艺考生专题讲义25 等差数列

考点25等差数列知识梳理一．等差数列的有关概念1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数2.数列的单调性：d>0递增数列，d=0常数数列，d<0递减数列二．等差数列的有关公式1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.前n项和公式：当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．等差数列的性质1.中项性质(1)数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项(2)多项数列的中项性质2.前n项和的性质(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).精讲精练题型一等差数列基本运算【例1】(1)设是公差为正数的等差数列，若，，则()A．12 B．35 C．75 D．90(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝()A．20 B．23 C．24 D．28【答案】(1)B(2)D【解析】(1)设公差为，则，∵，故解得，∴．故选：B．(2)设等差数列{an}的公差为d,由a4＝4，S9＝72，得,解得,,故选：D.【举一反三】1．)等差数列中，若，，则()A． B． C．2 D．9【答案】A【解析】设公差为，则，所以.故选：A2．记为等差数列的前项和，若，，则等于()A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【解析】设数列的首项为，公差为，则由，，得：，即，解得：，.故选：D.3．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=()A．24 B．23 C．17 D．16【答案】A【解析】根据题意，，则，故选：A.4．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则()A．3 B． C．-3 D．【答案】D【解析】设数列是公差为，，首项为，因为所以，所以，所以所以故选：D题型二等差数列中项性质【例2】(1)1，3的等差中项是()A．1 B．2 C．3 D．4(2)在等差数列中，若=4，=2，则=()A．-1 B．0 C．1 D．6(3)已知等差数列的前n项和为，=5，则=()A．5 B．25 C．35 D．50【答案】(1)B(2)B(3)B【解析】设1和3的等差中项为，则，解得，故选：B.(2)等差数列中，，则故选：B(3)由题意可知，为等差数列，所以故选：B【举一反三】1．已知数列为等差数列，且，则_________.【答案】-12【解析】由等差数列的性质，得.故答案为：.2．在等差数列中，若，则______.【答案】【解析】由等差中项的性质可得，可得，因此，.故答案为：.3．设等差数列的前项之和为，已知，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，.故选：B.4．已知正项等差数列的前项和为，，则的值为()A．11 B．12 C．20 D．22【答案】D【解析】因为，数列是正项等差数列，所以，解得或(舍去)，则，故选：D.5．已知数列满足且，则()A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.题型三等差数列前n项和性质【例3】(1)已知等差数列的前n项为，，，则的值为()A．2 B．0 C．3 D．4(2)．两等差数列，的前n项和分别为，，若，则()A． B． C． D．(3)设是等差数列的前项和，若，则()A． B．C． D．(4)．已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时()．A．2 B．14 C．7 D．6或7(5)若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是()A．198 B．199 C．200 D．201(6)在等差数列中，，其前n项和为，若，则()A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C【解析】(1)因为，，成等差数列，故有，解得.故选：A.(2)数列是等差数列，则．故选：C．(3)因为为等差数列，所以.故选：D(4)设等差数列的公差为，∵，，∴，，联立解得：，，∴，令，解得．当取得最小值时或7．故选：D．(5)∵，∴和异号；∵，，有等差数列的性质可知，等差数列的公差，当时，；当时，；又，，由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．(6)设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C【举一反三】1．等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为()A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【解析】∵为等差数列，∴成等差数列，

即成等差数列，，解得.故选：C.2．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，故，代入数据可得，解得故选C3．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于()A． B．C． D．【答案】A【解析】＝＝＝＝＝＝.故选：.4．设是等差数列的前n项和，若，则()A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由题意，．故选：A．5．在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在等差数列中，，所以，又公差，所以，故所以数列的前6项为正数，从第7项开始为负数；因此，当时，达到最大值.故选C6．等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为()A．4或5 B．3或4 C．4 D．3【答案】C【解析】设公差为，由题意知，解得，由等差数列前项和公式，知，对称轴为，所以当时，最大．故选：C7．在等差数列中，为其前项和.若，且，则等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是等差数列，为其前项和，设公差为，∴，∴，所以数列是以为首项以为公差的等差数列，则，解得.又∵，∴，∴.故选：题型四等差数列定义运用【例4-1】已知数列的通项公式为.，求证：数列是等差数列；【答案】见解析【解析】∵，∴()，∴数列为等差数列．【例4-2】已知数列满足，证明：数列为等差数列，并求的通项公式；【答案】【解析】，两边同时除以，可得：，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；，.【方法总结】【方法总结】等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公法前n项和an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列【举一反三】1.已知数列满足，，判断数列是否为等差数列，并说明理由；【答案】是等差数列；详见解析【解析】设，则，则，，所以，数列是首项为0，公差的等差数列.2．已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列；【答案】证明见解析【解析】证明：当时，，，所以是以1为首项，为公差的等差数列；3．已知数列满足．判断数列是否