艺考生专题讲义39 相互独立事件与正态分布

考点39相互独立事件与正态分布知识梳理一．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．(5)相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(6)P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．二．正态分布(一)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(二)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.精讲精练题型一相互独立实验【例2】(2024·九江市同文中学高三期中)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)甲恰好答对4道必答题的概率为.(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为.甲得分的可能性为分，分，0分，3分，5分和10分.所以，，，，.所以的分布列为03510【举一反三】1．(2024·广西桂林十八中高三月考)张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，.(1)若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)分别列答案见解析，数学期望：.【解析】(1)设走路线最多遇到1次红灯为A事件，则所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为(2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，(每对一个1分)，所以随机变量X的分布列为：X0123P.2．(2024·全国高三专题练习)张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为.(1)求张明进入下一轮的概率；(2)设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望.【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.【解析】(1)张明答道题进入下一轮的概率为，答道题进入下一轮的概率为，答道题进入下一轮的概率为，答道题进入下一轮的概率为，张明进入下一轮的概率为；(2)可能取值为､､､，当时可能答对道题进入下一轮，也可能打错道题被淘汰，，，，，于是的分布列为：.3．(2024·全国高三专题练习)为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元(不足小时的部分按小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列．【答案】(1)；(2)分布列见解析．【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，两人都付元的概率为；两人都付元的概率为；两人都付元的概率为.则两人所付费用相同的概率为；(2)设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，则，，，，.所以，随机变量的分布列为：题型二正态分布【例2-1】．(2024·江苏扬州市·高三开学考试)已知随机变量，，则()A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】A【解析】由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，∴；故选：A【例2-2】(2024·江西省信丰中学高三月考)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果，求.附：若则，．【答案】(I)；(II)(i)；(ii)．【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．(II)(i)由(I)知，服从正态分布，从而．(ii)由(i)可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．【举一反三】1．(2024·全国高三专题练习)随机变量，，若，，则________【答案】【解析】∵随机变量服从，符合二项分布，由二项分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故答案为：.2．(2024·吉林油田第十一中学高三月考)已知，若，则______．【答案】【解析】：因为，所以正态密度曲线的对称轴为因为所以，所以故答案为：3．(2024·全国高三专题练习)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量(Kg)根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，．(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利元，若为不合格的猪，则亏损元．记为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．(参考数据：若，则，，)【答案】(1)甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头；(2)分布列见解析，135450元.【解析】(1)由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为∴，∴(头)；同理，，∴(头)；，∴(头).所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。(2)依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，.，，，所以的分布列为：所以(元)，由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为(元).4．(2024·江苏无锡市·高三开学考试)为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计个数11356193318442121100经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率)：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.(2)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.【答案】(1)其性能等级为丙；(2)①；②分布列见解析；期望为.【解析】(1)，，，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.(2)易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为.①由题意可知，于是.②由题意可知的取值有、、，，，.的概率分布列为：故.题型三均值与方差的运用【例3】(2024·全国高三专题练习)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2024年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2024年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.(1)若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求(用p表示)；(2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求(用p表示)；(3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【答案】(1)(2)(3)见解析【解析】(1)解：由题意则盈利的天坑院数的均值.(2)若投资项目二，则的分布列为2-1.2盈利的均值.(3)若盈利，则每个天坑院盈利(百万元)，所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为(百万元).①当时，，解得..故选择项目一.②当时，，解得.此时选择项一.③当时，，解得.此时选择项二.【举一反三】1．(2024·全国高三其他模拟)某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．(1)若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；(2)已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？【答案】(1)；(2)由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．【解析】(1)令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量．由题意有，则，故．由，有，解得：．故当时，p的取值范围为．(2)当时，由(1)知，．设需要赔付给消费者的费用为Z元，有．由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．3．(2024·全国高三月考)某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗、、．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为．(1)任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时的值作为种树