艺考生专题讲义45 抛物线

考点45抛物线知识梳理一．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.二．．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义焦点F到准线l的距离，焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为eq\a\vs4\al(\f(p,2).)图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)三．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．精讲精练题型一抛物线的定义【例1】(2024·陕西宝鸡市·高三二模(文))设抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则()A． B．5 C． D．【答案】D【解析】如图所示，过P作PQ垂直l，交l于Q，不妨设，根据抛物线定义得，所以y=4，所以x=4，即，所以，所以.故选：D【举一反三】1．(2024·山东烟台市·高三一模)已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则()A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的横坐标为4，设，，，，，则．故选：．2．(2024·内蒙古高三月考(文))点为抛物线的焦点，点，点为物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为()A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，焦点，准线方程为：，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，作出图像如图，故，由抛物线的定义得：，则周长为：，当且仅当点在点处时，等号成立；因为，，所以周长的最小值为：.故选：B.3．(2024·全国高三专题练习(文))已知抛物线上的动点P到直线l∶的距离为d，A点坐标为(2，0)，则的最小值等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，抛物线化为，可得焦点，准线方程为，可得动点P到直线l∶的距离为，又由，从而.所以的最小值等于.故选:B.4．(2024·浙江杭州市·学军中学)已知拋物线的焦点坐标为，则的值为___________；若点在抛物线上，点则的最小值为___________.【答案】87【解析】拋物线的焦点坐标为，则，解得；抛物线的准线方程为，过作直线的垂线，垂足为，，当三点共线时，取得最小值，且故答案为：．题型二抛物线的标准方程【例2-1】(2024·全国单元测试)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为()A．y2＝x B．y2＝－xC．x2＝y D．x2＝－y【答案】C【解析】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得所以，抛物线方程为．故选：C．【例2-2】(2024·浙江)已知抛物线的焦点，则拋物线C的标准方程为___________，焦点到准线的距离为___________.【答案】【解析】根据抛物线的焦点，设抛物线方程，，则，故抛物线方程；抛物线中，焦点到准线的距离为，，即距离为.故答案为：；.【举一反三】1．(2024·全国课时练习)以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设抛物线方程为或，依题意得，代入或得，，．抛物线方程为或，故选：C.2．(2024·山东德州市·高二期末)抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知抛物线开口向上或向下，，令，焦点坐标为准线为故选：C3．(2024·绵阳南山中学实验学校(文))顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，设抛物线的方程为，因为顶点与焦点的距离等于，可得，解得，所以所求抛物线的方程为.故选：C.4(2024·广东湛江市·高三一模)已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】设，则，解得故选：A题型三抛物线的几何性质【例3】(2024·江苏省天一中学高三二模)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．【答案】8【解析】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，故根据抛物线定义可知.故答案为：8.【举一反三】1．(2024·四川遂宁市·高三二模(文))若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为()A．3. B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】抛物线：的焦点所以直线的方程为，设，，由，消去并整理得，所以，.故选：C.2．(2024·广西玉林市·高三其他模拟(理))已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，由，得，所以，所以，故选：C3．(2024·