2024-2025学年初中数学专项突破：相似三角形中的常见五种基本模型（解析版）

大招相似」角形的

常见五种模型

同面模型探究

相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题

已经很详细的讲解，这里就不在重复.

模型一'A字型相似模型

A字型（平行）反A字型（不平行）

模型二'8字型与反8字型相似模型

模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）

模型四、共边角相似模型（子母型）

4(C)

模型五、手拉手相似模型

Mm

而画例题精讲

考点一、A字相似模型

【例1].如图，在△ABC中，NA=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,

剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

解：4阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误;

8、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

。、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选：C.

A变式训练

【变式17].如图，在△A8C中，DE//BC,于点H,与。E交于点G.若壁•二

GH2

则里.=旦

BC-5一

•.•-A--G-=--3-,

AH5

'：DE//BC,

：.^ADE^AABC,

•DEAG3故答案为s.

,•而而而5

【变式1-2].如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是A8上一点，AE=^-AB,连接EM

4

并延长，交BC的延长线于。，则史=.

CD

'.'PC//AE,：.^AEM^^CPM,，&=军

AEAM

是AC的中点，：.AM=CM,：,PC=AE,

\'AE=—AB,：.CP=—AB,：.CP=—BE,

443

'：CP//BE,：.ZXOCPs/\DBE,

.CPCD2

==：.BD=3CD,

"BEBD"3

；.BC=2CD,即此=2.

CD

【变式1-3].如图，在△ABC中，点。在边AB上，AD=9,BD=I.AC=12.ZVIBC的

角平分线AE交CD于点、F.

(1)求证：△ACDS/XABC；

(2)若AF=8,求AE的长度.

解：（1）\'AD=9,BD=7,AC=12,

：.AB^AD+BD^16,

..旭=至=9AC=_12

'AC"123'ADT3'

.AB=AC

"ACAD，

'：ZBAC=ZCAD,

：.△AC£）s-

（2）由（1）可知，△ACDS/XABC,

NABE=ZACF,

平分/BAC,

：.ZBAE=ZCAF,

：.△ABEs/XACR

.AB_AE即16_AE

AC-AF；'l2--8-，

.4F8X1632

考点二、8字与反8字相似模型

【例2】.如图，AG//BD,AF；FB=1：2,BC：CD=2：1,求£1的值

解：'：AG//BD,

：.XAFGs丛BFD,.AG_AF,1

"BD"BF2

•.,匹=2，：.CD=^BD,.•.迪W

CD3CD2

■:AG//BD,

.♦.△AEGsACED,GE_=AG_^3_.

EDCD2

A变式训练

【变式2-1].如图，AB//CD,AE//FD,NE、即分别交3c于点G、H,则下列结论中错

误的是（）

DHCH口GECGAF=HGFH_BF

AA.-----=------JJ.----------二---

FHBHFDCBCE-CGAG"FA

解：A、'JAB//CD,

.•.也=空.，故本选项不符合题目要求;

FHBH

B、"：AE//DF,

\/\CEG^/\CDH,

.GE=CG•EG=DH

,DHCH"CGCH

：AB//CD,

.CH=DH.DH=DF

"CBDF"CHCB，

•GE=DF.•.亚=”，故本选项不符合题目要求;

'CGCBFDCB

JAB//CD,AE//DF,

,.四边形AED尸是平行四边形，尸=DE,

：AE//DF,

.DEHG.AF=HG故本选项不符合题目要求;

，，CE'CG，"CECG

£＞、'."AE//DF,

：./\BFH^/\BAG,故本选项符合题目要求；故选：D.

AGBA

【变式2-2].如图，在平行四边形ABC。中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点、F.若

△AEF的面积为2,则△ABC的面积为（）

D

C

A.8B.10C.12D.14

解：如图，•••四边形ABC。是平行四边形，

\'EA//BC,

：.AAEFsACBF,

'：AE=DE=^-AD,CB=AD,

2

•AF=EF=AE=AE=_1

"CFBFCBAD2"

：.AF=—AC,EF=—BF,

32

.*•SMBF=—S/SABC,

3

5AAEF=—S^ABF=—X—SAABC=—SAABC,

2236

"：SAAEF=2,

S^ABC=6SAAEF=6X2=12,故选：C.

【变式2-3].如图，锐角三角形48c中，/A=60°,BELAC^-E,CD_L48于。，则DE：

解：如图，：在△ADC中，ZA=60°,CD_LAB于点。,

AZACD=30°,

.AD=1

"AC2"

又：在△4BE中，ZA=60°,BELACE,

：.ZABE=30°,

•.A•一E_-1-.,

AB2

.AD=AE

"ACAB'

又：ZA=ZA,

AADE^AACB,

：.DE：BC=AD：AC=1：2.故答案是：1：2.

考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）

【例3].如图，在AABC中，点。和E分别是边和AC的中点，连接DE,DC与BE交

于点。，若△OOE的面积为1,则△ABC的面积为（）

解：•..点。和E分别是边A8和AC的中点,

二。点为AABC的重心，

：・0B=20E,

S^BOD=2S/^DOE=2X1=2,

・・S/\BDE=3f

'：AD=BDf

••S/\ABE—2S/\BDE=6,

*：AE=CE,

S/\ABC=2SMBE=2X6=12.故选C.

A变式训练

【变式37].如图，DE是△ABC的中位线，厂为OE中点，连接A尸并延长交3C于点G,

若SAEFG=1,贝I]S^ABC=24.

B

解：方法一：是AABC的中位线，

...£>、E分别为AB、BC的中点，

如图过Z)作DA/〃BC交AG于点M,

,:DM〃BC,

：.ZDMF=ZEGF,

:点尸为。E的中点，

:.DF=EF,

在和△EGF中，

，ZDMF=ZEGF

，ZDFM=ZGFE>

DF=EF

:.ADMFm丛EGF(A4S),

SADMF=SAEGF=1,GF=FM,DM=GE,

:点。为AB的中点，且。M〃BC,

：.AM=MG,

：.FM=^AM,

2

•.S/\ADM=2s&DMF=2,

■:DM为AABG的中位线，

•.•-D-M_-1,

BG2

S^ABG=4SAADM=4义2=8,

••S梯形DMGB~S/\ABG~S/\ADM=8-2=6，

•・S/\BDE=S梯形DMGB=6,

TOE是△ABC的中位线，

:.S/\ABC=^S^BDE=4X6=24,

方法二：连接AE

D,

'：DE是ZXABC的中位线，

：.DE//AC,DE=—AC,

2

•.•p是DE的中点，

•.E•-F-_--1,

AC4

...52kEFG=EF21,

SAACGAC216

■:S/\EFG=L

••SAACG=16,

^EF//AC,

・GE=EF=2

，eGCACT

.SAAEGGE1

,△KGGC4

S/\AEG—--SZ\ACG=4>

4

.".S/^ACE—SMCG-SMEG=12,

SAABC=2SAACE=24,故答案为：24.

【变式3-2].如图：AD//EG//BC,EG交DB于点、F,已知A£)=6,BC=8,AE=6,EF

=2.

(1)求E8的长；(2)求FG的长.

D

:.ABADsABEF,

.BE=EF即BE—2

,*BAAD'BE+6?

：.EB=3.

(2)"：EG////BC,

△AEGs/XABC,

・EG_AEgj]EG_6

••而一咫，~8~―6^3

.•.EG=N

3

：.FG=EG-EF=—.

3

【变式3-3].如图，已知AB〃CO,AC与8。相交于点E,点/在线段8C上，坐」，史」

CD2CF2

(1)求证：AB//EF；

(1)证明：\'AB//CD,

.AB=BE=2

*CDED5，

.•.-B-F-=--1，

CF2

•BE=BF

,,EDFC

：.EF//CD,

：.AB//EF.

(2)解：设△ABE的面积为八

'JAB//CD,

，AABE^ACDE,

S

•AABE=/ABA2=1

・•瓦嬴CDT

S^CDE=4m,

..AE=AB=1

*CECD_2，

S/\BEC=2m,

:.SAABE：SAEBC：S^ECD=m：2m：4m=l：2：4.

模型四、子母型相似模型

【例4】.如图，点C,。在线段A8上，是等边三角形，且乙4尸8=120°,求证:

(1)AACPSAPDB,

(2)CD2=AC'BD.

证明：(1)•.•△PCD是等边三角形，

/PCD=NPDC=ZCPD^60°,

AZACP=ZPDB=120°,

；NAP"120°,

AZAPC+ZBPD=60°,

,?ZCAP+ZAPC=60°

：.ZBPD=ZCAP,：.XACPsXPDB；

(2)由(1)得△ACPs/\p£)8,

•.•-A-C-二PC一，

PDBD

是等边三角形,

:.PC=PD=CD,

•.•AC—CD,

CDBD

：.CD1=AC-BD.

A变式训练

【变式4-1].如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABPs/wcB,添加一个条件，不

正确的是（）

A.ZABP^ZCB.ZAPBABCC.D.坐^^

ABACAPCB

解：在△ABP和△ACB中，ZBAP=ZCAB,

...当时，满足两组角对应相等，可判断SAC故正确；

/A8P=NC△ABP2\B,A

当/APB=NABC时，满足两组角对应相等，可判断△4BPsA4C8,故8正确；

当空」5■时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△A8PS\ACB,故C正确;

ABACZ

当坐望时，其夹角不相等，则不能判断△ABPs/viCB,故。不正确；

APBC

故选：D.

【变式4-2].如图，在△ABC中，点。在AC边上，连接BD,若NA8C+/2OC=180°,

AD=2,C£）=4,则AB的长为（）

C.V3D.273

解：VZABC+ZJBDC=180°,ZADB+ZBDC^18Q0,

NADB=NABC,

ZA=ZA,

.ABAD

,•而记

"：AD=2,CD=4,

.AB二2

"2^4"AB'

：.AB2=12,

；.4B=2次或-2相（不合题意，舍去），故选：D.

【变式4-3].如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆。，尸为圆。上一动点，贝|6%+尸8

的最小值为_JA/5_.

D._______________1cD.-------n-------.C

A

解：设O。半径为r,

OP=r=^BC=2,08=&r=2我,

取。3的中点/,连接P/,

：.OI=IB=近,

变正用,

OP2v

•••O-P二OB"，

01OP

NO是公共角，

:.△BOPSAPOI,

.PI01V2

••--=二,

PBOP2

近

：.PI=2L±-PB,

2

:.AP+^-PB=AP+P/,

2

・••当A、P、/在一条直线上时，AP+亚PB最小，

2

作IELAB于E,

VZABO=45°,

Jo

：.IE=BE=-^±-BI=l,

2

：.AE=AB-BE=3,

；・AI=N32+]2，

:.AP+鸟PB最小值,

"：y/2PA+PB=42（PA+与PB）,

...加刑+PB的最小值是xJI5=2遥.

故答案是2庭.

模型五、手拉手相似模型

[例5],如图，△ABC与△。所均为等边三角形，0为BC、EF的中点，则AD：BE的值

；△ABC与均为等边三角形，O为BC、E尸的中点,

：.AO±BC,DOLEF,NEDO=30°,ZBAO=3Q°,

J.OD-.OE=OA-.OB=y/3：1,

ZDOE+ZEOA=ZBOA+ZEOA即/DOA=ZEOB,

：.△DOAsAEOB,

：.0D：OE=OA：OB=AD：BE=6：1=73，故答案为：声.

A变式训练

【变式5T】.如图，在△ABC与△AOE中，/BAC=NDAE,/ABC=NADE.

求证：(1)ABACSADAE；(2)ABAD^ACAE.

证明：(1)"：ZBAC^ZDAE,ZABC^ZADE.

：./\BAC^/\DAE；

(2):△BACsADAE,

•.A•-B二AC,

ADAE

•••A-B---A-D,

ACAE

；NBAC=NDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^ACAE.

【变式5-2].如图，点。是△ABC内一点，且NBZ)C=90°,AB=2,AC=J§,ZBAD=

ZCBZ)=30°,AD=恒.

—2―

D

B

解：如图，过点A作AB的垂线，过点。作AO的垂线，两垂线交于点连接3M,

VZBAD=30°,

AZDAM=60°,

：.ZAMZ)=30°,

・•・ZAMD=/DBG

又・・,NA£>M=N3OC=9(T,

，丛BDCs丛MDA,

・BDDC

••二-,

MDDA

又/BDC=NMDA,

：.ZBDC+ZCDM=ZADM+ZCDM,

即/BOM=NCZM,

:.丛BDMs丛CDA,

,:AC=M，

22=22

在RtZVLBM中，AMVBM-ABVS-2=Vs>:.AD=1AM=^-

【变式5-3].如图，在四边形ABC。中，AE1.BC,垂足为E,ZBAE=ZADC,BE=CE

2,CD=5,AO=O18（左为常数），则BD的长为_五6k2+25一・（用含左的式子表示）

D

BEC

解：如图中，9：AE±BC,BE=EC,

：.AB=AC,

将绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接。G.则80=CG,

G,

,：ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

・•・ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD,

：.AABC^AADG,

'：AD=kAB,

:・DG=kBC=4k,

VZBAE+ZABC=90°,/BAE=NADC,

：.ZADG+ZADC=90°,

：.ZGDC=90°,

=22

CGVDG-K；D=V16k2+25-

BD=CG=416k'+25'

故答案为：yli6k2+25-

词画实战演练

1.如图，已知。E〃BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是（）

A

BFAD口ADEFCECA八ADCF

A.=r

BCABDEFCCFCBABCB

解:A、,JEF//AB,

.BF=AE

"BC而'

'SDE//BC,

.AE=AD

"AC而'

:.竺1=坦，故A正确,

BCAB

B、易知尸c,

.AD=DE

"EFCF'

AD=EF；故B正确.

DEFC

C、VACEF^ACAB,

.CE=CF

"CACB,

,故C正确.

CFCB

£＞、'."DE//BC,

.AD=DE

1,ABBC;

显然。E#CE故D错误.故选：D.

2.如图，梯形ABC。中，AD//BC,/B=NAC£)=90°,AB=2,DC=3,则△42。与4

DCA的面积比为（)

A.2：3B.2：5C.4：9D.&：73

解：'.,AD//BC,

：.ZACB=ZDAC

又：NB=NACZ）=90°,

.•.△CBA^AACD

BC=AC=AB=2

ACADDCS''

S

AABC（Z）2=_4

SADCA39

.♦.△ABC与△OCA的面积比为4：9.故选：C.

3.如图，菱形ABC。中，E点在8C上，尸点在CD上，G点、”点在上，且AE〃HC

//GF.若A”=8,HG=5,GO=4,则下列选项中的线段，何者长度最长？（）

解：VAH=8,HG=5,GO=4,

40=8+5+4=17,

•.•四边形ABC。为菱形，

：.BC=CD=AD=ll,

'：AE//HC,AD//BC,

四边形AECH为平行四边形，

：.CE=AH=S,

:.BE=BC-CE=17-8=9,

,JHC//GF,

.DF=DG_即DF_4

••而GH'17-DF5

解得：。尸=毁，

9

.・•rT(?_rz—\in/_-6-8-_--8-5,

99

•.•生>9>8>丝，

99

长度最长，故选：A.

4.如图，在△ABC中，BC=6,E,尸分别是AB,AC的中点，动点尸在射线所上，BP

交CE于点D,ZCBP的平分线交CE于点。，当CQ=^CE时，EP+BP的值为（）

3

A.6B.9C.12D.18

解：如图，延长2。交射线E尸于

•；E、B分别是A3、AC的中点，

J.EF//BC,

：.ZM=ZCBM,

•••8。是/C8P的平分线，

：.ZPBM=ZCBM,

：.ZM=ZPBM,

：.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

VCQ=^-CE,

：.EQ=2CQ,

由EF〃BC得，LMEQS^BCQ,

.EMEQ_°

••-----—―'乙，

BCCQ

：.EM=2BC=2X6=n,

即EP+BP=12.故选：C.

5.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=2我,AD=2,将△ABC绕

点C顺时针方向旋转后得B'C,当A'B'恰好经过点。时，△夕C。为等腰三

A.VHB.273c.V13D.714

解：过。作DELLBC于E,

设2'C=BC=x,

则DC=42X,

：.DC2=DE1+EC2,即2/=28+（X-2）2,

解得：x=4（负值舍去），

-"-BC=4,AC=^AB2+BC2=,

:将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△4'B'C,

：.ZDB'C=NABC=90°,B'C=BC,A'C=AC,ZA'CA=NB'CB,

.A'C=AC

C'BC

.'.△A'CA^/\B'CB,

.A'A二AC叩A，A二MT1

■'B7T=BC，2=4

.*.AA,=VT1>故选：A.

6.如图，已知，△ABC中边AB上一点P,且/ACP=NB,AC=4,AP=2,贝l]BP=6

解：VZA=ZA,ZACP=ZB,

：.AACP^AABC,

：.AC2=AP'AB,即AB=AC24-AP=164-2=8,

：.BP=AB-AP=6.

7.如图，在回48a（中，AC,2。相交于点。，点E是。A的中点，联结BE并延长交AD

于点R如果△AEB的面积是4,那么△1CE的面积是36.

B

解：•.•在团4BC。中，AO=—AC,

2

:点E是。4的中点，

：.AE=^-CE,

3

'：AD//BC,

△AFEs^CBE,

•AF=AE=1

"BCCET

-：SMEF=4,,△虹F=（AF）2=工

8.如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作。E〃AC分别交边AB、8C于点。、

E,过点。作。e〃BC交AC于点R如果。P=4,那么BE的长为8

解：连接8G并延长交AC于H,

：G为ABC的重心，

•••B—G_c乙,

HG

9：DE//AC,DF//BC,

・・・四边形0ECT是平行四边形，

：.CE=DF=4,

，：GE〃CH,

:•丛BEGs^CBH,

・BEBGry

CEGH

:.BE=8,故答案为：8.

9.如图，已知RtaABC中，两条直角边AB=3,BC=4,将Rt^ABC绕直角顶点B旋转一

定的角度得到RtZV)BE,并且点A落在。E边上，则sin/A8E=工.

-25一

解：•..将RtAABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到RtADBE,

：.BD=AB,BC=BE,/ABD=NCBE,ZDEB=ZACB,

：.ZD=ZBAC=ZBAD=^-(180°-AABD},

2

.,.ZB£C=A(180°-NCBE),

2

/D=ABEC,

VZABC=ZDBE^90°,

/.ZDEB+ZBEC=90°,

：.ZA£C=90°,

'：NAGB=NEGC,

：.ZACE=ZABE,

•.,在RtZ\ABC中，AB=3,BC=4,

：.AC=DE=5,

过8作BHLDE于H,

贝UDH=AH,BD1=DH'DE,

：.AD=^-,

5

：.AE^DE-AD=—,

5

7_

sinZABE=sinZACE==1-=,故答案为：—.

AC52525

10.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,A。平分NA4C,交边

BC于点D,过点D作。1的平行线，交边AB于点E.

(1)求线段。E的长；

(2)取线段AD的中点联结交线段DE于点R延长线段交边AC于点G,

求变的值.

DF

A

解：(1)平分N2AC,ZBAC=60°,

4c=30°,

在RtZxACO中，ZACD=90°,ND4c=30°,AC=6,

:.CD=2小

在RtaACB中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,

：.BC=6y[3<

：.BD=BC-CD=，a，

'：DE//CA,

•.D•~EB—D—2，

CABC3

.•.D£=4；

(2)如图，

:点M是线段AO的中点,

：.DM=AM,

'JDE//CA,

.DFDM

"AG'AM"

：.DF^AG,

'JDE//CA,

.EF_BFBF_BD

"AG=BG"BG"BC,

.EFBD

••—=一，

AGBC

:BD=AM，BC=SM，DF^AG,

•.•-E-F=—2.

DF3

11.如图，在菱形ABCQ中，/ADE、NCOP分别交8C、AB于点E、F,。/交对角线AC

于点M,S.ZADE=ZCDF.

(1)求证：CE=AF；

(2)连接ME,若奥=型，AF=2,求ME的长.

BECE

解：（1）•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD^CD,ZDAF=ZDCE,

又,:ZADE^ZCDF,

：.AADE-ZEDF=ZCDF-ZEDF,

：.NADF=NCDE,

在△AZ）/和△（?£>£：中,

,ZADF=ZCDF

-AD=CD，

ZDAF=ZDCE

/\ADF^/\CDE,

：.CE=AF.

(2):四边形ABC。是菱形,

：.AB=BC,

由（1）得：CE=AF=2,

:.BE=BF,

设BE=BF=x,

..CECD

=AF=2,

,BECE

.,.Z=x+2,解得

x2

：.BE=BF=4s

CECD

=,MCE=AF,

BECE

.CE=CD=CD

"BECEAF'

--ZCMD=ZAMF,NDCM=ZAMF,

\AAMF^ACMD,

.,mCDw_CM

CD=?CM=CE；^,ZACB^ZACB

AFAMBE

AABCsAMEC

\ZCAB=ZCME=ZACB

,.ME=CE=2

12.［问题背景］(1)如图①，己知△ABCS/XADE,求证：△ABDs/XACE.

［尝试应用］(2)如图②，在△A8C和△AOE中，ZBAC=ZDAE=90°

NABC=/ADE=30°,AC与OE相交于点凡点。在2C边上，地=展,

BD

①填空：胆=1；

BD

②求亚的值.

CF

(1)证明：如图①，VAABC^/XADE,

；.NBAC=/DAE,胆=蚂，

ADAE

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,空=。

ACAE

：.ZBAD=ZCAE,

：.AABDs^ACE.

(2)解：①如图②，'：ZDAE=90°,ZADE=30°,

：.DE=2AE,

AD=VDE2-AE2=V(2AE)2-AE2=MAE,

•.•世=在，

BD

：.AD=y/3BD,

:.MAE=MBD,

•••A―E-1，

BD

故答案为：1.

②如图②，连接CE,

'：ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=AADE,

：.ABAC^ACAE,

•AB=AC

"ADAE'

•AB=AD

ACAE)

'：ZBAD=ZCAE=9Q°-ZCAD,

：.ABAD^ACAE,

ZABC=ZACE,

：.ZADE=ZACE,

ZAFD=ZEFC,

：.^AFD^/\EFC,

•DF=AD

"CFCE'

由①得AO=«AE,AD=MBD,

.•.里=地=相，

CEAE

:.BD=MCE,

:.AD=MxMCE=3CE,

.•.包.=3,

CE

•.D•F1_D.

CF

更的值是3.

CF

A

13.如图，在正方形A5CD中，45=4,E、/分别是3C、C0上的点，且NE4b=45

AE.Ab分别交5。于点M、N,连接EN、EF.

(1)求证：AABNsAMBE；

(2)求证：BM2+Nb1=MN2；

(3)①求△CEb的周长；

②若点G、b分别是ERCD的中点，连接NG,则NG的长为$.

-L

BEC

(1)证明：如图1,•・•四边形A3CD是正方形，

：.AB=AD.ZBAD=ZABC=90°,

AZABD=ZADB=45°,

:・NABN=NMBE=45。,ZBME=ZABD+ZBAM=45°+ZBAM,

VZEAF=45°,

AZBAN=ZEAF+ZBAM=45°+ZBAM,

:・/BAN=/BME,

：.丛ABNs丛MBE.

(2)证明：如图1,将△AON绕点A顺时针旋转90°得至连接MH,

：.ZBAH=ZDAN,AH=AN,HB=ND,

VZMAN=ZEAF=45°,

・•・NMAH=/BAH+NBAM=ZDAN+ZBAM=45°,

・•・ZMAH=/MAN,

9

\AM=AMf

：.AMAH^丛MAN(SAS),

：.MH=MN,

■:NABH=/ADN=45。,

AZMBH=ZABD+ZABH=90°,

:.BM2+ND2=MN2.

(3)解：①如图2,将尸绕点A顺时针旋转90。得到△A3K,

：.AK=AFfNBAK=NDAF,BK=DF,ZABK=ZADF=90°,

AZABK+ZABE=1SO°,

・,•点K、点5、点E在同一条直线上，

NEAK=NBAE+/BAK=ZBAE+ZDAF=45°,

・•・ZEAK=ZEAFM,

'：AE=AE,

：.AEAK^^EAF(SAS),

：.EK=EF,

：.BE+DF=BE+BK=EK=EF,

•：CB=CD=AB=4,

：.CE+EF+CF=CE+BE+DF+CF=CB+CD=4+4=8,

:•△CEF的周长是8・

②如图2,,・,方是CO的中点，

：.CF=DF=—CD=2

2f

VZC=90°,

222

.\CF+EF=CE9

EF=BE+DF=BE+2,CE=CB-BE=4-BE,

/.22+(4-BE)2=(BE+2)2,

解得

3

尸=&+2=卫，

33

ZMBE=ZMAN=45°,ZBME=ZAMN,

•MB=ME

"MA而’

.MB=MA

"ME而’

ZAMB=ZNME,

/.AAMB^ANME,

；.NNEM=NABM=45°,

:.NENF=/MAN+/NEM=90°,

：G是所的中点，

：.NG=-EF=—X^-=^-

2233

故答案为：—.

图1

14.问题背景如图（1）,已知△ABCs^AZJE,求证：AABDsAACE；

尝试应用如图（2）,在△ABC和△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=

30°,AC与DE相交于点F,点。在BC边上，旦1=«,求】E的值；

BDCF

拓展创新如图（3）,D>AABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°,ZBDC=90°,AB

=4,AC=26,直接写出AQ的长.

问题背景

证明：VAABC^AADE,

...空望，ZBAC=ZDAE,

ADAE

：.ZBAD=ZCAE,空

ACAE

△ABQS"CE；

尝试应用

解：如图1,连接EC,

图1

'：ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=3>0°,

/.AABC^AADE,

由（1）知△ABZ）s2\ACE,

AAE^=AD_NACE=/ABD=NADE,

CEBD

在RtZ^ADE中，ZADE^30°,

：.也事,

AE

...坦坦岖3y=3

ECAECE

ZADF=Z.E