专题课件：练素养 等腰三角形中作辅助线的六种常用方法

等腰三角形中作辅助线的六种常用方法

苏科版八年级上第2章轴对称图形练素养123456温馨提示：点击进入讲评习题链接如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在边AB上，点F在边AC上，且BE＝AF，连接ED，EF，DF.1求证：(1)ED＝DF；(2)ED⊥DF.证明∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF.∴∠EDF＝∠ADF＋∠EDA＝∠BDE＋∠EDA＝90°.∴ED⊥DF.【2021·鼓楼区校级期中】如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F.2解：△BCF是等腰三角形．理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°.∵∠BCF＝∠ACG＋∠BCG，∠BFC＝∠A＋∠ABF，∴∠BCF＝45°＋∠BCG，∠BFC＝45°＋∠ABF.∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC，∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形．(2)判断△BCF的形状，并说明理由．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与点A不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，开始移动后，PQ与直线BC相交于点D.3证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发，且移动的速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.(1)求证：PD＝QD；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝QC，∴△PFD≌△QCD(AAS)．∴PD＝QD.(2)过点P作PE⊥BC，垂足为E.点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.如图，已知等边三角形ABC，点D在AC的延长线上，延长BC至点E，使CE＝AD，DG⊥BE，垂足为G，连接BD，DE.求证：BG＝EG.4证明：如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于点F.

∴∠AFD＝∠ABC，∠ADF＝∠ACB.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF.∵AD＝CE，∴FD＝CE.如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.求证：5(1)BE＝CE；证明：如图，延长AB，DE交于点F.∵AB∥CD，∴∠2＝∠F.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF.又∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴CD＝BF.在△DCE和△FBE中，∠2＝∠F，CD＝BF，∠DEC＝∠FEB，∴△DCE≌△FBE(AAS)．∴BE＝CE.(2)AE⊥DE；(3)AE平分∠DAB.证明：由(1)知△DCE≌△FBE，∴DE＝EF.又∵AD＝AF，∴AE⊥DE.证明：∵AD＝AF，DE＝EF，∴AE平分∠DAB.6如图，在△ABC中，AD是中线，点E在AB上，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF.证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG.∵AD是中线，∴BD＝DC.又∵∠ADB＝∠GDC，AD＝DG，∴△ABD≌△GCD(SAS)．∴