课时作业32 空间几何体的体积及表面积（教师版）

课时作业32空间几何体的体积及表面积1．(2024·安徽高三期末)如图，在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱)中，底面是边长为2的菱形，且，，点E，F分别为，的中点，点G在上．(1)证明：平面ACE．(2)求三棱锥B-ACE的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图所示：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，，则．∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．∵，∴平面平面ACE，∵平面，∴平面ACE．(2)在中，，，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且，，∵，∴．2．(2024·安徽六安市·高三一模)如图，在四棱锥中，平面ABCD．，，，E是PD的中点．(1)证明：平面PBC；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：取PC的中点F，连接EF、BF，如图所示：因为E、F分别为PD，PC的中点，所以且，又，，所以且所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面PBC，平面PBC所以平面PBC．(2)因为AB=1，，，所以，即，所以，即，因为E是PD的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以.3．(2024·陕西西安市·高三一模)如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.(1)证明：；(2)若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)M点在上靠近P点的四等分点处.【解析】(1)连接且E是的中点，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又为菱形，且分别为棱的中点，.，又平面；平面.(2)如图，连接，设，则，，，则，又..解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.4．(2024·安徽池州市·高三期末)已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如下图.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体中，易知.(2)证明：取的中点分别为，连接，.因为，分别为，的中点，所以,又是正方体，所以平面所以平面，因为平面所以.因为，，，所以，所以，所以，所以.因为，所以平面，因为平面，所以.连接，，在正方体中，易知，所以.又，所以.又，平面，所以平面.5．(2024·六盘山高级中学高三期末)如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点.(1)求证：；(2)若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图，连接，∵为的中点，∴，，由，，得，∴，又得∴，又∵平面，且平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴.(2)如图，取、的中点、，连接、.易得∵平面∴平面，又且∵，∴平面∵，，∴.法二：因为为的中点，所以.6．(2024·江西吉安市·高三其他模拟)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且.(1)求证：平面；(2)若平面平面，，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：连接，∵为的中点，为的重心，∴点一定在上，且，∵为的中点，∴，又，∴，即，∴，则，∵平面，平面，∴平面；

(2)解：延长，交于，由题设知，为的中点，∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即为三棱锥的高，∵，∴，又，，∴，故.7．(2024·陕西宝鸡市·高三一模)如图三棱柱中，底面是边长2为等边三角形，，分别为，的中点，，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析；(2).【解析】设，因为，所以，因为为的中点，所以，所以，即，所以四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，因为为的中点，所以，所以，，所以，即，因为三棱柱底面是等边三角形，为的中点，所以，又，AB与相交，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)由(1)知：平面，所以CE为三棱锥的高，且,

，，所以.8．(2024·全国高三专题练习)如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC=BC=AA1=1，AC⊥BC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.(1)求三棱锥A1­ABC1的体积；(2)求证：AC1⊥EG.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距离为1，所以=.(2)如图所示：，在AC上取点D，使CD=CA，连接ED，DG，因为BE=BA，所以DEBC，又BC⊥平面ACC1A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又AC1⊂平面ACC1A1，所以DE⊥AC1.在正方形ACC1A1中，由CD=CA，A1G=A1A，得DG⊥AC1.又DE∩DG=D，所以AC1⊥平面DEG.所以AC1⊥EG.9．(2024·洛阳市教育局中小学教研室高三月考)如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．(1)求证：；(2)求三棱柱的侧面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)如图所示：连接，∵，∴侧面是菱形，∴，∵侧面底面，且平面平面，，∴平面，又∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴；(2)如上图：设棱的中点为，连，，则，∴底面．从而，由，，得：，，∴，在中，由余弦定得:，即，∴，由(1)知平面，∴，，又，∴三棱柱的侧面积为．10．(2024·全国高三专题练习)如图所示，在直三棱柱中，为的中点，，，.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求直三棱柱的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2)60.【解析】(1)如图所示，设与相交于点，连接，在中，为的中点，为的中点，所以，因为平面，平面，所以；(2)因为三棱锥的体积为，可得，解得，所以.11．(2024·全国高三专题练习)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

(1)求正三棱锥的表面积；(2)求正三棱锥的体积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)取的中点D，连接，在中，可得.∴.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥的侧面积是.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.则正三棱锥的表面积为；(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.∴正三棱锥的体积为.12．(2024·山西吕梁市·高三一模)棱长为的正方体，为中点，为的中点．(1)求证：∥平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)见解析；(2).【解析】(1)如图，连接，取的中点为，连接，因为，故，而平面，平面，故平面，因为，故，由正方体可得，故，而平面，平面，故平面，因为，而平面，故平面平面，而平面，故平面.(2)连接，因为为的中点，正方体的棱长为2，故，，.故.又，其中为点到平面的距离，故.13．(2024·江西新余市·高三期末)在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，．(1)求证：平面平面；(2)设为的中点，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：∵面面，且平面平面，，面面，又面又因为由已知且，所以面，又面∴面面.(2)中，，取的中点，连，则∵面面且它们交于面面由，由已知可求得，，，所以.所以点到平面的距离为.14．(2024·全国高三专题练习)如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求直线到平面的距离.【答案】(1)；(2).【解析】(1)如图所示，设的中点为O，的中点为F，连接，，，则.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以，所以即为直线与平面所成的角.因为，则，所以.在中，，，所以.在中，，所以.(2)解法一：因为点D，E分别为，边的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.由(1)知，平面，又，所以以点O为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，.设平面的一个法向量为，由得令，所以.因为，设点O到平面的距离为d，则.因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.解法二：如图，因为点D，E分别为，边的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以.又，，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，作交于点G，则平面.在中，，所以，.因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.15．(20