2024-2025学年人教版九年级数学上学期期中压轴必刷题（50题）（解析版）

期中各名校真题-压轴必刷题（50题）

范围：第一章~第四章

一、单选题

1.已知二次函数y=a/+cQ。0）的图象如图所示，有下列结论：@abc>0；②a+b+c=2；

③口>a@b<l.其中正确的结论是（）

A,①②B.②③

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与a,b,c的关系是解决本题的关

键.

①图像可知一卷<0,且c<0,故①错误；②把尤=1代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c

的大小即可，得到答案，故③正确；④把x=1和久=—1分别代入函数式，得到结果即可，故④错误.

【详解】解：®v-£<0,

.-.ab>0

vc<0,

.•.abcCO故①错误；

②由图象可知：％=1时，y=2；

即a+b+c=2,故②正确；

③由图象可知一1<—亲

又a+b+c=2,

；.b=2—a—c<2a,

1

即a>式2—c),

vc<0,

故③正确；

④由图象可知：％=—1时，y=a—b+c<0,

又(a+b+c)—(a—b+c)>2,

即2b>2,

.,力>1,

.•・故④错误.

2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点。点。又是正方形力道道1。的一个顶点，而且这两个正方形的

边长相等.给出如下四个结论：

①NOEF=45°；

②正方形&B1C1。绕点。旋转时，四边形OEBF的面积始终等于正方形4BCD的;；

③当正方形4BCD的边长为2时，△BEF周长的最小值为2+岳

@AE2+CF2=2OB2.

正确的结论序号有()

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】①根据正方形的性质及各角之间的数量关系得出NBOE=乙COF,利用全等三角形的判定和性

质得出OE=OF,BE=CF,再由勾股定理即可得出；②由全等的性质及图中面积的关系即可得出；@

由①可知，BE+BF=BF+CF=BC=或。4EF=&0E,确定当。EJ.48时，0E最小，△BEF

的周长最小，代入计算即可；④利用勾股定理进行变换判断即可.

【详解】解：①•・•四边形ZBCD为正方形，

；.0B=OC,/-OBE=AOCF=45°,乙BOC=9。。,

：.Z-BOF+Z.COF=90°,

-/.EOF=90°,

:.乙BOF+乙COE=90°,

..Z-BOE=Z.COF,

(乙BOE=Z-COF

在aBOE与△C。尸中，［OB=OC,

JOBE=z.OCF

：.△BOE=△COF(ASA),

：.OE=OF,BE=CF,

：.^OEF=45°,EF=y/2OE,故①正确；

②由①得△BOE三△COF,

S四边形0E8F—S^BOF+S^BOE

=S&BOF+SACOF

=S&BOC

="$正方形4BCD，故②正确；

③由①可知，

BE+BF=BF+CF=BC=&OA,EF=鱼。E,

△8£1尸的周长=8£'+89+£77=y!2OA+42OE,

为定值，贝UOE最小时aBEF的周长最小，

.•.当OE1AB时，OE最小，ABEF的周长最小，

此时。E=孝。4,

△BEF的周长最小值=V2OX+V2OF

V2OX+V2X—OX

=(1+烟。力，

•.・正方形48CD的边长为2,

.".OA=V2,

则(1+际义或=2+夜，

故③正确；

•.•在△BEFdp,EF2=BE2+BF2,

：.EF2=AE2+CF2,

-2OB2^AB2=(AE+CF)2,

■■.AE2+CF2¥2OB2,故④错误；

故选：C.

【点睛】题目主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意,

综合运用这些知识点是解题关键.

3.如图，边长为8a的等边三角形ABC中，”是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段BM绕点B

逆时针旋转60。得到8N,连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是()

1

A.4aB.2aC.aD.-a

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质,

作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

取的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质和旋转可以证明aMEG三△NBH,可得MG=NH,根

据垂线段最短，当MG1CH时，MG最短,即HN最短，由直角三角形的性质可求得线段HN长度的最小值.

【详解】解：如图，取BC的中点G,连接MG,则BG=；BC=4a,

•・・线段BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,

+乙HBN=60°,

又•••△ABC是等边三角形，

，乙ABC=60°,

BPzMBW+ZMBC=60°,

；/HBN=乙GBM,

•.£H是等边三角形的高，

；.BH=^AB=4a,

：.BH=BG=4a,

又旋转到BN,

；.BM=BN,

在△M8G和△NBH中，

(BM=BN

乙GBM=乙HBN,

IBG=BH

：.AMBG=ANBH(SAS),

.'.MG=NH,

根据垂线段最短，当MGJ.CH时，MG最短，即”N最短,

止匕时48cH=gx60。=30°,

.,.MG=^CG=x4a=2a,

：.HN=2a.

・•・线段HN长度的最小值是2a.

故选：B.

4.如图，抛物线y=a/+bx+c与%轴交于点火—i,o),顶点坐标(i,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间

(包含端点)，则下列结论：①3a+b<0；@-l<a<-|；③对于任意实数a(m2-l)+b(m-l)

W0总成立；④关于x的方程32+族+。=几+1有两个相等的实数根.其中结论正确的个数为()

【答案】C

【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解

题关键.根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和“轴上的点可得到两个等量关系，变形替换

从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意.

【详解】解：•••抛物线的开口向下，

/.a<0,

•••抛物线顶点坐标为(1,几)，

••・抛物线对称轴为直线x=—*=1,

2a

•,力=—2a,

•e.3a+Z)=a<0,故①符合题意；

•・力(—1,0)在抛物线上,

/.a—b+c=0,

••.3a+c=0,

.,.c=-3a,

••・与轴的交点在(0,2),(0,3),之间包含端点,

.-.2<c<3,

.-.2<—3a<3,

-l<a<-|,故②符合题意；

・顶点坐标(1,几)，抛物线开口向下,

.•・当％=1时，y有最大值，最大值为九，

・•・对于任意实数m,a+b+c>am2+bm+c,

.,.a+b>am2+bzn,

•••a(m2—1)+b(m—1)<0,故③符合题意；

・・,顶点坐标(1刀)，且开口向下，

・•・直线y=九+1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，

・•・关于式的方程a/+b%+。=几+1没有实数根，故④不符合题意.

故选：C.

5.已知一次函数y=kr+3(kW0),当/c〈工〈7n时，a<y<b,若a+b的最小值为2,则加的值为

()

A.±2B.2C.±4D.4

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键.先分析k>0和kVO

时导出a+b=Mn+々2+6,根据最小值可得Mn+N最小值为一4,通过配方得到y=/cm+/=

12]

(/c+-m)--m2,再根据々%<m确定根的取值.

【详解】解：当k>。时，x=k,y=fcx+3=fc2+3=a,当％=m,y=km+3=b,

・,・a+b=km+k2+6,

当k<0时，x=k,y=kx+3=fc2+3=h,当％=m,y=km+3=a,

••・a+b=km+k2+6,

,•・a+b的最小值为2,

•••km+/最小值为一4,

]2]

・•・y=km+fc2=(fc+-m)--m2,

当々=—如时，y取得最小值一4,即一刎2=一4,

••・m=±4,

由题意知所以々式血，

当zn=-4时，k=2,fc>m,不符合题意舍去，

当771=4时，k=—2,满足题意，

故选：D

6.如图，在△力BC中，AB=AC,ABAC=120°,。为BC的中点，将△ABC绕点。顺时针旋转得到

△DEF,D、£分别在边4C和C4的延长线上，连接CF,若4。=3,则△。尸C的面积是（）

A.1V3B.C.|V3D.我

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质可得=90。,40"=30。.根据旋转的性质可得。4=OD,OC=OF,

则可得△40D和△COF都是等边三角形，则4。=。。=力。=3,则可得CD=3,由此得OF垂直平分

0C,

,在Rtaaoc中求出0C的长，则可知CF、的长，进而可得”尸的长，从而可求得ACOF的面积.

【详解】连接。4,OD,

•••AB=AC,乙BAC=120°,

:/B=乙ACB=30°,

■■-O为BC的中点，

1

/-AOC=90°,Z.OAC=^BAC=60°,

AO=|XC,

•.・将△力BC绕点。顺时针旋转得到△DEF,

OA=OD,OC=OF,

.•.△NOD是等边三角形，

AO=OD=AD=3,

AC—2AO—6,

CD=3,

•••OD—CD,

・•.D点在。c的垂直平分线上，

•.•△20。是等边三角形，

•••Z-AOD=60°,

即旋转角为60。,

"OF=60°,

••.△COF是等边三角形，

-,OF=CF,

・・/点在OC的垂直平分线上，

DF垂直平分OC,

设垂足为H,

•・•。。=7AC2-2。2=462—32=3V3,

•••CF=OF=3V3,HC=1OC=竽，

HF=MF2—HC2=J(3V3)2-(竽：=I，

SA0FC=|0C-HF=1x3V3x1=竽

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、线段垂直平分线的判定和

性质以及勾股定理.熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.如图，在口/lBCD中，AB=4,ZB=6O°,BC=3,E为4B上一点，且BE=1,F为BC边上的一个动点,

连接EF,将其绕点E逆时针旋转30。至直线EG,使得NEGF=120°,连接4G,贝|4G的最小值为（）

A.竽B.2

【答案】B

【分析】根据N&8C=60。，NEGF=12。°得至此EGF+48=180°,从而得到E、B、F、G四点共圆，结合

£.EGF=120°,^GEF=30°,得至iJ4GFE=30。，继而得到GF=GE,得至U/EBG=4F8G=30。，故BG

平分乙4BC,作AM1BG于点M,根据垂线段最短原理，得到当G与河重合时，最短，结合力8=4,根

据AM=/Bsin30。=2,解答即可.

【详解】••2ZBC=60。，^EGF=120°,

••ZEGF+/B=18O。，

.・方、B、F、G四点共圆,

-Z.EGF=120°,Z.GEF=30°,

：.Z.GFE=30°,

..Z.GFE=Z.GEF,

：.GF=GE,

:ZEBG=乙FBG=30°,

.•.BG平分乙4BC,

作/MlBG于点M,根据垂线段最短原理，得到当G与〃重合时，最短，

'：AB—4,

.-.AM=^AB=2,

故选B.

【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，垂线段最短，直角三角形的有关计算等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键.

8.已知二次函数y=a/-2。X+4（其中x是自变量），当0V%<3时对应的函数值歹均为正数，则Q的

取值范围为（）

A.0<a<4B.

、4、

C.—4<a<0或0Va<4D.—-<a<0或0<a<4

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与X轴的交点，熟练掌握二

次函数的性质是解题的关键.

首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：&>0和。<0,分别根据二次函数的性质求解即可.

【详解】•.,二次函数y=ax?—2<2比+4,

对称轴x=—?=1,

当a>0时

•・•当0<%<3时对应的函数值均为正数，

・•.此时抛物线与x轴没有交点，

.・・△=(—2a)2—4ax4<0,

解得。<a<4；

当a<0时，y—ax2—2ax+4=a(x—I)2—a+4

•・•当0<%V3时对应的函数值均为正数，

・・・当久=0时，y=4>0,

当％=1时，y=—a+4>0,

当％=3时，y=3a+4>0,

解得a>-p

-^<a<0；

综上所述：a的取值范围为一gWa<0或0Va<4.

故选：D.

9.已知抛物线y=a/+8%与丫=+"的交点为力，与x轴的交点分别为5,。，点B,。的横坐标

分别为％1，久2，%3，且％1%2%3W。-若a+bvo,a+2b>0,则下列说法正确的是()

XX

A.%2<%3V1B.%3V%2V1c.x2<<%3D.%3<<X2

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到b>0,a<0,再联立函数

解析式表示出不，％2,%3,利用不等式性质，比较其大小，即可解题.

【详解】解：a+Z)<0,a+2b>0,

b>0,a<0,

抛物线y=ax2+2?%与y=bx2+a%的交点为4,

•••ax2+bxy=bx2+ax,

整理得(a_/7)%•(%-1)=0,

解得久i=1或%i=0,

%I%2%3H0,

•，•=1，

抛物线y=ax2+bx与y=bx2+ax,与x轴的交点分别为B,C,

•••ax2+bx=0,可得%2=-—'bx2+ax=0,可得%3=一今

a+h<0,

・

••—a-<b1,-T>L

・,•gV%1V%3，

故选：c.

10.已知抛物线y=a尤2-2尤一3a的图象上有三点4(尤1,月)，B(x2,y2),C(0,-3),其中打<一1<冷<3,

则下列说法错误的是()

A.抛物线的顶点坐标为(1,一4)

B.yi>y2

C.关于x的一元二次方程a/—2%—3a—zn=。(m>0)的两解为X3,x4,则均<—1<3<肛

1Q

D.方程|a%2-2%-3可=-%+b有3个根，贝必=一彳

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点.

把点。的坐标代入y=a/—2%—3a中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断A选

项.根据抛物线y=CLX2-2%-3Q与X轴的交点坐标即可判断B选项.方程a为2—2x—3a-m=0的解，

是抛物线y=a/—2%—3a先下平移冽个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质

即可判断C选项.画出函数y=—2%—3|的图象，根据数形结合的思想即可判断D选项.

【详解】•・,抛物线y=ax2—2%—3a过点C(0,—3),

-3a=-3,解得a=1,

••・抛物线为y=x2—2x—3,即y=(x—l)2—4,

・•・抛物线的顶点坐标为(1,一4).故A选项正确；

把y=0代入函数y=x2—2x—3中，得%2—2%—3=0,

解得汽=—1或％=3,

・・.抛物线y=%2_2x-3与X轴的交点为(TO),(3,0),

,・・抛物线y=%2一2%-3的开口向上，

且抛物线上的两点/(巧)1),8(理,及)中，%i<-1<%2<3

•••yi>72-故B选项正确；

将抛物线y=%2—2%—3向下平移m个单位长度，得到y=%2—2x—3—m,

该抛物线与x轴的一个交点在点(一1,0)的左侧，另一交点在店(3,0)的右侧，

・,・关于工的一元二次方程—2%—3a—771=。(m>0)的两解为％3，%4，满足久3<—1V3<仙，故

C选项正确.

•方程|口%2—2x—3al=—x+，有3个根，

・,・函数y=I%2-2%—3|的图象与直线y=—％+b有3个交点，

・函数y=|%2一2%—3|的图象与X轴的交点为(一1,0),(3,0),

如图，当直线y=—％+b经过点(3,0)时，直线y=—%+b与函数y=1/一2%一3|的图象有3个交点，

即

此时把点(3,0)代入函数y=—％+b中，得到0=-3+h,

解得b=3,

当一1<%<3时，y=|%2一2%一3|=一(%2_2%-3)=-%2+2%+3

如图，当直线y=—%+b与函数y=—x2+2%+3只有一个交点时,直线y=—%+b与函数y=

—2%—3|的图象有3个交点

••.对于方程|a%2—2x—3a\=—x+b可化为一x2+2%+3=—x+b,即一x2+3%+3—b=0,

...△=32—4x(—1)x(3—b)=0,

解得b=

综上所述，6=3或6=2.故D选项错误.

故选：D

-1

11.如图，在正方形4BCD中，点A,C的坐标分别是（1,2）,（—1,一2）,点B在抛物线丫=一^必+以+^:的

图象上，贝M+c的值是（）

【答案】D

【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，

作MNlx轴，力用1“可于“，BN1.MN于N,证明△AMB三△BNC（AAS）得到CN=BM,BN=AM,

设B（7n,n）,可得方程组｛七（工）鼠匚,解方程组得到B（2,—1）,代入二次函数解析式得

2b+c=l,又由抛物线经过原点得c=0,即可得到b再代入6+c计算即可求解，证明

△AMB=△BNC得到CN=BM,BN=4M是解题的关键.

【详解】解：作MNlx轴，4"1时即于用，BNLMN于N,乙AMB=4BNC=9。°,

•.•四边形48CD为正方形，

；/ABC=90°,AB=BC,

+乙CBN=90°,

■：^ABM+乙BAM=90°,

■,ABAM=乙CBN,

-/-AMB=(BNC=90°,

△AMB=△BNC(AAS),

，CN=BM,BN=AM,

设B(772,71),

•・•点4C的坐标分别是(1,2),(-1,-2),

Cm—(—1)=2—n

■*tn—(—2)=m—1"

2

解得｛忆r

・•,8(2,—1),

・・・点B在抛物线y=—1x2+bx+c的图象上,

|x22+2b+c=—1,

•••2b+c=1,

•・•抛物线经过原点(0,0),

•••c=0,

.•.2b+0=1,

■-b+c=1+0=I，

故选：D.

二、填空题

12.如图，。是△ABC内的点，AB=AC,ABAC=90°,^BOC=130°,将△AOB绕点/按逆时针方向旋

转90。，得到△力DC,连接0D.设立4。8为a,当△COD为等腰三角形时，a为.

【答案】85°或115°或145°

【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质，由AB=4C,ABAC=90°,得

^ABC+/-ACB=90°,由48。。=130。，^AOB=a,求得N08C+Z_OCB=50。，a=230°-zXOC,

则NAB。+AACO=40°,由旋转得NACD=AABO,AD=AO,AOAD=90°,则NOCD=40°,zXOD=45°,

再分三种情况讨论，一是当OC=。。时，可求得NC。。=100。，则乙4。。=145°,求得a=85。；二是

当。C=DC时，贝lUCOD=NCD。=70。，AAOC=115°,求得a=115。；三是当。。=DC时，贝IJ

ZCOD=AOCD=40°,则乙4。。=85。，求得a=145。，于是得到问题的答案，利用数形结合与分类讨

论数学思想的运用等知识与方法，正确地求得NOCD=40。是解题的关键.

【详解】解：AB=AC,LBAC=90°,

.-.AABC+AACB=90°,

"BO+/.OBC+/.OCB+/.ACO=90°,

Z.BOC=130°,Z.AOB=a,

.­./.OBC+/.OCB=180°-ZBOC=50°,a=360°-乙BOC-/.AOC=230°-/.AOC,

.•ZB。+^ACO=90°-QLOBC+乙OCB)=40°,

由旋转得乙4CD=4ABO,AD=AO,/.OAD=90°,

•••^OCD=^ACD+〃C。=^ABO+^ACO=40°,^AOD=NAD。=45°,

当△C。。为等腰三角形，且0c=。口时，贝IJNODC=ZOCD=40°,

ZCOO=180°-乙ODC-乙OCD=100°,

/-AOC=/.AOD+乙COD=145°,

.­.a=230°-145°=85°；

-1

当△COD为等腰三角形，且OC=DC时，则NC。。=△。。。=5x(180。-40。)=70。，

•••Z-AOC=/-AOD+(COD=115°,

・•・a=230。-115。=115。；

当△COD为等腰三角形，且DO=DC时，则乙。。。=4。。。=40。，

・•・AAOC=Z.AOD+乙COD=85°,

・•・a=230°-85°=145°,

综上所述，a=85。或a=115。或a=145°,

故答案为：85。或115。或145。.

13.图1是一个瓷碗，图2是其截面图,碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm,此时

面汤最大深度EG=8cm.

FB

图1

（1）当面汤的深度ET为4cm时,汤面的直径PQ长为

（2）如图3,把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当N2BM=45。时停止，此时碗中液面宽度=

【答案】6V2-yV2

【分析】（1）设点E的坐标为（0,c）,则抛物线的表达式为y=aX2+c则点c的坐标为：（6,8+c）,点

QQ,4+c）再用待定系数法即可求解;

（2）确定直线的表达式为y=x—6+8+c=x+2+c,求出/+K2=：，打冷=—9进而求解;

本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待

定系数法求解析式是解题的关键.

【详解】（1）以F为原点，直线为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图:

设点E的坐标为：（0,c）,则抛物线的表达式为y=。必+以

则点C的坐标为（6,8+c）,点QQ,4+c）,

{_2

X—DV乙

即抛物线的表达式为：y=设2+c①，

.'.PQ=2XQ=6V2,

故答案为：6VL

（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当N&BK=45。时停止,

•••所以旋转前CH与水平方向的夹角为45。，

设直线CH的解析式为y-x+b,

将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y=x-6+8+c=x+2+c@,

联立①②并整理得：2/—9x—18=0,

9

则+X2=-,%1%2=-9,

2

则01-%2)=(久1+%2)2-4%IX2=等,

贝!)|无1-久21=V'

由C”的表达式知，其和X轴的夹角为45。，贝1］。//=四|打一冷|=会反，

故答案为：^V2.

14.在一副三角尺中NBP4=45°,乙CPD=60°,NB=NC=90°,将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD

与量角器的0°刻度线重合，边4P与量角器的180。刻度线重合.将三角尺PCD绕点尸以每秒3。速度逆时

针旋转，同时三角尺4BP绕点尸以每秒2。的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180。刻度线重合

时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t=秒时，CD与三角尺4BP的一边平行.

【答案】6或15或33

【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否

符合题意，这也是学生很容易忽略的地方.

①当2PIICD时，②当2B||CD时，③当BP||CD时，分三种情况分别讨论.

【详解】①I当4PIICD时，AAPD+ZD=180°,

•••ZD=30°,

.­•^LAPD=150°,

.­,180°-5t=150°,

At=6.

n当/Pile。时，Z,C+/.APC=180°,

・•・乙4PC=90°,

A^APD=30°=5t-180°,

・・.t=42>40（舍去）

②当AB||CD时，

••・t=15.

③当BP||CD时,

•・•ZC+乙BPC=180。,4c=90。,44PB=45°,

・・.Z.APC=45°,

・♦・41=2t—45°Z1=180°-60°-33

180°-60°-3t=21—45。，

解得t=33；

综上所述，当运动时间t=6或15或33秒时，CD与三角尺的一边平行.

15.如图，菱形ABC。中，48=9,乙4BC=60。，点E在48边上，且BE=24E,动点P在BC边上，连接

PE,将线段PE绕点P顺时针旋转60。至线段PF,连接四，则线段/厂长的最小值为.

【答案】3V3

【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，在上取一点

G,使得=连接EG,EF,作直线FG交4）于T,过点/作J.GF于从证明NBGF=120。，推

出点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，4尸的值最小，求出AH即可.

【详解】在BC上取一点G,使得=连接EG,EF,作直线FG交/。于T,过点A作/”1GF于H.

・•.△BEG是等边三角形，

・•.EB=EG,乙BEG=乙BGE=60°,

•••PE=PF,AEPF=60°,

・・.△EPF是等边三角形，

/.A.PEF=60°,EF=EP,

Z.BEG=Z.PEF,

."BEP=乙GEF,

・•.△BEP=△GEF,

:.乙EGF=CB=60°,

•••Z-BGF=120°,

・•・点F在射线GF上运动，

根据垂线段最短可知，当点尸与“重合时，ZF的值最小,

vAB=9,BE=2AE,

BE=6,AE—3,

•・•乙BEG=乙EGF=60°,

・•・GTWAB,

•・•BGWAT,

・•・四边形4BGT是平行四边形，

.・.AT=BG=BE=6,/LATH=AB=60°,

：.TH=^AT=3,

•••AH=yjAT2-TH2=3V3,

・•.ZF的最小值为3g,

故答案为：3V3.

22

16.如果m、九是两个不相等的实数，m—m=3,n—n=3,那么代数式2层—)7m+2Tn+2021.

【答案】2032

【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值.熟练运用一元二次方程根的定义和根

与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键.

由题意得冽，〃是%2—%—3=0的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：2层

—2n—6,m+n=1,mn——3,变形2几2—77m+2m+2021,为2层一2几一nm+2m+2九+2021,

代入求解即可.

【详解】丁旭九是两个不相等的实数，且满足血2一根=3,n2-n=3,

•••nm是方程式2—%—3=0的两根，

・••2n2—2n=6,m+n=1,mn=—3,

••・2n2—mn+2m+2021

=2n2—2n—mn+2m+2n+2021

=6+3+2+2021

=2032.

故答案为：2032.

17.如图，点O是矩形ZBCD的对称中心，点P,。分别在边/D,上，且PQ经过点。，AB=6,AP=3

,BC=8,点E是边上一动点.则△EPQ周长的最小值为.

【答案】10+2国

【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的''将军饮马型〃，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最

小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键.

作尸关于4B的对称点P,连接PQ,交AB于E,连接PE,贝iJPE+QE的最小值为PQ,证明出周

长的最小值为PQ+PQ,作P/1BC于RPH1.BC于H,利用勾股定理求出PQ和PQ即可.

【详解】解：如图，作尸关于AB的对称点P,连接PQ,交AB于E,连接PE,

：.P'E=PE,

.•.PE+QE的最小值为PQ,

・•.△EPQ周长的最小值为PQ+PQ,

作PF1BC于RPH工BC于

-AP=3,

：.P'A=3=FB,

・・•点O是矩形ABC。的对称中心，PQ经过点O,

：,AP=CQ=3,

：BC=8,

:.BQ—5,

：.FQ=8,

'：P'F=AB=6,

；PQ=10,

•••PH=AB=6f”Q=5—3=2,

：PQ—2V1U,

△EPQ周长的最小值为10+2V10.

故答案为：10+2V10.

18.在△ABC中，ZXBC=90°,AB=BC.将△ABC绕点力顺时针旋转a（0。＜a＜180。）,直线CB与直

线DE交于点、F,点、B,尸间的距离记为BF,点E,F间的距离记为EF.给出下面四个结论：①BF的值一

直变大；②EF的值先变小再变大；③当0。＜戊＜90。时，BF—EF的值保持不变；④当

90°＜a＜180°,BF—EF的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质，当0。＜。＜180。时，BF的值由0会逐渐变

大，可判断①；而当a=90。时，EF=0可知EF的值先变小再变大，可判断②；当90。＜a＜180。时,

在FC上取点G,使FG=FE,连接AG,AF,证明Rt△力BF三Rt△力DF(HL),有BF=DF,知

BF-EFDF-EF=DE,可判断③错误，④正确；掌握旋转的性质是解题的关键.

【详解】解：当0。＜。＜180。时，BF的值一直变大，故①正确；

当0。＜戊＜90。时，EF的值逐步变小；当a=90。时，EF=0；当90。＜a＜180。时，EF的值逐步变大,

故②正确；

当0。＜戊＜90。时，连接4F,如图1,

由题意得，^ABF=^ADF=90°,AB=AD,DE=BC,

在Rt△48尸和Rt△4。尸中,

(AF=AF

IAB=AD'

.-.Rt△ABF三Rt△4DF(HL),

：.BF=DF,

：.BF+EF=DF+EF=DE,

；.BF+EF的值保持不变，故③错误；

当90。＜戊＜180。时，在FC上取点G,使FG=FE,连接4G,AF,如图2,

由题意得，/-ABF=Z.ADF=90°,AB=AD,DE=BC,

在Rt△4BF和Rt△4DF中，

(AF=AF

\AB=AD'

.-.Rt△ABF=Rt△ADF(HL),

：.BF=DF,

：.BF—EF=DF-EF=DE,

・••BF—EF的值保持不变，故④正确;

・♦・正确的有①②④，

故答案为：①②④.

19.已知关于x,y的二元一次方程组｛jf：2彳三1,"为实数）

①当久与y互为相反数时，fc=2；

②6x-y的值与k无关；

③若8巴4>=32,则解为k=3；

④若优"=x,陵=%且a2m-ra=l（a力0）,贝ijx=2或久=4.

以上说法正确的是（填写序号）.

【答案】②③④

【分析】①先根据相反数的定义得出尤=—乃代入二元一次方程组，解方程组即可判断①不正确；②

根据方程组求出6x—y=8,即可判断②正确；③根据同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方得出

3x+2y=5,根据方程组求出3x+2y=3k—4,即可列出方程3k—4=5,解方程求出k的值，即可

判断③正确；④根据同底数幕的除法与塞的乘方得出y=N,根据方程组求出k=5%—4,即可得出

方程/-6%+8=0,解方程求出x的值即可判断④正确.

【详解】解:①若x与y互为相反数时，则x=_y,

将其代入二元一次方程组｛：）：2；4得：匕氏北2\，

（k=—〜

解得：_3,故①不正确；

X——

7

②由题可知：4%+y+5（x-y）=2fc+2（4-fc）,

可得：6x—y=8,

••.6%—y的值与左无关，故②正确；

③・・・8%.4y=32,

,瘠.26y=25.

.*.3%+2y=5,

由题可知：4x+y—x+y=2/c—4+fc,

即3%+2y=3fc—4,

可得；3fc-4=5,

解得：k=3,故③正确；

(4)vam=x,an=y,且十加一九=耳口工。),

.-.a2m-n=(am)2+屋=1,

x2-r-y=1,

即y=%2,

由题可知：4%+y+(x-y)=2fc+(4-fc),

即一=5%—4,

将y=%2,k=5%—4代入4%+y=2k得出方程：x2—6%+8=0,

解得：%=2或%=4,故④正确，

综上，正确的有②③④，

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查了相反数的定义，同底数第的乘法，同底数累的除法，累的乘方，积的乘方，解二

元一次方程组，解一元二次方程，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

20.抛物线y=a/+bx+c(a40,c<0)经过(1,1)，(n,0)三点，且nN3.下列四个结论：

①b<0；

②4ac—b2<4a；

③关于x的一元二次方程。炉+以+c-%一定有解；

④当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1.

其中正确的是(填写序号).

【答案】②③④

【分析】①根据图象经过(1,1),c<0,且抛物线与与轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，判断出

抛物线的开口向下，即a<0,再把(1,1)代=a久2+陵+。得q+。=1,即可判断①错误；

②先得出抛物线的对称轴在直线％=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，得出写声>1,

根据4a<0,利用不等式的性质即可得出4ac—扭<4a；即可判断②正确；

③根据方程a/+以+c=久可得a/+(匕_i)x+c=0,得出△=(b—l)2—4ac=0,由

a+b+c=l,即b-i=-a-c,根据根与系数的关系得出77m=(=1,即。=c,即可判断③正确.

④先得出抛物线对称轴在直线X=1.5的右侧，得出(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，根

据a<0,抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴拔近的函数值越大，即判断④正确.

【详解】解：①图象经过(1,1),c<0,即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则

抛物线与x轴的交点都在(1,0)的左侧，

•・,(71,0)中九>3,

・•・抛物线与久轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，

・•・抛物线的开口一定向下，即QV0,

把(1,1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1,

即b=1—a—c=1—(a+c),

a<0,c<0,

•••a+c<0,

.・.b>0,故①错误；

@a<0,b>0,c<0,

c

：•一>0

a

•••方程a/+bx+c=。的两个根的积大于0,即nm>0,

vn>3,

m>0,

m+ny-

>1.5,

即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，

•••抛物线的顶点在(1,1)上方或右上方，

・•・吟声>1,故②正确；

③由原方程可得：ax2+(/)-l)%+c=0,

.•・A=(力一I)2—4ac,

•••a+b+c=1,

b—1=­a—c,

A=(b—l)2—4ac=(—a—c)2—4ac=a2—2ac+c2=(a—c)2>0,

故关于x的一元二次方程a/+力％+c=%一定有解，故③正确；

(4)m>0,

m+n.1

当n=3时,—>1.5

场物线对称轴在直线x=1.5的右侧，

(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，

••・a<0,抛物线开口向下，

距离抛物线越近的函数值越大，

•••O1,故④正确；

故答案为：②③④.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合

法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二

次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键.

21.如图，力B为。。的直径，AD,8c分别与。。相切于点4B,CD经过O。上一点E,AD=DE,若

AB=12,BC=4,贝必。的长为.

【答案】9

【分析】连接OE,OD,过点C作CH14O,垂足为点H,根据题意可得乙。4。=90。，根据全等三角形

的判定和性质可得NOED=LOAD=90。，根据切线的判定定理即可证明CD是。。的切线，根据切线的

性质以及矩形的判定和性质可得CH=AB=12,4H=BC=4,得出=—4,根据切线长定理可

得CE=BC=4,AD=DE,

得出CD=4D+4,根据勾股定理即可求得2D的长.

【详解】解：如图：连接。£OD,过点C作CH12D,垂足为点H,

,•,40是。。的切线,

■.OALAD,

'.^OAD=90°,

在△Z。。和△E。。中，

(AD=DE

\DO=DO,

WA=OE

三△EDO(SSS),

：.Z-OED=LOAD=90°,

・•.OE1CD,

••♦OE是。。的半径，

・•.CD是。。的切线，

•••8C是O。的切线，

.OB1BC,

■：CH1AD,OBIBC,OA1AD,

即NOBC=/.BAH="HA=90°,

四边形/M8C是矩形，

.-.CH=AB=12,AH=