初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题17角平分线模型的七种类型含答案及解析

专题17角平分线模型的七种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、双内角平分线模型 3类型二、内外角平分线模型 5类型三、双外角平分线模型 6类型四、翻折折痕为角平分线模型 7类型五、双垂型 9类型六、全等型 11类型七、平行型 12压轴能力测评 141角的平分线的性质角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2角平分线的作法①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.3角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

角平分线模型1.双垂型通过角平分线上一点作角平分线的垂线，与角的两边相交于两点，从而在角平线两侧出现全等三角。双垂型的几何模型：单垂直单垂直的几何模型图3.全等型根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形。全等型的几何模型：4.平行型等腰三角形知识:等边对等角，等角对等边。平行型的几何模型：类型一、双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.例．如图，、都是的角平分线，且，则（

）A． B． C． D．【变式训练1】．如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式训练2】．如图，在中，，和的平分线交于一点O，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式训练3】．如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（

）A． B．C． D．类型二、内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=∠P.例．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（

）A． B． C． D．【变式训练1】．如图，是的外角的平分线，若，，则等于（

）A． B． C． D．【变式训练2】．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定【变式训练3】．如图，在中，，，平分，平分的外角，则（

）A． B． C． D．类型三、双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.例．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【变式训练1】．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式训练2】．如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（）时，．A．45° B．50° C．60° D．120°【变式训练3】．如图，、是ΔABC的外角角平分线，若，则的大小为（

）A． B． C． D．类型四、翻折折痕为角平分线模型例．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（）A． B． C． D．【变式训练1】．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（）A． B． C． D．【变式训练2】．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．【变式训练3】．如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（

）A． B． C． D．类型五、双垂型口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。例．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由．【变式训练1】．如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由．【变式训练2】．如图，是AD中点，平分．

(1)若，求证：CE平分．(2)若，求证：．【变式训练3】．如图，是的角平分线，于点F，点E是边上一点，连接，．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的面积．类型六、全等型口诀：图中有角平分线，构造全等三角形。例．如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证：(1)点在的平分线上；(2)．【变式训练1】．如图，于E，于F，若，平分；(1)求证：；(2)已知，，，求四边形的面积．【变式训练2】．如图，是平分线上的一点，若．试说明：．

【变式训练3】．如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D沿射线方向运动，满足，试求运动时间t的值；（提示：过点B作，垂足为F）(2)当点D在射线或射线的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．类型七、平行型口诀：图中有角平分线，构造平行线，等腰三角形会出现。例．如图，在中，，D是边的中点，连接AD，平分交于点E．(1)若，求的度数；(2)过点E作交AB于点F，求证：是等腰三角形．【变式训练1】．如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N．(1)求证：；(2)若，求的周长．【变式训练2】．如图，在中，平分，平分，过O且平行于，已知的周长为，的长为，求的周长．【变式训练3】．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．1．如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点F，，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．无法确定3．如图，在中，，分别平分，且，分别平分的外角，则的度数是（

）A． B． C． D．4．如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．在三角形纸片中，，现将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为．

7．在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=∠A请给出证明过程．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．8．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和；(2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和；(3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系．9．（1）如图①，是等边三角形，分别是的平分线，相交于点F，则线段与之间的数量关系是自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路如：在图②中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在上截取，连接，根据三角形全等判定，容易构造出全等三角形和，从而得到线段与相等学以致用参考上述学到的知识，解答下列问题：（2）如图③，不是等边三角形，但，分别的平分线，相交于点F，求证：．

10．（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因．（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？

专题17角平分线模型的七种类型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 3类型一、双内角平分线模型 3类型二、内外角平分线模型 6类型三、双外角平分线模型 9类型四、翻折折痕为角平分线模型 13类型五、双垂型 16类型六、全等型 23类型七、平行型 28压轴能力测评 331角的平分线的性质角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2角平分线的作法①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.3角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

角平分线模型1.双垂型通过角平分线上一点作角平分线的垂线，与角的两边相交于两点，从而在角平线两侧出现全等三角。双垂型的几何模型：单垂直单垂直的几何模型图3.全等型根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形。全等型的几何模型：4.平行型等腰三角形知识:等边对等角，等角对等边。平行型的几何模型：类型一、双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.例．如图，、都是的角平分线，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．设，，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：设，，∵、都是的角平分线，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴．故选：B．【变式训练1】．如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识；设，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解决问题．【详解】解：设，，，，，，平分，，，．故选：C．【变式训练2】．如图，在中，，和的平分线交于一点O，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据，可求得的值，再根据角平分线定义，可求得，最后根据三角形内角和即可求得的度数．【详解】解：，，和的平分线交于一点O，，，故选：C．【变式训练3】．如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得．再由、及三角形内角和即可求得与的数量关系．【详解】解：分别是与的角平分线，，，．、，；，，，整理得：．故选：D．类型二、内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=∠P.例．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】∠DCM=∠D+∠DBC，∠ACM=∠A+∠ABC，再结合角平分线，得到∠A=2∠D即可．【详解】解：∵是的平分线，∴∠ABC=2∠DBC，同理，∠ACM=2∠DCM，∵∠ACM=∠A+∠ABC，∴2∠DCM=∠A+2∠DBC∵∠DCM=∠D+∠DBC，∴∠A=2∠D，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形外角的性质，解题关键是利用外角的性质和角平分线性质得到∠A与∠D的关系．【变式训练1】．如图，是的外角的平分线，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线得到，即可求出的度数，根据三角形内角和计算即可；【详解】∵是的外角的平分线，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查角的求解，准确利用角平分线和三角形内角和是解题的关键．【变式训练2】．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（）A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定【答案】C【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABC=m°∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=∠ACE=在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，∴∠D=故选C.【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.【变式训练3】．如图，在中，，，平分，平分的外角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角平分线的定义可得∠EBD和∠ECD的度数，利用三角形外角性质即可求出∠E的度数.【详解】∵，，平分，平分的外角，∴∠EBD=20°，∠ECD=38°，∵∠ECD=∠EBD+∠E，∴∠E=18°，故选D.【点睛】本题考查角平分线的定义及三角形外角的性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关定义和性质是解题关键.类型三、双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.例．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP的度数是（

）A．30°； B．40°； C．50°； D．60°.【答案】C【详解】过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥BA于点F，PH⊥AC于点H，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴PE=PH，PE=PF，∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，∴PH=PF，∴点P在∠CAF的角平分线上，∴AP平分∠FAC，∴∠CAP=∠CAF.∵∠PCD=∠BPC+∠PBC，∴∠ACD=2∠BPC+2∠PBC，又∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠ABC=2∠PBC，∠BPC=40°，∴∠ABC+∠BAC=∠ABC+80°，∴∠BAC=80°，∴∠CAF=180°-80°=100°，∴∠CAP=100°×=50°.故选C.点睛：过点P向△ABC三边所在直线作出垂线段，这样综合应用“角平分线的性质与判定”及“三角形外角的性质”即可结合已知条件求得∠CAP的度数.【变式训练1】．如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分别是的外角和外角的平分线，得出，，根据，得出，根据∠，，得出，最后根据三角形的内角和，得出．【详解】∵，∴，∵和的平分线交于点，∴，，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，邻补角的有关计算，解题的关键是根据角平分线和邻补角的定义求出．【变式训练2】．如图，，分别是的外角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线．当（）时，．A．45° B．50° C．60° D．120°【答案】C【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】，分别是的外角，的角平分线，，分别是，的角平分线，同理，由于、分别是、的角平分线，假设，根据两直线平行，同旁内角互补得即整理得，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的有关计算、平行线的性质、三角形内角和，根据给出的角平分线得出和的关系是解题的关键．【变式训练3】．如图，、是ΔABC的外角角平分线，若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.【详解】∵∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵、是ΔABC的外角角平分线∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故选：B.【点睛】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.类型四、翻折折痕为角平分线模型例．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数．【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处，，，，，，，，，故选：A．【变式训练1】．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：由折叠得，∵，且∠1=100°，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，故选：B．【变式训练2】．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题．根据三角形的内角和定理，可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理，可得的度数，从而得到，再由折叠的性质，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，由折叠的性质得：，∴．故选：C【变式训练3】．如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可．【详解】解：如图，∵，，，由折叠的性质可得，；，故选：D．类型五、双垂型口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。例．如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．（1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分；（2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直．【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示：∵平分，∴，∵，，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵是中点，∴，∴，∵，，∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）解：，理由如下：∵，∴，，∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补），又∵，（角平分线定义），∴，∴，∴，即．【变式训练1】．如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)，理由见解析【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点作于，又∵，平分，∴，∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分；（2）证明：在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【变式训练2】．如图，是AD中点，平分．

(1)若，求证：CE平分．(2)若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，

∵平分，，∴，又∵是AB中点，即，∴，∵，，∴：CE平分．（2）解：如图：在上截取，连接．

平分，．在和中，，，．是的中点，．又，，，，在和中．，，，∴【变式训练3】．如图，是的角平分线，于点F，点E是边上一点，连接，．

(1)若，，求的度数；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)3【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质：（1）由三角形内角和定理求得，再根据角平分线的性质可得，由三角形外角的性质即可求得的度数；（2）过点D作于点G，由角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：，，，是的角平分线，，；（2）解：如图，过点D作于点G，

是的角平分线，，，的面积为．类型六、全等型口诀：图中有角平分线，构造全等三角形。例．如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证：(1)点在的平分线上；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据证明直角三角形的全等解答．（1）利用证明，可得，根据，，即可得结论；（2）根据证明，可得，然后利用线段的和差即可解决问题．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，，，，点在的平分线上；（2）证明：在和中，，，，，，．【变式训练1】．如图，于E，于F，若，平分；(1)求证：；(2)已知，，，求四边形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)128【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：（1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；（2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到．【详解】（1）证明：∵于E，于F，平分，∴，，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴，∴．．【变式训练2】．如图，是平分线上的一点，若．试说明：．

【答案】证明见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键．【详解】证明：如图，过点分别作于点，于点，

则，∵是的平分线，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【变式训练3】．如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度运动；已知，设动点D，E的运动时间为t．(1)当点D沿射线方向运动，满足，试求运动时间t的值；（提示：过点B作，垂足为F）(2)当点D在射线或射线的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)的值为或．(2)存在，的值为或．【分析】（1）过点B作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可知，再利用三角形面积公式，得出，由题意可知，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在的延长线上时，分别表示出的长，求解即可；（2）证明是等腰直角三角形，得出，，分两种情况讨论：①当点D在射线上运动时，点在线段；②当点D在射线的反向延长线上运动时，点在的延长线上，根据全等三角形的判定定理，得出时满足全等，分别求出的值即可．【详解】（1）解：如图，过点B作交于点，交于点，平分，，，，，由题意可知，，，①当点在线段上时，此时，；②当点在的延长线上时，此时，，，综上可知，当的值为或时，满足；（2）解：存在，理由如下：，平分，，，是等腰直角三角形，，，由题意可知，，，①当点D在射线上运动时，若点在的延长线上时，则中没有的角，不存在全等，点在线段，此时，，，当时，，，；②当点D在射线的反向延长线上运动时，，，若点在线段上时，则中没有的角，不存在全等，点在的延长线上，此时，，，当时，，，，即存在某个时间t，使得与全等，的值为或．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键．类型七、平行型口诀：图中有角平分线，构造平行线，等腰三角形会出现。例．如图，在中，，D是边的中点，连接AD，平分交于点E．(1)若，求的度数；(2)过点E作交AB于点F，求证：是等腰三角形．【答案】(1)(2)详见解析【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及角平分的性质，根据等腰三角形的性质得，，则有；根据角平分的性质得．由平行线的性质得．则，有，即可说明是等腰三角形．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，D为的中点，∴，∴．∴；（2）证明：∵平分，∴．又∵，∴．∴．∴，∴是等腰三角形．【变式训练1】．如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N．(1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)18【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．（1）根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得；（2）同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】（1）证明：平分，，，，，；（2）解：由（1）知，，平分，，，，，，的周长，，，，，，的周长．【变式训练2】．如图，在中，平分，平分，过O且平行于，已知的周长为，的长为，求的周长．【答案】的周长是．【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定．由平分，平分，过点O作，易得与是等腰三角形，又由的周长为，可得，又由长为，即可求得的周长．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∵的周长为，∴，∵长为，∴（），∴的周长是．【变式训练3】．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．【答案】（1）2，，理由见解析．（2）5，（3）2，【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题．（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题．（3）本题解法与（1）类似．【详解】（1）解：，理由如下：，的平分线交于O点，，，

，，，，，，，和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．．故答案为：2．（2）解：，即为等腰三角形，，，的平分线交于O点，，，即为等腰三角形，，，，，，，，即为等腰三角形，，，和为等腰三角形，．综上所述，共有5个等腰三角形，故答案为：5，．（3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O，，，，，，，，，，和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．．故答案为：2，．1．如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点F，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解．【详解】解：，，，平分，，，，，，故选：D2．如图，在△ABC中，∠B=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（）

A．56° B．66° C．76° D．无法确定【答案】B【详解】试题分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=114°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B=48°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=114°∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=66°．故选B．

3．如图，在中，，分别平分，且，分别平分的外角，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，分别平分，分别平分的外角，可求出，根据四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：根据题意得，，，∵，分别平分，分别平分的外角，∴，，，，∴，同理，，在四边形中，，，∴，故选：．【点睛】本题主要考查角平分线，四边形内角和定理的综合，理解并掌握角平分线的性质，四边形内角和定理是解题的关键．4．如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角问题，先求出的度数，根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵折叠，∴，∴；故选B．5．在三角形纸片中，，现将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要是考查了三角形、四边形内角和的运用．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．首先根据已知求得：，则可求得的度数，在中利用内角和定理，即可求得与的和，又由四边形的内角和为，求得的度数．【详解】解：如图，，，三角形内角和定理，在中，则，，，，在四边形中，，即，，故．故选B．6．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为．

【答案】25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．7．在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=∠A请给出证明过程．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)见解析(2)70°(3)①205°

②【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案（2）先推导出,再推导出，进而可以求解（3）①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得，进而即可求解；②根据，结合角平分线的意义及三角形内角和定理，即可得到结论【详解】（1）解：又因为在中，同理可得：又因为BE和CE分别是和的角平分线即（2）解：∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，（3）解：①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，如下图所示，∵BF、CE平分②又即：【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键．8．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和；(2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和；(3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．（1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】（1）解：由折叠性质可知：，，，；（2）解：连接，由折叠性质可知：，，；（3）解：，所以：．9．（1）如图①，是等