，BC=6cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为t(秒)．(1)用含t的代数式表示线段PC的长度；(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(4)若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】(1)(2)点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，理由见详解(3)当点Q的运动速度为时，能够使△BPD与△CQP全等，理由见详解(4)经过9秒，点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解；（2）由题意易得，进而问题可求解；（3）根据题意可分当时和当时，然后分类求解即可；（4）由（3）及题意可得方程，求出t的值，进而问题可求解．【详解】（1）解：由点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，且运动时间为t(秒)可得：，∵BC=6cm，∴；（2）解：若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD≌△CQP，理由如下：∴，∵点D为AB的中点，AB=AC=8cm，∴，由（1）可得：，∴，∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）解：由题意可分：①当，即时，∴，解得：，∴点Q与点P的运动速度相等，故不符合题意；②当，即时，∴，解得：，∴点Q的运动速度为：，综上所述：当点Q的运动速度为时，能够使△BPD与△CQP全等；（4）解：由（3）可知点Q的运动速度为，由题意得：，解得：，∴经过9秒，点P、Q第一次相遇，∴点Q的运动路程为（cm），∵△ABC的周长为AB+AC+BC=22（cm），∴，∴经过9秒，点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．【点睛】本题主要考查动点问题结合全等三角形的性质与判定，熟练掌握动点问题与全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式训练2】．如图，已知正方形的边长为20cm，点E在AB边上，．(1)如果点P在线段上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段上由C点向D点运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等？并说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，？(2)如果点P，点Q不同时出发，点P从点B出发1秒时，点Q从点C出发，两点都沿正方形四边逆时针运动，点P的运动速度是点Q运动速度的1.2倍，点P运动96cm时与点Q相遇，求点Q的运动速度．【答案】(1)①不全等，见解析，②(2)4cm/s【分析】（1）①由全等三角形的判定可得结论；②由全等三角形的性质可得，可求t的值，即可求解；（2）设点Q的运动速度为xcm/s,则点P的运动速度为1.2xcm/s,由点P运动96cm时与点Q相遇，列出方程可求解．【详解】（1）①与不全等，理由如下：∵四边形是正方形，∴，当时，，∴，∵，∴，∴与不全等；②∵，∴，∴，∴点Q的运动速度为：；∴当点Q的运动速度为时，；（2）设点Q的运动速度为xcm/s，则点P的运动速度为1.2xcm/s，由题意可得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：点Q的运动速度为4cm/s．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分式方程的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【变式训练3】．如图，已知中，，点D为的中点．(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒(2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得结果；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，据此列出方程，解这个方程即可求得结果.【详解】（1）①全等，因为（秒，所以（厘米），（厘米），为中点，（厘米），（厘米），，，在与中，，；②因为，所以，因为，要使与全等，只能，即，故，所以点、的运动时间：（秒，此时（厘米秒）；（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，设经过秒后与第一次相遇，依题意得，解得（秒，此时运动了（厘米），又因为的周长为56厘米，，所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，，解得：，，，，，点在边上．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．类型三、动点中的线段关系例．【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若，，探究与的关系，并说明理由．【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值．【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论．基础巩固：根据证明，进而解答即可；尝试应用：根据证明，进而解答即可；拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类．【详解】解：基础巩固：．理由：，，，，在与中，，，，，，，；尝试运用：．当时，，，，，由基础巩固中的结论可知：；拓展提高①若设运动时间为时，则，可得：，，；②若设运动时间为时，，则，可得：，，，，综上所述，当与全等时的x值为2或．【变式训练1】．如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，①试说明．②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由．(2)如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值．【答案】(1)①见解析；②，；见解析(2)，或，【分析】（1）①由已知条件推出，，，即可根据“”证明全等；②结合①的结论，利用全等三角形的性质证明，即可；（2）分别讨论和时的情况，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：，，．理由：①∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，②∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①若，则，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，则，，由可得：，∴，由可得：，∴，综上所述，当与全等时，x和t的值分别为，或，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明和全等解答，解决此题注意分类讨论．【变式训练2】．点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，O为中点．

(1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，①试判断的形状，并说明理由；②若正方形边长为4，当点为的中点，则的长为______．(2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系，并说明理由．(3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为______．【答案】(1)(2)理由见解析．(3)【分析】（1）①根据点P在线段上，利用三角形的全等判定可以得出问题；②勾股定理得出，根据①的结论即可求解；（2）过点作交于点，交于点，过点作于点，设，分别求得，，即可求解；（3）根据题意得出点的起始点，进而根据三角形的中位线的性质即可求解．【详解】（1）①是等腰直角三角形，理由如下：连接，如图所示，

四边形是正方形，，，，（），，，，，，，，由四边形内角和为，，，，且；∴是等腰直角三角形，理由见解析②若正方形边长为，当点为的中点，则，在中，，∵是等腰直角三角形，∴，故答案为：．（2）如图所示，过点作交于点，交于点，过点作于点，

∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形，设则∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，取中点，连接，当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，

∴当点从点运动到点时，点所经过的路径长为的长，∵，∴,则∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练3】．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断线段与满足的关系，并说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其它条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）PC=PQ且PC⊥PQ，证明见解析；（2）存在，①x=2，t=1，②x=3，t=2，详情见解析；【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，可得PC=PQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出PC⊥PQ；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可；【详解】证明：（1）PC=PQ且PC⊥PQ；理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，当时，AP=BQ=2，∴BP=AB-AP=8-2=6，∴BP=AC=6，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴PC=PQ，∴∠C=∠QPB，∵∠APC+∠C=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC=PQ且PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt，解得：x=2，t=1；②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t，解得：x=3，t=2.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.类型四、动点与面积 例．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内．(1)如图1，若，求点C的坐标．(2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．(3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．【答案】(1)点C的坐标为(2)点C，D之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析(3)【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．（1）过点C作轴于点，利用互余可证，进而利用可证明，可得，，由，可得点的坐标；（2）连结，利用互余可证，进而利用可证明，可得，即可得结论；（3）过点C作轴于点F，由（1）可知，，得，结合题意可知，，再证，得，根据，，可得，即，得，根据即可求解．【详解】（1）解：过点C作轴于点，，，，，在和中，，，，．，∴点C的坐标为．（2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下：连结，，，在和中，，．，即：点C，D之间的距离是为定值；（3）过点C作轴于点F，由（1）可知，，，，，．，，，，，，由题可知，，．，．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，，点，且．已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为ts．(1)求A，C两点的坐标；(2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积；(3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值，并直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，当，点Q的坐标是或，或当，点Q的坐标是或时，与全等【分析】（1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出的值即可；（2）先表示出，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（3）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，即，∴，．∴点A的坐标是0,4，点C的坐标是．（2）∵点，点，∴，，当点P在x轴正半轴上时，如图，∵，，∴．（3）当点P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等，理由如下：∵，，∴，①当，即，时，，此时，点Q的坐标是0,3或．②当，即，时，，此时，点Q的坐标是0,4或．综上，当，点Q的坐标是0,3或；或当，点Q的坐标是0,4或时，与全等．【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质．正确的求出的坐标，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．【变式训练2】．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．

(1)当时，；当时，；(2)如图①，当时，的面积等于面积的一半；(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．【答案】(1)(2)或(3)运动的速度为或或或【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可【详解】（1）当时，点P在线段上，∵点P速度为，∴；当时，点P在线段上，∵，∴，∴，故答案为：；（2）∵，，∴，∵的面积等于面积的一半，∴，①当点P在上时，

，∴，；②当点P在上时，

过点C作于点D，∵，，∴，∴，∵，∴，；故答案为：或；（3）设点的运动速度为，①当点在上，点在上，时，

，∴解得；②当点在上，点在上，时，

，∴，解得；③当点P在上，点在上，时，

，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴解得；④当点P在上，点Q在上，时

，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴解得；∴运动的速度为或或或．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．【变式训练3】．如图1，在长方形ABCD中，AD＝3cm，DC＝5cm．点P从D出发，以1cm/s的速度在射线DC上运动，设点P的运动时间为t秒．(1)t＝s时，DP＝AD；(2)当t为何值时，△APC的面积等于6cm2；(3)如图2，当P从D点开始运动的同时，点Q从C点出发，以xcm/s的速度在线段CB上运动，是否存在这样的x的值，使得△ADP与△PCQ全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3(2)1s或9s(3)存在，x＝1cm/s或x＝cm/s【分析】（1）由DP＝3cm，即可得t＝＝3（s）；（2）①当P在线段DC上时，根据＝CP•AD＝﹣，△APC的面积等于6cm2，可列方程﹣＝6，即可解得t＝1（s）；②当P在线段DC的延长线上时，（t﹣5）×3＝6，即可解得t＝9（s）；（3）分两种情况：①AD＝CP且DP＝CQ，可列3＝5﹣t且t＝tx，即可解得x＝1cm/s；②AD＝CQ且DP＝CP，可列3＝tx且t＝5﹣t，解得【详解】（1）∵AD＝3cm，DP＝AD，∴DP＝3cm，∵点P从D出发，以1cm/s的速度在射线DC上运动，∴t＝＝3，故答案为：3；（2）①当P在线段DC上时，＝CP•AD＝（5﹣t）×3＝﹣，∵△APC的面积等于6cm2，∴﹣＝6，解得：t＝1，②当P在线段DC的延长线上时，＝CP•AD＝（t﹣5）×3，∴（t﹣5）×3＝6，解得t＝9，∴t为1s或9s时，△APC的面积等于6cm2；（3）存在，理由如下：∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠C，要使△ADP与△PCQ全等，分两种情况：①AD＝CP且DP＝CQ，即3＝5﹣t且t＝tx，由3＝5﹣t得t＝2，将t＝2代入t＝tx得2＝2x，解得x＝1，∴x＝1cm/s时，②AD＝CQ且DP＝CP，即3＝tx且t＝5﹣t，由t＝5﹣t得t＝，把t＝代入3＝tx得3＝x，解得x＝，∴x＝cm/s时综上所述，x＝1cm/s或x＝cm/s，△ADP与△PCQ全等．【点睛】本题考查长方形中的动点问题，涉及三角形面积，三角形全等等知识，解题的关键是用含t的代数式表示相关线段的长度，根据题意列方程，本题还要注意分类．1．如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，①试说明．②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由．(2)如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值．【答案】(1)①见解析；②，(2)，或，．【分析】（1）根据题意可得，，求出，利用证明和全等，可得，然后求出即可；（2）分和两种情况，分别根据全等三角形的性质得出方程解答即可．【详解】（1），，．理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴，∴，∴；（2）①若，则，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，则，，由可得：，∴，由可得：，∴，综上所述，当与全等时，x和t的值分别为：，或，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明和全等解答，解决此题注意分类讨论．2．已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点在轴的负半轴上，．（1）如图1，求点的坐标；（2）如图2，点从出发以每秒1个单位长度向点运动，运动时间为，设的面积为，求与的关系，并写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，延长交于点，若，求与的比值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）解出方程组可求出A，B的坐标，在根据三角形的面积得出OC即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）过点作于，于，连接，证明,，，即可得到结果；【详解】（1）∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵点从出发以每秒1个单位长度向点运动，运动时间为，∴，，∴，．（3）过点作于，于，连接，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，设，又∵于，于，，∴，∴，∴平分，∴，∴，，，，∴与的比值是．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解、位置与坐标的应用、全等三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．3．如图①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，点M和点N是动点，分别从A，C出发，以相同的速度沿AC，CB边上运动．（1）判断DM与DN的关系，并说明理由；（2）若AC=BC=2，请直接写出四边形MCND的面积；（3）如图②，当点M运动到C点后，将改变方向沿着CB运动，此时，点N在CB延长线上，过M作ME⊥CD于点E，过点N作NF⊥DB交DB延长线于F，求证：ME=NF．【答案】（1）DM=DN，理由见解析；（2）S四边形MCND=1；（3）见解析.【分析】（1）连接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；（2）依据△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根据S四边形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD进行计算即可；（3）依据CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，进而得出ME=NF．【详解】（1）DM=DN．如图1，连接CD，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，又∵点M和点N的移动速度相等，∴CN=AM，∴△ADM≌△CDN，∴DM=DN；（2）如图1，∵△ADM≌△CDN，∴S△ADM=S△CDN，∴S四边形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=S△ABC=××2×2=1；（3）如图2，∵点M和点N的移动速度相等，∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，∴CM=BN，∵ME⊥CD，NF⊥DB，∴∠CEM=∠F=90°，又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，∴△CME≌△BNF，∴ME=NF．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题时证明△ADM≌△CDN是解决问题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．如图1，在中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点．(1)求证：；(2)若直线绕点A旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何，请证明；(3)若直线绕点A旋转到图3时，其余条件不变，与，的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．(4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述与，的关系．【答案】(1)见详解(2)，见详解(3)，详解(4)当、在异侧时，；当、在同侧时，．【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据证明，得；．根据代换即可；（2）显然关系不成立．同理证明，得；．此时；（3）同（2）,显然关系不成立．同理证明，得；．此时；（4）根据前面证明的结论分类归纳．【详解】（1）证明：，，．又，，．，．又，，即．（2）证明：．证明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（3）解：：证明：．证明如下：，．又，，．又，，．，．，，即．（4）解：由（1）（2）（3）得出：当、在异侧时，；当、在同侧时，．5．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为．(1)当，两点相遇时，求的值；(2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示）(3)当与全等时，求的值．【答案】(1)当，两点相遇时，的值为(2)当时，；当时，．当时，；当时，(3)当与全等时，的值为或或【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，（1）根据题意列方程并解方程解决即可；（2）根据题意，分情况列代数式表示即可；（3）分情况根据两三角形全等分别列方程并解方程即可解决；【详解】（1）解：由题意，得，解得．∴当，两点相遇时，的值为．（2）由题意可知，点运动的路线长为，当时，．当时，．由题意可知，点运动的路线长为，当时，．当时，．（3）当点运动到点时，；当点运动到点时，．当点在上，点在上时，∵，∴．∵，，∴．∴．∴．当时，．∴，解得．当点在上，点在上时，当点，重合时，．∴．即，解得．当点在上时，点到终点与点A重合，．∴．即，解得．综上，当与全等时，的值为或或．6．如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．

(1)若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由．(2)若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．(3)若点、点分别以（2）中的速度同时从点，出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点与点第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．【答案】(1)2s，理由见解答过程(2)经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等(3)经过16s点P与点Q第一次相遇，在BC边上相遇，相遇点到点B的距离为12【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用；（1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论；（3）根据路程速度时间结合点、相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，由点的路程点的速度运动时间可求出点的路程，再结合、、的长度，即可找出点、第一次相遇时的位置，此题得解．【详解】（1）点与点的速度都是，，，，，要使与全等，则需，即，，即经过的时间与全等；（2）设点的速度是，则点的速度是，，，，，要使与全等，则需，，，解得：，经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等；（3）设经过点与点第一次相遇，则，，的路程，，经过