2023中考数学常见几何模型《手拉手模型（从全等到相似）》含答案解析

专题03手拉手模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注

重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就手拉手模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）

【模型解读】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉

手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【常见模型及证法】

（等腰直角）

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二

个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD）,右手拉右手（即连结CE）,得，ABDmACE。

1.（2022・青海・中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把

它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为"手拉手"

图形.

⑴问题发现：如图1，若ABC和"3是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.

求证：BD=CE；

⑵解决问题：如图2,若△ACB和,DCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,点A,

D,E在同一条直线上，CM为DCE中。£边上的高，连接BE,请判断0AE8的度数及线段

CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

2.（2022•黑龙江•中考真题）ABC和.ADE都是等边二角形.

（1）将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接8。，CE并延长相交于点P（点P与点A重

合），有Rl+PB=PC（或R4+PC=PB）成立；请证明.（2）将皿?绕点A旋转到图②的

位置时，连接BD,CE相交于点P,连接B4,猜想线段抬、PB、PC之间有怎样的数量关

系？并加以证明；（3）将ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接2D,CE相交于点P,连

接出，猜想线段孙、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

C

E

D

图①图②图③

3.（2022•吉林•九年级期末）如图①，在ABC中，ZC=90°AC=BC=®^D,£'分

别在边AC,BC±,且CD=CE=B止匕时AD=3E,AD_LBE成立.

图①图②图③

（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90。时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）

当MDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，/⑦与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立?

若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△（?£»£绕点C逆时针旋转一周

的过程中，当A,D,£三点在同一条直线上时，请直接写出的的长度.

模型2.手拉手模型（旋转相似模型）

【模型解读与图示】

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.

L（2022•四川达州•中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不

同的等腰直角三角形45c和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，ZACB=ZECD=9Qa,

随后保持ABC不动，将绕点C按逆时针方向旋转a（0。<（z<90。），连接AE,BD,

延长8。交AE于点F,连接CT.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答：

4AA

cDBcBCB

图1图2图3

A

CB।....—--------------—

CDBCB

图4图5图6

（1）【初步探究】如图2,当即〃3C时，则。=

（2）［初步探究】如图3,当点E,F重合时,请直接写出AF,所，CF之间的数量关系:

（3）【深入探究】如图4,当点E,F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

出推理过程；若不成立，请说明理由.⑷【拓展延伸】如图5,在ABC与中，

ZACB=/DCE=90。,若8C=%AC,CD=mCE（m为常数）.保持.ABC不动，将△CDE

绕点C按逆时针方向旋转a（0。<=<90。），连接4£,BO,延长8。交AE于点F,连接C/,

如图6.试探究AT,BF,CP之间的数量关系，并说明理由.

2.（2022•山东烟台・中考真题）

（1）【问题呈现】如图1,0ABe和财DE都是等边三角形，连接BDCE.求证：BD=CE.

⑵【类比探究】如图2,0ABe和0AOE都是等腰直角三角形，0ABe=0A£）E=9O。.连接BD,

CE.请直接写出丝的值.⑶【拓展提升】如图3,和0AOE都是直角三角形，0ABC

CE

=0ADE=9O。，且名=铛=1.连接8。，CE.①求总的值；②延长CE交8。于点孔

DCDE4CE

交AB于点G.求sinEB尸C的值.

3.（2022•山东•东营市一模）【提出问题】

（1）如图1,在等边0ABe中，点Af是BC上的任意一点（不含端点3、C）,连结AM,以

AM为边作等边0AMM连结CN.求证：0ABe=0ACN.

【类比探究】（2）如图2,在等边0ABC中，点〃是BC延长线上的任意一点（不含端点C）,

其它条件不变，（1）中结论0ABe=0ACN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】（3）如图3,在等腰0ABC中，BA=BC,点M是BC上的任意一点（不含端点

B、C）,连结AM,以AM为边作等腰0AMN,使顶角0AMN=0A8C.连结CM试探究0ABe

与0ACN的数量关系，并说明理由.

4.（2022・山西长治•九年级期末）问题情境：如图1,在0ABe中，AB=6,AC—5,点、D,E

分别在边AB,AC上，且。E〃3c.数学思考:

（1）在图1中，一的值为______；（2）图1中BABC保持不动，将BADE绕点A按逆时针方向

CE

旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BA,CE,则（1）中的结论是否仍然成立？并说

明理由；⑶拓展探究：在图2中，延长BD,分别交AC,CE于点RP,连接AP,得到图

3,探究0APE与0ABe之间有何数量关系，并说明理由；（4）若将0ADE绕点A按逆时针方向

旋转到图4的位置，连接8。，CE,延长8。交CE的延长线于点P,8P交AC于点F,则

（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出0APE与0ABe

之间的数量关系.

课后专项训练：

1.（2022•湖南•中考真题）如图，点。是等边三角形ABC内一点，Q4=2,OB=1,OC=6,

则AAO3与ABOC的面积之和为（)

C.述D.也

4

2.（2022•四川宜宾•中考真题）如图,ABC和aADE都是等腰直角三角形,

NA4C=mtE=90。，点。是8C边上的动点（不与点8、C重合），OE与AC交于点?

连结CE.下列结论：①BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,则色£=4；④

AF5

在,ABC内存在唯---点P,使得B4+P3+PC的值最小，若点。在AP的延长线上，且

AP的长为2,则CE=2+G.其中含所有正确结论的选项是（）

E

c.①③④D.①②③④

3.（2022•湖北,襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB和，MON都

是等腰直角三角形(巫OA<OM=ON),EL405=0^0^=90°.

2

（1）如图①，连接AM,BN,求证：AOMHBON；（2）若将.MON绕点。顺时针旋转,

①如图②，当点N恰好在A8边上时，求证：BN?+AN?=20N?;

②当点A,M,N在同一条直线上时，若。8=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.

4.(2022•山西朔州,九年级期末)综合与实践

问题情境:在数学课上老师出了这样一道题:如图1,在，中钻=&C=6,NBAC=30。,

求3C的长.

(1)探究发现:如图2,勤奋小组经过思考后，发现:把钻C绕点A顺时针旋转90。得到ADE,

连接BD,BE,利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；

(2)探究拓展：如图3,缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把ABC绕点A顺时针旋转120。

后得到ADE,连接3D,CE交于点F,交A3于点G,请你判断四边形AE甲C的形状并证

明；

⑶奇异小组的同学把图3中的3G尸绕点8顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF,发现AF

的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值.

5.(2022•湖北武汉•八年级期末)已知，A8C中，0BAC=6O",以AB和BC为边向外作等边

4BD和等边BCE.

cc

图1图2图3

（1）连接AE、CD,如图1,求证：AE=CD；

（2）若N为CD中点，连接AN,如图2,求证：CE=2AN

⑶若ABSBC,延长A8交。E于M,DB=正,如图3,贝|（直接写出结果）

6.（2022,湖南•长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1,在用0ABe中，0B=9O°,

AB=BC=4,点。，E分别为边AB,8C上的中点，且BD=BE=啦.

⑴如图2,将SBQE绕点B逆时针旋转任意角度a,连接A。，EC,则线段EC与AQ的关系

是;

（2）如图3,DE^iBC,连接AE,判断SEAC的形状，并求出EC的长；

⑶继续旋转SBOE,当0AEC=9O。时，请直接写出EC的长.

7.（2022•广东・惠州一中八年级期中）ABC为等边三角形，AB=4,AC2C于点AE

为线段AD上一点，AE=6以AE1为边在直线4D右侧构造等边连结CE,N为

CE的中点.

（1）如图1,E尸与AC交于点G,①连结NG,求线段NG的长；②连结ND,求NDNG

的大小.

（2）如图2,将绕点A逆时针旋转，旋转角为a.M为线段E户的中点.连结DN、

MN.当30。<«<120。时，猜想NDMW的大小是否为定值，并证明你的结论.

备用图

8.（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA=CB=m,在△AED中，DA=DE=Lm,请探

2

索解答下列问题.

【问题发现】（1）如图1,若/ACB=/A£>E=90°,点。，E分别在CA,AB±,贝UCD

与BE的数量关系是—，直线CD与BE的夹角为—；

【类比探究】（2）如图2,若NACB=/Ar>E=120°,将△&££>绕点A旋转至如图2所示

的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由.

【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若机=2,将△?!£：£）绕点A旋转过程中，当B,E,D

三点共线.请直接写出CD的长.

图1图2备用图

9.（2022•虹口区期中）如图,在AABC和AAOE中，ZBAD=ZCAE,ZABC=AADE.

（1）求证：△ABCs△ADE；（2）判断△AB。与△ACE是否相似？并证明.

10.(2022•长垣市一模)在△ABC中，AB=AC,点。为A8边上一动点，NCDE=NBAC

=a,CD=ED,连接BE,EC.(1)问题发现：如图①，若a=60°,则,

AD与EB的数量关系是；

(2)类比探究：如图②，当a=90°时，请写出NEBA的度数及A。与班的数量关系并说

明理由；

(3)拓展应用：如图③，点E为正方形ABC。的边上的三等分点，以DE为边在DE

上方作正方形DEFG,点0为正方形DEFG的中心，若OA=®,请直接写出线段EF的

长度.

图①图③

11.(2022•山西•寿阳县教研室九年级期末)问题情境：如图1所示，在她3c中，D、E分

另U是AB、AC上的点，DE//BC,在图1中将AZJE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2,

然后将8。、CE分别延长至M、N,使EN=^CE,得到图3,请解答下列问题：

c

cD

（1）猜想证明：若A8=AC,请探究下列数量关系：①在图2中，30与CE的数量关系是

②在图3中，猜想回MAN与SBAC的数量关系，并证明你的猜想；

（2）拓展应用：其他条件不变，若A8=0AC,按上述操作方法，得到图4,请你继续探究:

回MAN与aBAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想.

12.（2022•辽宁•东港市第七中学一模）如图，在ABC.ADE中，AB=AC,AD=AE,

^ZBAC=ZDAE=a.连接BD,以3C、BD为邻边作BDFC,连接£F.

（1）若。=60。，当A£＞、AE分别与AB、AC重合时（图1）,易得EF=C尸.当ADE绕点A

顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段E/、B的数量关系；⑵若，=90。，

当汨绕点A顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段反、CT的数量关系，并证明

你的结论；⑶若。为任意角度，AB=6,BC=4,AD=3,_ADE绕点A顺时针旋转一周

（图4）,当A、E、下三点共线时，请直接写出AF的长度.

专题03手拉手模型（从全等到相似）

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注

重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就手拉手模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（全等模型）

【模型解读】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉

手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【常见模型及证法】

（等腰直角）

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二

个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD）,右手拉右手（即连结CE）,得，ABDmACE。

1.（2022・青海・中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把

它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为"手拉手"

图形.

⑴问题发现：如图1，若ABC和"3是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.

求证：BD=CE；

⑵解决问题：如图2,若△ACB和,DCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,点A,

D,E在同一条直线上，CM为DCE中。£边上的高，连接BE,请判断0AE8的度数及线段

CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

图1图2

【答案】（1）见解析（2）ZDCE=90。；AE=AD+DE=BE+2CM

【分析】（1）先判断出回54AEICAE,进而利用SAS判断出△BWEECAE,即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出ABW幽CAE,得出AD=8E,^ADC^BEC,最后用角的差，即

可得出结论.

【解析】（1）证明：0ABC和是顶角相等的等腰三角形，

0AB=AC,AD=AE,ZBAC=/DAE,

BiZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,^ZBAD=ACAE.

AB=AC

在..BAD和VC4E中，＜=,

AD=AE

S\/\BAD^Z\CAE(SAS),RBD=CE.

⑵解：ZAEB=90P,AE=BE+2CM,

理由如下：由（1）的方法得，VACD^VBCE,

^\AD=BE,NADC=NBEC,

E/\CDE是等腰直角三角形，

0ZCDE=ZC£D=45°,

0ZADC=180°-ZCDE=135°,

0ZBEC=ZADC=135°,

0ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°.

0CD=CE,CMLDE,^DM=ME.

^ZDCE=90°,^DM=ME=CM,

^\DE=2CM.^\AE=AD+DE=BE+2CM.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三

角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACZBBBCE是解本题的关键.

2.（2022•黑龙江•中考真题）ABC和，ADE都是等边三角形.

（1）将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接8。，CE并延长相交于点P（点P与点A重

合），有Rl+PB=PC（或R4+PC=PB）成立；请证明.（2）将皿?绕点A旋转到图②的

位置时，连接BD,CE相交于点P,连接B4,猜想线段Bl、PB、PC之间有怎样的数量关

系？并加以证明；⑶将ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接2。，CE相交于点P,连

接出，猜想线段出、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

【答案】（1）证明见解析（2）图②结论：PB=PA+PC,证明见解析（3）图③结论：

PA+PB=PC

【分析】（1）由AABC是等边三角形，得AB=AC,再因为点P与点A重合，所以尸

PC=AC,PA=0,即可得出结论；（2）在8尸上截取BF=CP,连接AF,证明.BAD当.CAE（SAS）,

得NABD=NACE,再证明△CAT监ABAF（SAS）,得NCAP=/BAF,AF=AP,然后证

明,APP是等边三角形，得P/=AP,即可得出结论；(3)在CP上截取CF=BP,连接AE,

证明BAD^CAE(SAS),得ZABD=ZACE,再证明4P四△CAP(SAS),得出

ZCAF=ZBAP,AP=AF,然后证明，47是等边三角形，得尸尸=AP,即可得出结论:

PA+PB=PF+CF=PC.

⑴证明：团0ABe是等边三角形，0AB=AC,

回点P与点A重合，^\PB=AB,PC=AC,PA=O,

^\PA+PB=PC^PA+PC=PB-,

(2)解：图②结论：PB=PA+PC

证明：在5尸上截取B/=CP,连接AF,

0ABC和都是等边三角形，

SAB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°

^ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,

^ZBAD=ZCAE,0CAE(SAS),SZABD=ZACE,

EL4c=A2,CP=BF,HACAF^ABAF(SAS),

S\ZCAP=ZBAF,AF=AP,ZCAP+ZCAF=ZBAF+ZCAF,

0ZfAP=Zfi4C=6O°,ELAFP是等边三角形，

^PF=AP,^\PA+PC=PF+BF=PB；

⑶解：图③结论：PA+PB=PC,

理由：在CP上截取CF=3P,连接AE

0ABC和.、ADE都是等边三角形，

回AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°

0ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,^\ZBAD=ZCAE,

团BAD^CAE(SAS),ZABD=ZACE,

SAB=AC,BP=CF,0ABAP^AC4F(SAS),

SZCAF=ZBAP,AP=AF,ZBAF+ZBAP=ZBAF+ZCAF,

^ZFAP=ZBAC=60°,ELAFP是等边三角形，

^PF=AP,^PA+PB=PF+CF=PC,PA+PB=PC.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角

形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键.

3.（2022•吉林,九年级期末）如图①，在aABC中，ZC=90°,AC=BC=&Y、D,E分

别在边AC,BC±,且CD=CE=B此时AD=3E,AD_LBE成立.

图②图③

（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90。时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）

当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，/⑦与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立?

若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点C逆时针旋转一周

的过程中，当A,D,E三点在同一条直线上时，请直接写出的的长度.

【答案】（1）补充图形见解析；BE=20；（2）AD=BE,AD,BE仍然成立，证明见解

析；⑶AD=j5-l^AD=y/5+l.

【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE的长即可；

（2）根据SAS证明AACD=ABCE得AO=8E,01=02,再根据01+回3+回4=90°得团203+04=90°,

从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可.

【详解】解：（1）如图所示，

根据题意得，点。在BC上，回MCE是直角三角形，且BC=#,CE=V2

由勾股定理得，BE=yJCE2+BC2=J（勾了+（6）2=2及；

（2）AD=BE,AD,BE仍然成立.证明：延长AD交8E于点

0ZACB=ZDCE=90°,ZACD=ZACB-ZBCD,NBCE=ZDCE-NBCD,

^\ZACD=ZBCE,

又©CD=CE,AC^BC,EIAACD=ABCE,^\AD=BE,Z1=Z2,

在及ABC中，Zl+Z3+Z4=90°,0Z2+Z3+Z4=90°,S\ZAHB=90°,S\AD±BE.

（3）①当点。在AC上方时，如图1所示，

同（2）可得"8=/\爪2£

SAD=BE

同理可证BE-LAE

在RfACQE中，CD=CE=y[2

0DE=[C»+CE2=2

在RSACB中，AC=BC=瓜

®AB=7AC2+BC2=2A/3

设AD=BE=x,

在RtAABE中，BE2+AE2=AB1

0X2+(X+2)2=(2A/3)2

解得,x=Vs-1

0AD=45-1

②当点。在AC下方时，如图2所示,

图2

同(2)可得/\ACD=Z\BCE

SAD=BE

同理可证

在RfACDE中，CD=CE=y/2

^DE=yJcD2+CE2=2

在RSACB中，AC=BC=而

^AB=^AC-+BC1=2A/3

设AD=BE=x,

在RdABE中，BE2+AE2=AB2

0X2+(X-2)2=(2A/3)2

解得,X=&+1

0AD=^+1.

所以的值为6-1或6+1

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练解答本题

的关键.

模型2.手拉手模型（旋转相似模型）

【模型解读与图示】

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.

1.（2022・四川达州•中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不

同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，ZACB=ZECD=9Q°,

随后保持，ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转a（0。<«<90。），连接AE,BD,

延长交AE于点F,连接CP.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答:

图1图2图3

图4图5图6

⑴【初步探究】如图2,当£D〃BC时，则。=；

（2）【初步探究】如图3,当点E,F重合时，请直接写出"，3尸，CP之间的数量关系:

⑶【深入探究】如图4,当点E,F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

出推理过程；若不成立，请说明理由.（4）【拓展延伸】如图5,在，MC与△CDE中，

ZACB=NDCE=90°,若3C=mAC,CD=mCE（m为常数）.保持一ABC不动，将MDE

绕点C按逆时针方向旋转a（0。＜0＜90。），连接AE,2。，延长3D交AE于点F,连接CP,

如图6.试探究AF,BF,CP之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）45。（2）台尸=A尸+0CF⑶3尸=A尸+在CF仍然成立，理由见解析⑷

BF=-\/l+m2FC+mAF

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得ACLBC,根据题意可得AC_LE。，根据

等原三角形的性质可得AC平分/ECO,即可得/4CE=45。，根据旋转的性质可知/EG4=Q；

（2）证明ACE0△BCD,可得钻根据等腰直角三角形可得瓦＞=0CE，由

BE=BD+ED,即可即可得出3P=AF+0CF;

（3）同（2）可得AACE/ABCD,过点C,作。〃_1/0交8尸于点“，证明FECqHDC,

△AFCABHC,可得BH=AF,即可得出BE=A尸+忘（不；

（4）过点C作CG_LCF,交加'于点G,证明△ACE's"CD，可得3G=mAF,GC=mFC,

在RtbCG中，勾股定理可得FG=J1+r/FC，即可得出班'=++.

（1）.,等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,.•./ECD=90。，AC±BC

ED//BC:.ED1ACZAC£=a=45。故答案为：45°

图3

图4

(2)ZACB=Z.ECD=90°ZACE+AACD=ZACD+ZBCDZACE=NBCD

AC=BC

在iACE与△BCD中，＜NACE=NBCDACE/乙BCD，AE=DBBE=BD+ED

EC=DC

y.ED=-J1CEBE=AE+^2CE瓦P重合，2F=A尸+四CF故答案为：

BF=AF+6CF

⑶同(2)可得ACE/ABCDAE=DB,NEAC=ZDBC

过点C,作C”,产C,交BF于点H,

则ZECF+ZFCD=NFCD+Z.DCH=90°,；.NECF=ZDCH,

ZFEC=ZHDC

在.PEC与△HDC中,\EC=CD,FEC%HDC,

ZECF=ZDCH

.•.尸C=CH,CEE是等腰直角三角形，.•."=0FC，CH=FC,

2FCH=ZACF+ZACH=90°,NACB=ZBCH+ZACH=90°,ZACF=ZBCH,

FC=HC

在△AFC与中，＜/ACF=/BCH,/.AAFCABHC,

AC=BC

:.BH=AF,;.BF=FH+BH=CCF+AF，BPBF=AF+y[lCF

⑷过点。作CGLCF,交互于点G,

ACBC

BC=mAC,CD=mCE,—=——,

ACCEEC-DC'

ZACE=/BCD=a,:./\ACE^ABCD,.ZCBG=ZCAF,

ZFCA-^-ZACG=ZGCB+ZACGf

AZFCA=ZGCBAFCS&BGC,—=—=—=

fAFFCAC

BG=mAF,GC=mFC,

Rt、FCG中，FG=dFC+CG2=yJl+^FC，

BF=FG+GB=71+m2FC+mAF，即斯=«+府FC+mAF-

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似

三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

2.(2022・山东烟台・中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,0ABe和财。E都是等边三角形，连接B。，CE.求证：BD=CE.

⑵【类比探究】如图2,BABC和0ADE都是等腰直角三角形，HABC=0A£)E=9O。.连接

CE.请直接写出”的值.⑶【拓展提升】如图3,0ABe和0ADE都是直角三角形，0ABC

=0AD£=9O°,且照=当=1.连接8。，CE.①求总的值；②延长CE交8。于点孔

DCDE4CE

交AB于点G.求sinEBFC的值.

【答案】⑴见解析(2)变⑶①』；②当

255

【分析】(1)证明△BADH3cAE,从而得出结论；

(2)证明△BA。酿CAE,进而得出结果；

(3)①先证明△A8O30ADE,再证得△CAE00BA。，进而得出结果；

②在①的基础上得出a4CE=SAB，进而副尸C=IB3AC,进一步得出结果.

(1)证明：回0ABe和AAOE都是等边三角形，

^\AD=AEfAB=ACf团DAE=同BAC=60°,

^\DAE-^\BAE=^BAC-姐AE,

^\BAD=BCAEf回团朋。酿CAE(SAS),^1BD=CE；

⑵解：的48。和朋0E都是等腰直角三角形，

ABAB1

..—=—=^DAE=^\BAC=45°,^IDAE-^\BAE=^\BAC-^BAE,

AEACV2

DF)AD15

团团5A。=团CAE,^1BAD^\CAE,——=—=-==—；

CEAC62

40AT)3

(3)解：①一=—=一，^ABC=^ADE=90°,

ACDEA

ABAD3

^\ABC^\ADE[21I215AC—^\DAE,==—,

fACAE5

BDAD3

mt?]CAE—^IBAD团团CAE回国BA。，---=---=—；

fCEAE5

②由①得：^CAES^BAD,aa4CE=0A3£),

BC4

SSAGC^BGF,fflBFC=0BAC,Elsin0BFC=——=-.

AC5

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质等知识，解决问题的关键是熟练掌握"手拉手”模型及其变形.

3.(2022•山东•东营市一模)【提出问题】

(1)如图1,在等边0ABC中，点M是8C上的任意一点(不含端点8、C),连结AM,以

AM为边作等边0AMN,连结CN.求证：0ABe=0ACN.

【类比探究】（2）如图2,在等边0ABe中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）,

其它条件不变，（1）中结论0ABe=a4CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】（3）如图3,在等腰0ABe中，8A=8C,点M是BC上的任意一点（不含端点

B、C）,连结AM,以AM为边作等腰0AMN,使顶角0AMN=0A8C.连结CN.试探究0ABe

与0ACN的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）^ABC^CAN,理由见解析.

【分析】（1）利用SAS可证明团%m03cAN,继而得出结论.

（2）也可以通过证明回BAMEBCAN,得出结论，和（1）的思路完全一样.

AnAC

（3）首先得出回BACHMAN,从而判定她BCfflAA/N,得到——=—,根据EIBAM=EIBAC-

AMAN

SMAC,^CAN=^\MAN-SMAC,得到MAM=EICAN,从而判定EIBAMIBCAN,得出结论.

【详解】解：（1）证明：00ABC＞0AMN是等边三角形，

SAB=AC,AM=AN,SBAC=^MAN=60°.EBBAM=EICAN.

AB=AC

团在EIBAM和回CAN中，＜ZBAM=ZCAN,

AM=AN

^EBAMSECAN（SAS）.^SiABC=^ACN.

（2）结论0ABC=0ACN仍成立.理由如下：EEABC、0A"N是等边三角形，

SAB=AC,AM=AN,SBAC=^MAN=60°.^BAM^CAN.

AB=AC

团在IBBAM和I3C4N中，＜ZBAM=ZCAN,

AM=AN

^\BAMSJ3\CAN(SAS),^\ABC=^ACN.

(3)SABC=^ACN.理由如下：

SBA=BC,MA=MN,顶角0ABe=0AAfN,

回底角勖AC=EM4N,EBABCHEAMN,S—=—,

AMAN

XE0BAM=EIBAC-SMAC,^\CAN=SiMAN-SMAC,

WAM=S\CAN,S^BAMSBCAN,^\ABC^ACN.

4.(2022•山西长治,九年级期末)问题情境：如图1,在0ABe中，AB=6,AC=5,点。，E

分别在边48,AC上，且DE"3c.数学思考：

(1)在图1中，一的值为；(2)图1中0ABC保持不动，将0ADE绕点A按逆时针方向

旋转到图2的位置，其它条件不变，连接8Z),CE,则(1)中的结论是否仍然成立？并说

明理由；⑶拓展探究：在图2中，延长80,分别交AC,CE于点尸，P,连接AP,得到图

3,探究0APE与0ABe之间有何数量关系，并说明理由；⑷若将0ADE绕点A按逆时针方向

旋转到图4的位置，连接8。，CE,延长8。交CE的延长线于点P,8P交AC于点用贝U

(3)中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出0APE与0ABe

之间的数量关系.

【答案】(l)g(2)(1)中结论仍然成立，理由见解析⑶0APE=0ABC,理由见解析

⑷结论不成立，回APE+EL43c=180。，理由见解析

【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理求解即可；

(2)根据旋转的性质得到回8A£)=EICAE,由(1)可证明EIBADEBCAE,从而可证EL4PE+0ABC

BDAR6

得至!]——=—=-；(3)由(2)可证0ABe)=0ACE,证明0AF8EHPFC和回AfPEHBFC即可得

CEAC5

到结论；

(4)证明fflABZHSACE,推出A、B、C、尸四点共圆即可得到结论；

⑴解：©DE〃BC,团些="，回变="=9；

ABACCEAC5

(2)解：中结论仍然成立，理由如下：

回旋转的性质，00AZ)E=0ABC,^AED=^ACB,

00ADEI30ABC,回42=逆，

ABAC

在图2中，由旋转的性质可知，0BAC=0DAE,

BDAB6

00BA£)=0C4£,00BAD00CAE,0一=——=一；

CEAC5

(3)解：0ApE=I3ABC,理由如下：

由(2)得回BAOaaCAE,0a4BD=0AC£,

XEEL4FB=EIPFC,00AFBEI0PFC,

AFBFAFPF

团----=----，ZBAC=ZBPC,团---------，

PFCFBFCF

又西AF尸二团BFC,国A厂Pl非团团C8尸二蛇4尸,

团团APE二团ACE+团以方，^\ABC=^ABF+^CBFf团团APE二团ABC；

（4）解：（3）结论不成立，0AP£+0ABC=180°,理由如下：

由（2）知，0BAD00CAE,0EIABZ）=0AC£,

0A、B、C、尸四点共圆，EBAPE+a48c=180°.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆

内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键.

课后专项训练：

1.（2022•湖南•中考真题）如图，点。是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=1,OC=6,

则AAO3与ABOC的面积之和为（）

A.走B.BC.述D.6

424

【答案】C

【分析】将AAO3绕点B顺时针旋转60。得ABCD,连接0。，得到3OD是等边三角形,

再利用勾股定理的逆定理可得NCOD=90。，从而求解.

【详解】解：将AAOB绕点B顺时针旋转60。得ABCD,连接。。，

A

:.OB=OD,ZBOD=60°,CD=OA=2,r.ABQD是等边三角形，:.OD=OB=l,

VOD2+0C~=I2+(73)2=4,CD"=22=4,:.OD~+OC2=CD~,:.ZDOC=9CP,

2

AAOB与ABOC的面积之和为SB0C+SBCD=SBOD+SCOD=-x]+-xlxy[3=^-.故

DtzCDCZ,/DUL)CCzrJ42'4

选：c.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，

利用旋转将AAO3与ABOC的面积之和转化为sB℃+SBCD,是解题的关键.

2.（2022・四川宜宾•中考真题）如图，，ABC和一ADE都是等腰直角三角形，

N&lC=NmE=90。，点。是BC边上的动点（不与点8、C重合），OE与AC交于点凡

连结CE.下列结论：①BD=CE；②NDAC=NCED；③若BD=2CD,则工二=壮；④

AF5

在，ABC内存在唯一一点P,使得R4+P3+PC的值最小，若点。在AP的延长线上，且

AP的长为2,则CE=2+后.其中含所有正确结论的选项是（）

A,①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】证明:区位注C4E,即可判断①，