初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题15等腰三角形中分类讨论、动点、半角和存在性五类问题含答案及解析

专题15等腰三角形中分类讨论、动点、半角和存在性五类问题目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、分类讨论求角度 2类型二、分类讨论求线段长度 3类型三、等腰三角形中的动点问题 3类型四、等腰三角形中的半角问题 5类型五、等腰三角形的存在性问题 7压轴能力测评 81.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．（2）等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”注意：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。3等腰三角形的动点问题等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：先把动点走过的路程用时间表示出来；把剩余路程也用时间表示出来；根据题目中的等量关系列方程。有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。类型一、分类讨论求角度当题目中已知角度未说明是等腰三角形的顶角或者底角的时候，要进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求值。例．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（

）A． B． C．或 D．或【变式训练1】．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（

）A． B．C．或 D．或【变式训练2】．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（）A． B．或 C． D．【变式训练3】．等腰三角形一个外角等于，则它的顶角为（

）A． B． C．或 D．类型二、分类讨论求线段长度已知条件未说明线段等腰三角形的腰或者底边的时候，进行分类讨论，结合三角形的三边关系进行求值。例．等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（

）A． B． C．或 D．【变式训练1】．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（

）A．4 B．7 C．4或7 D．15或18【变式训练2】．在中，，中线将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．9 B．5 C．5或9 D．8或10【变式训练3】．已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（）A． B． C．或 D．类型三、等腰三角形中的动点问题例．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，．(1)如图，当点在边上时，试说明：①②；(2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．【变式训练1】．如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．

(1)M点的运动速度为/秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示）(2)M点的运动速度为/秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值．(3)M点的运动速度为/秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰三角形，使，，直线交轴于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变，为什么？【变式训练3】．如图，、分别是、轴上两点，其中与互为相反数.点是第二象限内一点，且，点是直线上一动点；（1）若，且是等腰三角形，求的度数；（2）点在直线上运动过程中，当最短时，求的大小.类型四、等腰三角形中的半角问题等腰三角形中半角问题，一般先找出相等的线段或者角，进行三角形全等的证明，进而求得线段之间的关系。例．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．【变式训练1】．如图所示，ΔABC是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长.【变式训练2】．（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

【变式训练3】．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．类型五、等腰三角形的存在性问题 题目未说明等腰三角形的顶角或者腰时，一般要对腰进行分类讨论，在结合等腰三角形的性质进行求解。例．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴相交于点A，与直线交于点B，点B的横坐标为1．(1)求直线的函数关系式；(2)设点P是直线上的一动点，连接，当是以为底角的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式训练1】．如图1，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形．(1)求证：；(2)如图2，当点D恰好落在上时．①求的长及点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；【变式训练2】．如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．(1)求证：；(2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；(3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．【变式训练3】．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)_____（用t的代数式表示）(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？(3)当点在边上运动时，出发秒后，是以或为底边的等腰三角形？1．用一条长为的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为（

）A． B． C．或 D．或2．如图，在中，已知，DE垂直平分，且，，则的周长为（

）A．20 B．22 C．10 D．143．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（

）A． B． C．或 D．或4．已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是（

）A．B．C． D．5．如图，在等腰中，，腰长为，则点关于轴的对称点的坐标为．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．(1)求m和b的值；(2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．①若的面积为10，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．7．如图，点P是线段外的一个动点，以为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．(1)求证：；(2)添加适当字母，求证：；(3)若，求线段的最大值．8．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段．(1)写出点C，D的坐标；(2)若点E在x轴上，求出点E坐标，使得；(3)线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由．9．综合探究(1)如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以为直角边在左侧作等腰，，，求点的坐标；

(2)如图，在平面直角坐标系中，，，过点作轴的垂线，点是直线上一个动点，点是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求点的坐标．

10．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为，，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．(1)的面积_______；(2)若点恰好线段的垂直平分线上，求此时的值；(3)当点在线段上运动时，在轴的正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，请求出的值并求出此时点的坐标：若不存在，请说明理由；(4)连结，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．

专题15等腰三角形中分类讨论、动点、半角和存在性五类问题目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、分类讨论求角度 2类型二、分类讨论求线段长度 5类型三、等腰三角形中的动点问题 6类型四、等腰三角形中的半角问题 13类型五、等腰三角形的存在性问题 21压轴能力测评 271.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．（2）等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”注意：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。3等腰三角形的动点问题等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：先把动点走过的路程用时间表示出来；把剩余路程也用时间表示出来；根据题目中的等量关系列方程。有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。类型一、分类讨论求角度当题目中已知角度未说明是等腰三角形的顶角或者底角的时候，要进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求值。例．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，讨论求解即可；【详解】解：分两种情况：当是锐角三角形时，如图：是的垂直平分线，，，；当是钝角三角形时，如图：是的垂直平分线，，，，；综上所述：这个等腰三角形的顶角为或，故选：C．【变式训练1】．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小．【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，由题可知：，，等腰三角形的顶角，②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，由题可知：，，等腰三角形的顶角，等腰三角形的顶角度数为或，故选：C．【变式训练2】．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是，∴相邻的内角为，∴顶角是，故选：．【变式训练3】．等腰三角形一个外角等于，则它的顶角为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，以免漏解．已知条件中的外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况进行讨论，再结合三角形的内角和为，即可求出顶角的度数．【详解】解：①当顶角的外角等于时，则该顶角为：；②当底角的外角等于时，则该底角为，又由于是等腰三角形，故此时顶角为：．综上所述，这个等腰三角形的顶角为或．故选：C．类型二、分类讨论求线段长度已知条件未说明线段等腰三角形的腰或者底边的时候，进行分类讨论，结合三角形的三边关系进行求值。例．等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三角形的三边关系判定求解．【详解】解：①若是腰长，则三角形的三边分别为，，；能组成三角形，周长，②若是底边，则三角形的三边分别为能组成三角形，周长，综上所述，这个等腰三角形的周长是或故选：C．【变式训练1】．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边长为（

）A．4 B．7 C．4或7 D．15或18【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件，根据等腰三角形的定义，进行求解即可．【详解】解：当腰长为4时，第三边的长为4，，能构成三角形，满足题意；当腰长为7时，第三边的长为7，，能构成三角形，满足题意；故选C．【变式训练2】．在中，，中线将这个三角形的周长分为9和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．9 B．5 C．5或9 D．8或10【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算，根据等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：如图：设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意可得：或，解方程组得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形，解方程组得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形，∴等腰三角形的底边长为5或9，故选：C．【变式训练3】．已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是（）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：①为腰，为底，能构成三角形，此时周长为；②为底，为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴该三角形的周长是．故选：D．类型三、等腰三角形中的动点问题例．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，．(1)如图，当点在边上时，试说明：①②；(2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)，见解析【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质．（1）①先判断出，进而用判断出，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得，等量代换即可求解．同（1）的方法即可得出结论．【详解】（1）解：，，，在和中，，；由知，，，；（2），，，在和中，，∴，【变式训练1】．如图，等腰三角形中，，，D是的中点，M是上的动点，N是上的动点．M点由B向C运动，同时，N点由C向A运动．

(1)M点的运动速度为/秒，t秒后，=_________cm（用含t的代数式表示）(2)M点的运动速度为/秒，且N点的速度与M的速度相等，若t秒后，，问与全等吗？请说明理由，并求出t的值．(3)M点的运动速度为/秒，若N点的速度与M点的速度不相等，当N的运动速度为多少时，能使与全等？【答案】(1)(2)与全等，理由见解析，(3)秒【分析】（1）由题意知，，根据，求解即可；（2）由题意知，，由，可知，由，可得，证明，则，即，计算求解即可；（3）由题意知，，，设N的运动速度为秒，则，由题意知，分，两种情况求解；然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，，∴，故答案为：（2）解：与全等，理由如下：由题意知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，即，解得，；（3）解：由题意知，，，设N的运动速度为秒，则，由题意知，分，两种情况求解：当时，，，∴，，解得，，，∴N的运动速度为秒；当时，，，（舍去）；∴当N的运动速度为秒时，能使与全等．【点睛】本题考查了列代数式，等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用．熟练掌握全等三角形的判定条件，并分类讨论是解题的关键．【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰三角形，使，，直线交轴于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出结论；（3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴解得∴，．作于点，∵，，∴，，在与中，∵∴，∴．（2）证明：∵，∴，即．在与中，∵∴．（3）解：点在轴上的位置不发生改变．理由：设．∵，∴．由（2）知，，∴．∵，为定值，，易知形状、大小确定，∴长度不变，∴点在轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式训练3】．如图，、分别是、轴上两点，其中与互为相反数.点是第二象限内一点，且，点是直线上一动点；（1）若，且是等腰三角形，求的度数；（2）点在直线上运动过程中，当最短时，求的大小.【答案】（1）30°或120°或75°；（2）45°【分析】（1）根据相反数的定义与非负数的性质求出a，b的值，即可得出，根据已知条件求出，然后分情况讨论当是等腰三角形时，的度数；（2）记与轴交于点，过作交于点，则有，当最短时有，根据等角替换求出，则可证明≌，推出，再根据，即可求出.【详解】解：（1）由题意有：∵与互为相反数+=0∴解得：，，∴∵，∴∵∴∴①当时，②当时，③当时，；（2）记与轴交于点，过作交于点∴当最短时有∴∵，∴在与中∴≌∴∵∴【点睛】本题主要考查了非负数的性质，三角形全等的性质与判定，垂直的性质等知识点，综合性较强，学生需要熟练掌握每一个知识点，并学会综合运用是解题的关键.类型四、等腰三角形中的半角问题等腰三角形中半角问题，一般先找出相等的线段或者角，进行三角形全等的证明，进而求得线段之间的关系。例．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．【答案】（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题；（2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵是等边三角形，，，∴是等边三角形，，则，∵是顶角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等边三角形，，，，∴的周长．（2）如图，延长至点，使得，连接，∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练1】．如图所示，ΔABC是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长.【答案】△AMN的周长为2．【分析】根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.【变式训练2】．（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2【分析】（1）证明△AGF≌△AEF（SAS），则GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即可求解；（2）证明△AFD≌△AED（SAS），则FD＝DE，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×＝，则,即可求解；（3）①当DE＝AD时，△ADE≌△ADF（SAS），在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，求出BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，由AB2+AE2＝BE2，求出a＝2，即可求解；②当DE＝AE时，BD对应①中的CE，即可求解．【详解】解：（1）由图象的旋转知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即EF＝DE+BF，故答案为：AGF，EF＝DE+BF；（2）将△AEC围绕点A旋转到△AFB的位置，连接FD，由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），则AF＝AE，FB＝EC＝2，∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED（SAS），∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，过点F作FH⊥BD交DB的延长线于点H，则∠FBH＝60°，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，则BH＝BF＝1，FH＝BFsin60°＝2×＝，则故DE＝；

（3）①当DE＝AD时，则∠DAE＝∠DEA＝75°，则∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，则∠ABC＝∠ACB＝15°，将△AEC围绕点A旋转到△AFB所在的位置（点F对应点E），连接DF，由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，∴AD＝BD＝ED，设BD＝a，则AD＝BD＝ED＝a，则BE＝2a，过点C作CH⊥BA交BA的延长线于点H，则∠HAC＝2∠ABC＝30°，在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，设AC＝x，则CH＝x，AH＝x，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，将x＝代入上式并解得：BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝（2a）2，解得a＝±2（舍去负值），故a＝2，则BD＝2，CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；②当DE＝AE时，BD对应①中的CE，故BD＝2；综上，BD＝2或2．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【变式训练3】．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立，详见解析；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，得到△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．【详解】解：（1）DE2＝BD2+EC2；证明：如图，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∴∠BAD+∠CAE＝45°,∠FAD+∠FAE＝45°,∴∠CAE=∠FAE又AE=AE,AF=AB=AC∴△AFE≌△ACE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝FD2+EF2∴DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【点睛】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．类型五、等腰三角形的存在性问题 题目未说明等腰三角形的顶角或者腰时，一般要对腰进行分类讨论，在结合等腰三角形的性质进行求解。例．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴相交于点A，与直线交于点B，点B的横坐标为1．(1)求直线的函数关系式；(2)设点P是直线上的一动点，连接，当是以为底角的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或或【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式、一次函数的应用和等腰三角形的性质：（1）运用待定系数法求解即可；（2）分和两种情况讨论求解即可【详解】（1）解：令，则∴点B坐标为，由题意，，解得，，∴直线的函数关系式为（2）分和两种情况讨论求解即可解：令=0，解得∴点A坐标为，当时，点P是线段的垂直平分线与直线的交点，此时点P的横坐标为，把代入，得所以点P的坐标为当时，设点P横坐标为m，则点P纵坐标为由题意，

解得，，∴所以，点P的坐标为或综上，点P的坐标为或或【变式训练1】．如图1，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形．(1)求证：；(2)如图2，当点D恰好落在上时．①求的长及点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】(1)见解析(2)①，；②点P坐标为或【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可证得结论；（2）①过先根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解即可；②分、、三种情况，利用等腰三角形的性质和坐标与图形性质求解即可．【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：①过E作轴于F，则，∵和都是等边三角形，∴，，∴，在中，，∴，∴，又，即，∴，，在中，，，∴，，∴点E坐标为；②当时，∵，∴点P坐标为或；当、时，∵，∴为等边三角形，∴,∴点P坐标为，综上，满足条件的点P坐标为或．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式训练2】．如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．(1)求证：；(2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；(3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)的度数为或【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．（1）根据，，即可证得；（2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长；（3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时，②当时，③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题．【详解】（1）证明：由图可知：，，；（2）解：时，理由如下：，为等腰三角形，，又，在与中：，，此时；（3）解：，，，，，，，，，，为等腰三角形，①当时，，；②当时，，，，③，，与点D为边上一动点产生矛盾，故此类型不存在；综上所述，的度数为或．【变式训练3】．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)_____（用t的代数式表示）(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？(3)当点在边上运动时，出发秒后，是以或为底边的等腰三角形？【答案】(1)(2)秒(3)11秒或12秒【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．（1）根据题意即可用可分别表示出；（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；（3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．【详解】（1）由题意可知，，，，故答案为：；（2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有，即，解得，出发秒后，能形成等腰三角形；（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，，．，，，，，；②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则，，综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．1．用一条长为的细绳首尾连接围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，忽略三角形的三边关系是解题的易错点．分已知边是腰长和底边两种情况，分别确定三边，再根据三角形的三边关系进行判断，然后确定第三边即可．【详解】解：当是腰长时，底边为，∵，∴不能组成三角形；当是底边时，腰长为，∵，∴能够组成三角形．综上所述，它的腰长为．故选：B．2．如图，在中，已知，DE垂直平分，且，，则的周长为（

）A．20 B．22 C．10 D．14【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵垂直平分，∴，∵，∴的周长，故选：D．3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得．【详解】解：依题意，分以下两种情况：（1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为，，，（2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为，综上，顶角的度数为或故选：C．4．已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．【详解】解：由题意得，，所以，，由三角形的三边关系得，，解不等式得，，解不等式的，，所以，不等式组的解集是，正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．故选：．5．如图，在等腰中，，腰长为，则点关于轴的对称点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，关于轴对称的点的特征．先根据等腰三角形的定义得出，推出点的坐标，再结合关于轴对称的点的特征，即可求解.【详解】解：在等腰中，，腰长为，∴，∴点的坐标为，∴则点关于轴的对称点的坐标为．故答案为：．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．(1)求m和b的值；(2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒．①若的面积为10，求的值；②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形．【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，；（2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：把点代入直线中得：，点，直线过点，，；（2）解：①由题意得：，中，当时，，，，中，当时，，，，，的面积为10，，，则的值7秒；②设点，点、的坐标为：、，当时，则点在的中垂线上，即，解得：；当时，则点在点的正下方，故，解得：；当时，同理可得：或（舍去）故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．7．如图，点P是线段外的一个动点，以为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．(1)求证：；(2)添加适当字母，求证：；(3)若，求线段的最大值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题考