2023中考数学常见几何模型《角平分线的基本模型（二）非全等类》含答案解析

专题08角平分线的重要模型（二）非全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,

需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，.

本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）

【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，

可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD,是角平分线.

结论ZBDC=90°+-ZANBDC=90°——ZA

22

ZBDC=-ZA

2

1.（2022・广东•九年级专题练习）8尸是0ABe的平分线，CP是0ACB的邻补角的平分线,

BABP=20°,[?L4CP=50o,则回尸二（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

2.（2022•山东・济南中考模拟）如图1,在AABC中，勖AC的平分线AD与132cA的平分线

CE交于点O.

⑴求证：a4OC=90°+ya4BC；

（2）当MBC=90。时，且AO=3。。（如图2）,判断线段AE,CD,AC之间的数量关系，并加

以证明.

3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹

角与第三个内角的数量关系”进行了探究.（1）如图1,在△ABC中，N48C与NACB的平

分线交于点P,NA=64°,则N8PC=；（2）如图2,△ABC的内角NACB的平分线与

△ABC的外角N4B0的平分线交于点E.其中NA=a,求/BEC.（用a表示NBEC）；（3）如

图3,ZCBM./BCN为△ABC的外角，/CBM、/BCN的平分线交于点Q,请你写出NBQC

与NA的数量关系，并说明理由.（4）如图4,△ABC外角/CBM、/BCN的平分线交于点

Q,NA=64°,ZCBQ,/BCQ的平分线交于点P,则/BPC=°,延长BC至点E,

NECQ的平分线与BP的延长线相交于点R,则NR=__°.

4.（2022•辽宁沈阳•九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题

⑴已知在0ABe中，0A=60。，图1-3的0ABe的内角平分线或外角平分线交于点。请直接

写出下列角度的度数，如图1,回。=；如图2,回。=；如图3,00=；（2）如

图4,点。是0ABe的两条内角平分线的交点，求证：回。=90。+人朋（3）如图5,在0ABe中，

2

0ABe的三等分线分别与0AC8的平分线交于点。/。2,若m1=115。，02=135°,求0A的度数.

模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线），

【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线

时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角

形。

【模型图示】已知如图1,。尸为NAOB的角平分线，点尸角平分线上任一点时，辅助线

的作法大都为过点P作PM/IOB或即可.即有AOMP是等腰,三角形，利用相关

结论解决问题.

已知如图2,OC平分NAQB,点。是。4上一点，过点。作。E〃OC交OB的反向延长线

于点E,则OD=OE.

注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：

①AO〃8C+AC是NBA。的角平分线=>△ABC是等腰三角形；

@AD//BC+AABC是等腰三角形0AC是/BA。的角平分线；

③AC是/BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形nAZ）〃8C。

常见模型：

A

A

1.（2022・安徽•二模）如图，在，ABC中，NABC与ZACB的平分线8。，CO交于点。，过

点D作E尸〃BC,分别交48,AC于点E,F.若BE=2,CF=3,BC=9,则AE的长为

()

A.2.5B.4.5C.3.75D.6.75

2.（2022,重庆•九年级专题练习）如图，BABC中，0ABe与0AC8的平分线交于点尸，过点尸

作DE”BC交AB于■前。，交AC于点E,那么下列结论：①回8。尸和回CEV都是等腰三角形；

（2）DE=BD+CE；③0AOE的周长等于AB与AC的和;@BF>CF；⑤若0A=8O°,贝帆8FC

=130。.其中正确的有—.（填正确的序号）

----------------

4.（2022•沈阳市九年级专项训练）已知：如图，/ACD是AABC的一个外角，CE、CF分别

平分NACB、ZACD,EF/7BC,分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF

A

4.（2022•河南南阳•三模）阅读理解：如图（1）,BABC中，以B为圆心，以适当长为半径

画弧，与BC和8A分别交于点x,y再分别以点x,y为圆心，大于工xy的长为半径画弧，

2

两弧交于点。，作射线8。与AC交干点E,过点E作EF〃BC交AB于F.

观察思考：依据上述操作可，①0A8E与回C3E的大小关系为；②3尸与跖的数

关系为.

拓展延伸：如图（2）在0ABe中，0ABe的平分线与三角形外角0ACG的平分线交于点。，

过。作。8c分别交AC,AB于点£,R请判断所与BRCE之间的数量关系，并说

明理由.

问题解决：如图（3）,在ABCD中，ZA=30°,AD=2^3,连接切）,将0AB。沿8。折叠，

使点A落在直线。C上方的A处，当回A'OC是直角三角形时，请直接写出线段A8的长度.

模型3.面积模型

【模型解读与图示】

已知条件：BG、CG、AG分别是/ABC、ZACB,/8AC的平分线

辅助线：过点G作GOLBC、GELAC.FGLAB（求面积需要高，作垂直得到高）

结论：SAL\AziBDCLx=—/\/nD,GC4ABe

1.（2022•内蒙古•九年级期末）如图，ABC的三边A3,BC,C4长分别是20,30,40,

其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则5枷：S^BCO：4必。等于（）

2.（2022•安徽滁州二模）如图，ABC的面积为JGen?,王汨的平分线BP与AP垂直，垂足

3.（2022・湖北武汉•九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个

多边形的每个内角角平分线都交于一点。，点。叫做该多边形的内心，点。到其中一边的距

离叫做厂.

问题解决：如图1,在面积为S的ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内心。到边AC的

7q

距离为,，试说明r=-

类比推理：如图2,存在内心。的四边形ABCD面积为S,周长为/,用含有S与/的式子表

示内心。到边AB的距离r=；

理解应用：如图3,在四边形ABCD中，ABHDC,AB=21,CD=11,AD=BC=13,

对角线BD=20,点。i与仪分别为△ABD与△BCD的内心，它们到各自三角形的边的距离

分别为4和4,求21的值.

模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论））

【模型解读与图示】

条件：已知如图，是N8AC的角平分线，

BD

证明思路：过点。作再利用等面积的思路，证得：——=——

ACCD

简证：

S^ABD^BD,：DE=DF，乂^,AB=BD

SAACDCDSAACDACACCD

1.（2021•黑龙江大庆•中考真题）已知，如图1,若AD是&ABC中ZR4c的内角平分线，通

过证明可得*=黑，同理，若AE是:ABC中®C的外角平分线，通过探究也有类似的

AC

性质.请你根据上述信息，求解如下问题：如图2,在‘ABC中，BO=2,C£>=3,A。是:ABC

的内角平分线，则ABC的3C边上的中线长/的取值范围是

ffli图2

2.（2022•北京东城•九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分

线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

已知：如图，13ABe中，AD是角平分线.

=BD

求证：acDC.

证明：过C作CEEIDA,交BA的延长线于E.

山=<1£^营心.①

■AD是角平分线，

0-1=一~.

•.AC=AE.②

又，IDCE,

.一BD

AE~DC.③

AB=BD

AC~DC.

（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内

角平分线定理解答：已知，回ABC中，AD是角平分线，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD

的长；

（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比.请你通过研究

0ABD和回ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理.

3.(2022•江西赣州•九年级期末)定义：有一组对角互补的四边形叫做"对补四边形”，例如:

在四边形ABCD中，NA+NC=18O。，或N3+ND=180。，则四边形A3CD是“对补四边形

图⑴图⑵图⑶图⑷

⑴【概念理解】如图(1),四边形ABCD是"对补四边形”.

①若NA:ZB:NC=3:2:1,贝崛。的度数是

②若ZB=90。，且AB=2忘,AO=2,贝UCD?-

(2)【拓展延伸】如图(2),四边形ABCD是"对补四边形"，当AB=CB,S.ZEBF=^ZABC

时，猜测AE,CF,E尸之间的数量关系，并加以证明.

⑶【类比运用】如图(3),如图(4),在四边形ABCD中，AB=CB,BD平分NADC.

①如图(3),求证：四边形A3CD是"对补四边形”；

②如图(4),设AD=a,OC=6,连接AC,当NABC=90。，且肃组^=三时，求/的值.

4.(2022・广西•九年级专题练习)问题背景:

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,

已知AD是SABC的角平分线，可证隼=黑.小慧的证明思路是:如图2,过点C作。的42,

交A。的延长线于点E,构造相似三角形来证明笆=毁.

图3

⑴尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明普=熬

（2）应用拓展：如图3,在R。48c中，0BAC=9O°,。是边BC上一点.连接A。，将1aAC£>

沿AO所在直线折叠，点C恰好落在边48上的E点处.

①若AC=LAB=2,求。E的长;

②若8C=m，SAED=a,求DE的长（用含相，。的式子表示）.

课后专项训练

1.（2022・广东•佛山市南海区石门实验学校三模）如图，R/E1ABC中，0C=9O°,平分0ABe

交AC于点。，点E为的中点，若AB=12,CD=3,则SDBE的面积为（）

A.10B.12C.9D.6

2.（2022•山东枣庄•二模）如图，4、BI、C7分别平分ZBAC、ZABC、ZACB,ID±BC,

ABC的周长为18,ID=3,则ABC的面积为（）

A

A.18B.30C.24D.27

3.（2022•福建,模拟预测）如图，外的一点尸到三边所在直线的距离相等，若SBAC=

80°,贝腼

4.（2022・山东济宁•二模）如图，3E是NABD的平分线，C尸是NACD的平分线，BE与CF

交于G,若NB£>C=140。，ZBGC=110°,则NA=.

5.（2022•苏州九年级期中）如图，在，ABC中，ZF=16°,BD、CD分别平分NABC、

ZACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分ZMBC、ZBCN,

BF、C/分别平分NEBC、NECQ,则NA=.

6.（2020•山东九年级期中）如图、NABC的平分线BF与AABC中NACB的外角/ACG的平分

线CF相交于点F.过尸作DF〃BC,交AB于。，交AC于E,若B0=8,DE=3,则CE的长度为

7.（2021•福建中考真题）如图，A。是,A8C的角平分线.若NB=90。,BD=6，则

点D到AC的距离是.

8.（2022•北京•九年级专题练习）如图，回ABC中，I3A=7O。，BD、CE为角平分线，则回BOC='

9.（2021・湖北荆门市•八年级期末）如图，在,..ABC中，NABC和NACB的平分线相交于

点。，过点。作麻〃3C交A6于E,交AC于Q，过点。作0。，AC于。，下列结论：

@ZBOC=90°+-ZA：②点。到..A4C各边的距离相等；③EF=BE+CF：④

2

AD=（AB+AC-BC）；⑤设OD=nz,AE+AF=n,则5AA跳■=〃掰；其中正确的

结论是.

10.（2022•北京市宣武外国语实验学校九年级期中）请阅读下面材料，并回答所提出的问题.

三角形内角平分线定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成

比例.

已知：如图，I3ABC中，AD是角平分线.

证明：过C作CEEIDA,交BA的延长线于E.

ffll=EE,02=03.

EIAD是角平分线，

001=02.

aS3=l3E.

I3AC=AE.

又回CEIBDA,

ABBD

0------------.

ACDC

⑴上述证明过程中，步骤①处的理由是

⑵用三角形内角平分线定理解答：已知，EIABC中，AD是角平分线，AB=7cm,AC=4cm,

BC=6cm,则BD的长为cm.

11.（2022湖北中考模拟）如图，已知EL48c的周长是21,OB,OC分别平分13ABe和0AC2,

OZBBC于。，且。0=4,E1ABC的面积是

A

12.（2022•云南昆明八年级期末）（1）如图1,在AABC中，ZABC的平分线BF交AC于

F,过点F作DF〃BC,求证：BD=DF.（2）如图2,在AABC中，ZABC的平分线BF与

ZACB的平分线CF相交于F,过点F作DE//BC,交直线AB于点D,交直线AC于点

E.那么BD,CE,DE之间存在什么关系？并证明这种关系.（3）如图3,在AABC中，Z

ABC的平分线BF与/ACB的外角平分线CF相交于F,过点F作DE〃BC,交直线AB于

点D,交直线AC于点E.那么BD,CE,DE之间存在什么关系？请写出你的猜想.（不需

证明）

13.（2022•江阴市学九年级月考）如图，AABC中，ZABC,/ACB的平分线交于。点，过0

点作EF〃BC交AB,AC于E,F.（1）如图①，当AB=AC时图中有个等腰三角形.（2）

如图②，写出EF与BE、CF之间关系式，并说明理由.（3）如图③，若AABC中NABC的平

分线BO与三角形外角平分线8交于O,过。点作OE〃BC交AB于E,交AC于F.EF与

BE、CF关系又如何?说明你的理由.

A

A

A

三

B①CB②CB③C

14.（2022•江西•九年级期中）如图，在.A3c中，已知：A3=10,AC=8,A£>是它的角

平分线，ZJELAC且OE=4.（1）求，A3c的面积;（2）在解完（1）问后，小智经过

反思后发现T—小慧发现—-,请判断小智和小慧的发现是否正确?若正

^△ACZ）ACACCl

确，请写出证明过程，若错误，请说明理由.

A

A

BDC

专题08角平分线的重要模型（二）非全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,

需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，,

本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）

【模型解读】

双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平

分线的夹角的度数。

【模型图示】

条件：BD,。是角平分线.

结论：ZBDC=90°+-ZAZBDC=90°--ZA

22

ZBDC=-ZA

2

1.（2022・广东•九年级专题练习）8P是0ABe的平分线，CP是0ACB的邻补角的平分线,

0ABp=20°,0ACP=5O°,贝幅尸=()

A

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出国尸

的度数.

【详解】SBP是AABC中0ABe的平分线，CP是0ACB的外角的平分线，

0EL4BP=EICBP=2OO,EL4CP=EIMCP=50o,

H3PCM是ABCP的外角，fflP=0PCM-0CBP=5Oo-2Oo=3O°,故选：A.

【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等

于与它不相邻的两个内角的和.

2.（2022・山东・济南中考模拟）如图1,在"BC中，勖AC的平分线AD与回BCA的平分线

CE交于点O.

⑴求证：0AOC=90°+1-0ABC；

（2）当0ABC=9O。时，且40=3。。（如图2）,判断线段AE,CD,AC之间的数量关系，并加

以证明.

【答案】（1）见解析

4

（2）yAE+CZ）=AC,证明见解析

【分析】（1）求出勖AC+IBBCA=180Ja4BC,根据角平分线定义求出回04>,田氏4（7,0（9CA=

2

^BCA,即可求出回。AC+回。CA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；

2

(3)在AC上分别截取AM、CN,使CN=CD,连接。跖ON,证AAEOa3AM0,

△OCOE0NC。，推出I3EOA=EIMOA,EICON=EICOQ,OD=ON,求出0MON=[3MOA=45°,根据

角平分线性质求出MK=ML,据此计算即可求解.

(1)证明：00ABC+0ACB+0BAC=18O",

fflBAC+0BCA=18O°-0ABC,

EBBAC的平分线AD与EI8CA的平分线CE交于点0.

S3\OAC=-WAC,0OCA=-0BCA,

22

fflOAC+0OC4=-(0BAC+0BCA)=-(18O°-0ABC)=90°--EL4BC,

222

EBAOC=180°-(EOAC+0OCA)=180°-(9O°--0ABC),

2

即0Aoe=90°+；0ABC；

(2)解：iAE+CD=AC,

3

证明：如图2,a3AOC=90°+，EL4BC=135°,

2

EHEOA=45°,

在AC上分别截取AM、CN,使AAf=AE,CN=CD,连接OM,ON,

'AE=AM

则在EIAEO和MM。中，*/£A。=ZMAO,

AO=AO

0EL4EOB0AW,

同理M>coaaNCO,

^EOA=^MOA,^CON^COD,0D=0N,

瓯EOA=0MOA=EICON=iaCOO=45°,

HWON=EIMOA=45°,

过用作MAHA。于K,MZJ3ON于3

B

^\MK=MLf

SAOM=-AOxMK,SMON=-ONxML,

A22A

团A。=SMOM,

M...........-----------------

ONS^ON

团-----=----

SAMONMN

AOAM

团---=----，

ONMN

^\AO=3OD,

44

MTV=—AM=—AE,

她N+NCSC,

4

团一AE+CD=AC.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角

形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.

3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹

角与第三个内角的数量关系”进行了探究.（1）如图1,在△4BC中，N/BC与N/CB的平

分线交于点P,NA=64°,则NBPC=；（2）如图2,△/BC的内角N/CB的平分线与

△八BC的外角N/AB。的平分线交于点E.其中NZ=a,求N8EC.（用a表示NBEC）；（3）如

图3,NCBM、NBC/V为△八8c的外角，/CBM、NBC/V的平分线交于点Q,请你写出NBQC

与的数量关系，并说明理由.（4）如图4,ZVIBC外角NCBM、NBC/V的平分线交于点

Q,ZA=64°,ZCBQ,NBCQ的平分线交于点P,则NBPC=°,延长BC至点E,

NECQ的平分线与BP的延长线相交于点R,则NR=°.

【分析】(1)根据三角形的内角和角平分线的定义；(2)根据三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和，用/A与N1表示出/2,再利用/E与/I表示出N2,于是得到结

论；(3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出

NEBC与/ECB,然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；(4)结合(1)(2)(3)

的解析即可求得.

【解答】解：(1),；PB、PC分另IJ平分/ABC和NACB,

11

：.ZPBC=^ZJ\BC,ZPCB=^ZACB(角平分线的性质)，

ZBPC+ZPBC+ZPCB=180°(三角形内角和定理)，

111

AZBPC=180°-(NPBC+NPC8)=180°-(-ZABC+^ZACB)=180°一亨(ZABC+

222

ZACB)

iill

=180°(180°-/A)=180°-90°+^/A=90°+^Z^=90°+|X64°=122°.故

答案为:122°；

11

(2)：BE是/ABD的平分线，CE^ZACB：.ZECB=^ZACB,ZECD=^ZABD.

：NAB。是△ABC的夕卜角，NEB。是△BCE的夕卜角，/.ZABD=ZA+ZACB,ZEBD=ZECB+

ZBEC,

111

(NA+NACB)

:.NEBDF2/ABD"2=ZBEC+2ZECB,^-ZA+ZECB=ZECB+ZBEC,

11

AZBEC=/4=aa；

1

(3)结论/3QC=90°-讶/八.

与NBCN是△ABC的夕卜角，：.ZCBM^ZA+ZACB,NBCN=NA+/ABC,

11

VBQ,CQ分别是/ABC与/ACB外角的平分线，：.ZQBC=^CZA+ZACB),ZQCB=(Z

A+ZABC).

VZQBC+ZQCB+ZBQC=180°,

11

：.ZBQC=180°-ZQBC-ZEQB=180°CZA+ZACB)一)(ZA+ZABC\

1111

=180°-]N4—2(ZA+ZABC+ZACB)=180°-^ZA~90°=90°~2ZA;

11

(4)由(3)可知，NBQC=90。一衣4=90°—>64。=58。,

由(1)可知NBPC=90°+1ZBQC=90°+]X58。=119°；

1

由(2)可知，ZR=2ZBQC=29°故答案为119,29.

【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和是解题的关键.

4.(2022・辽宁沈阳•九年级期中)阅读下面的材料，并解决问题

'图1'图2c图30B图4GB图5°

(1)已知在0ABe中，0A=6O°,图1-3的0ABe的内角平分线或外角平分线交于点。，请直接

写出下列角度的度数，如图1,回。=;如图2,回。=；如图3,回。=；

(2)如图4,点。是0ABe的两条内角平分线的交点，求证：00=90°+1a4

(3)如图5,在0ABe中，0ABe的三等分线分别与0ACB的平分线交于点。/。2，若团1=115°,

02=135°,求0A的度数.

【答案】⑴120°,30°,60。⑵见解析⑶70。

【分析】(1)由0A的度数，在0ABe中，可得13ABe与EACB的和，又BO、C。是内角平分

线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得

答案；

(2)由0A的度数，在0ABe中，可得0ABe与0AC8的和，又BO、CO是角平分线，利用角

平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；

(3)先分别求出0ABe与0AC8的度数，即可求得0A的度数.

(1)①在图1中：回8。平分0ABC,CO平分0AC8

00OBC=|EIABC,0OCB=1[3ACB

^EOBC+^OCB

=；(EL4BC+0ACB)

二(180°-EIBAC)

=?(180°-60°)=60°

00(9=180°-(0OBC+0OCB)=120°；

②在图2中：

回8。平分0A8C,CO平分EIAC。

00OBC=10ABC,回OCD=；0ACQ

EHACZ)=0A8C+0AEHOCZ)=J_(EL4BC+0A)

2

00OC£)=BOBC+0O

00O=0OCD-0OBC=J_EIABC+0A2C=J_EIA=30o.

2222

③在图3中：国2。平分I3E2C,CO平分回BCD

00OBC=y0EBC,0OCB=y0BCZ)

E0OBC+[?IOCB=1(.^EBC+^iBCD)=1(EIA+0ACS+0BCD)=1(0A+18O°)=1(60°+180°)

255万

=120°

000=180°-(0OBC+0OCB)=60".故答案为：120°,30°,60°.

(2)证明：回。2平分EABC,OC平分0ACB,

SEOBC=^SABC,^OCB=\^ACB,

00=180°-(0OBC+0OCB)=180°-；(0ABC+a4CB)=180°-y(18O°-0A)=90°+?fflA.

(3)设0/18。2=回。280/=回。/BC=a,0ACO2=I28co2=£，

回2a+夕=180°-115°=65°,a+夕=180°-135°=45°解得：a=20°,§=25。

a3ABC+0AC8=3a+2W=6O°+5O°=llO°,00A=7O".

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识,

熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键.

模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线），

【模型解读】

1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边

上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

【模型图示】

已知如图1,0P为NAC化的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为

过点P作PM//OB或。扬//。4即可.即有AOMP是等腰,三角形，利用相关结论解决问题.

已知如图2,0c平分NAQB,点。是。4上一点，过点。作。E7/0C交的反向延长线

于点E,则OD=OE.

注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：

①是的角平分线=>△ABC是等腰三角形；

©AD//BC+AABC是等腰三角形nAC是NBA。的角平分线；

③AC是/BAD的角平分线+△ABC是等腰三角形04。〃BC。

常见模型：

A

A

1.(2022・安徽•二模)如图，在，ABC中，ZABC与ZACB的平分线8。，CO交于点。，过

点D作EF〃BC,分别交AB,AC于点E,F.若BE=2,CF=3,BC=9,则AE的长为

()

A.2.5B.4.5C.3.75D.6.75

【答案】A

【分析】由角平分线的性质得到44瓦＞=ZD8C,ZACD=ZDCB,由两直线平行内错角相等得

到NEDB="BC,NFDC=NDCB,进而证明BE=£D,CF=DF,解得EF的长，再根据

平行线判定AEFABC,最后根据相似三角形的对应边成比例解答.

【详解】解：8。平分NABC,CD平分ZACB,:.ZABD=ZDBC,ZACD=ZDCB

EF//BCZ.EDB=ZDBC,ZFDC=ZDCB

:.ZABD=ZEDB,ZACD=ZFDCBE=ED,CF=DF

BE=2,CF=3.\EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5

ApFF5

EF//BCAEFABC/.——=——=—

ABBC9

AE=|.•.4AE=10，AE=2.5故选:

A.

AE+BE

【点睛】本题考查等角对等边、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质

等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

2.（2022,重庆•九年级专题练习）如图，0ABe中，0ABe与0AC8的平分线交于点凡过点P

作£）E〃8C交A8于点D,交AC于点E,那么下列结论：①SBOE和回CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；③MOE的周长等于A3与AC的和；@BF>CF；⑤若04=80。，则回8FC

=130°.其中正确的有—.（填正确的序号）

【答案】①②③⑤

【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解.

【详解】①回BF是13ABe的角平分线，CF是回ACB的角平分线，00ABF=0CBF,0ACF=0BCF,

0DE0BC,00CBF=0BFD,0BCF=0EFC（两直线平行，内错角相等），

00ABF=0BFD,0ACF=0EFC,0DB=DF,EF=EC,

EEBDF和团CEF都是等腰三角形，回①选项正确，符合题意；

②回DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,EIDE=DB+CE,回②选项正确，符合题意；

③H3ADE的周长为=人口+。£,

0DE=DB+CE,00ADE的周长为=AD+DB+AE+CE=AB+AC,回③选项正确，符合题意；

④根据题意不能得出BF>CF,回④选项不正确，不符合题意；

⑤回若IBA=80°,fflABC+0ACB=18Oo-0A=18Oo-8Oo=lOO°,

00ABF=EICBF,SACF=0BCF,00CBF+0BCF=1xl00°=50°,

2

00BFC=18O°-ECBF-[3BCF=18OO-5O<,=13OO,

回⑤选项正确，符合题意；故答案为：①②③⑤.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直

线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关

键.

4.（2022•沈阳市九年级专项训练）已知：如图，NACD是AABC的一个外角，CE、CF分别

平分/ACB、ZACD,EF//BC,分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF

【分析】由角平分线的定义可得/BCE=NACE,ZACF=ZDCF,由平行线的性质可得NBCE

=ZCEF,ZCFE=ZDCF,利用等量代换可得/ACE=/CEF,ZCFE=ZACF,根据等角对等

边即可求得EH=CH=HF,进而求得EH=HF.

【详解】：CE、CF分别平分/ACB、ZACD,/BCE=NACE,/ACF=/DCF,

VEF//BC,NBCE=NCEF,ZCFE=ZDCF,

/.ZACE=ZCEF,ZCFE=ZACF,；.EH=CH,CH=HF,AEH=HF.

【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等角对等边求解是解题

关键.

4.（2022•河南南阳•三模）阅读理解：如图（1）,0ABC中，以B为圆心，以适当长为半径

画弧，与BC和BA分别交于点x,y再分别以点x,y为圆心，大于的长为半径画弧，

2

两弧交于点。，作射线BD与AC交干点E,过点£作£尸〃交于尸.

观察思考：依据上述操作可，①0A8E与团C8E的大小关系为；②断与EF的数

关系为.

拓展延伸：如图（2）在a48c中，0ABe的平分线与三角形外角0ACG的平分线交于点。，

过。作。尸〃BC分别交a。4?于点E,F,请判断EF与B凡CE之间的数量关系，并说

明理由.

问题解决：如图（3）,在ABCD中，ZA=30°,AD=2^3,连接应），将0ABO沿8。折叠，

使点A落在直线DC上方的A'处，当回A'OC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度.

AAA'

【答案】观察思考：®0AB£=0CBE；Q)BF=EF；拓展延伸：3A=EF+EC;问题解决:

4或6

【分析】观察思考：①根据作图可知班是ZABC的角平分线，可得NABE=NCBE,

②根据EF//8C可得NCBE=NEEB,等量代换可得，0AB£=0CBE；等角对等边即可得,

BF=EF;

拓展延伸：方法同上可得BF=FD,ED=EC,进而可得8尸=砂+EC；

问题解决:分ZA'DC=90。和NDAC=90。，两种情形,根据含30度角的直角三角形的性质,

勾股定理求解即可求得的长

【详解】观察思考：①根据作图可知班是ZABC的角平分线，/ASE=NCBE,

②EFIIBCNCBE=ZFEB,

0ABE=0CB£；QNFBE=NFEB,:.BF=EF；

拓展延伸：BF=EF+ECQBD平分ZABC:.ZABD=NCBD

DF//BCZFDB=ADBC:.ZFBD=ZFDB:.FD=FB

CD平分ZACGZACD=ZGCD

DF//BC■-ZEDC=ZDCGZACD=NEDC

:.EC=ED:.FD=EF+ED=EF+ECBF=EF+EC

问题解决：当/A'DC=90。时，如图，延长AO交48于点E,

四边形AC3D是平行四边形.1AB//。。AD±DC..A'E±AB

折叠，A!D=AD,A!B=ABZA=30°N£A'B=30°

EB=^A'B:.EB=^AB：,AE=EBZA=30°,AD=2A/3DE=^

=12呵一（国=3：.AB=2AE=6

HAADE中,AE=YAD2-DE2

当NDTC=90。时，如图,

四边形ABCD是平行四边形.•.CD=AB

折叠，，AD=AD,A!B=AB.-.DC=AB

四边形ADBC是矩形ZADB=ZADB=90°

ZA=30°,AD=273,DB=^AB

AD=y/AB2-DB2=y/3DB,QB=2AB=2DB=4

综上所述，4?的长为4或6

【点睛】本题考查了作角平分线，等边对等角，平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的

性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用以上知识是解题的关键.

模型3.面积模型

【模型解读与图示】

已知条件：BG、CG、AG分别是/ABC、/ACB、/8AC的平分线

辅助线：过点G作GOLBC、GELAC.FGLAB（求面积需要高，作垂直得到高）

结论：SAABC=iDG-CAABC

1.（2022•内蒙古•九年级期末）如图，ABC的三边AB,BC,C4长分别是20,30,40,

其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SAB。：S"入切等于（）

B

A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5

【答案】C

【分析】过点。作于O,OELAB于E,Ob于尸，根据角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：OE=OF=OD,依据三角形面积公式求比值即

可得.

【详解】解：过点。作ODLAC于。，于E,。尸，BC于尸，

.点。是三条角平分线交点，\OE=OF=OD,

:.SABO：SABCO：SCAO=-ABOE■^BCOF■-ACOD=AB:BC:AC=2:3:4,故

选：C.

【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键.

2.(2022•安徽滁州•二模)如图，ABC的面积为限m,壬汨的平分线BP与AP垂直，垂足

为点尸，AB:BC=2:5,那么的面积为cm2.

【答案】

【分析】延长AP交BC于T,根据3尸，AT,3尸为NABC的角平分线，可得

ZBPA=ZBPT=90°,NPBA=NPBT,可证.BPANBPT(ASA),则有丛=pr,得

S^BPA=，4BPT，S4ACP=S^CPT>即有以取=京4小=；石，再根据AB:3c=2:5,且ZABC的

角平分线到AB与3C的距离相等，可得以4*:5-g=2：5,贝|5人的=|54皿=：6,再根据

S公APC=S/^ABC-S&ABP-SMBC求解即可

【详解】如图延长AP交BC于T,

0BP±AT,0ZBPA=ZBPr=9O0,

EIBP为NABC的角平分线，aNPBA=NPBT,

在△BR4与8PT中，

ZPBA=NPBT

<BP=BP^.BPA^.BPT（A5A）,^\PA=PT,

ZBPA=ZBPT

2

二qq-c=^73（cm

国S^BPA一°/\BPT，°AACP-*/\CPT，u冏°sAPBC

团AB:5C=2:5,且NABC的角平分线到A5与5c的距离相等,

团^^ABP:S^PBC=2.5,

12

贝J5AABP=15APBC=-|X^-73=173（cm）.

S=SSS2

^^APC^ABC-^ABP-^PBC=73-15/3-^3=A/3（cm）.

故答案为：^A/3.

【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

3.（2022・湖北武汉•九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个

多边形的每个内角角平分线都交于一点。，点。叫做该多边形的内心，点。到其中一边的距

离叫做厂.

问题解决：如图1,在面积为S的ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内心。到边AC的

7q

距离为小试说明〃=-.

a+b+c

类比推理：如