2024-2025学年新教材高中数学第十章概率本章总结学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-第十章概率本章总结eq\a\vs4\al(专题一互斥事务、对立事务的概率)[例1]甲、乙两人参与学问竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，推断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[分析]应用互斥事务的概率的加法公式解题时．肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥，然后求出各事务分别发生的概率，再求和．对于较困难事务的概率，可以转化为求对立事务的概率．[解]把3个选择题记为x1，x2，x3,2个推断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的状况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种，“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的状况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的状况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种，“甲、乙都抽到推断题”的状况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙两人都抽到推断题”的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).1.互斥事务与对立事务的概率计算(1)若事务A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)设事务A的对立事务是eq\x\to(A)，则P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．2．求困难事务的概率常用的两种方法(1)将所求事务转化成彼此互斥的事务的和．(2)先求其对立事务的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．[变式训练1]某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)设“抽取1张奖券中奖”为事务D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事务E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－eq\f(1,1000)－eq\f(1,100)＝eq\f(989,1000).eq\a\vs4\al(专题二古典概型)[例2]现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[分析]对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点个数n与事务A中包含的结果数m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事务的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必需按某一依次做到不重复、不遗漏．[解](1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，样本点共15个，而且这些样本点的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事务，则A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)样本空间同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事务，则B包含的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P(B)＝eq\f(8,15).求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中样本点的总数及所求事务所包含的样本点数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等.[变式训练2]假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(C)A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).eq\a\vs4\al(专题三概率与统计的综合问题)[例3]某公司为了解用户对其产品的满足度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，依据用户对产品的满足度评分，得到A地区用户满足度评分的频率分布直方图和B地区用户满足度评分的频数分布表如下．A地区用户满足度评分的频率分布直方图B地区用户满足度评分的频数分布表满足度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106(1)作出B地区用户满足度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满足度评分的平均值及分散程度(不要求计算出详细值，给出结论即可)；B地区用户满足度评分的频率分布直方图(2)依据用户满足度评分，将用户的满足度分为三个等级，如下表所示.满足度评分低于70分70分到89分不低于90分满足度等级不满足满足特别满足估计哪个地区用户的满足度等级为不满足的概率大，并说明理由．[分析]在解决综合问题时，要求同学们对图表进行视察、分析、提炼，挖掘出图表所赐予的有用信息，解除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．[解](1)如图所示．通过两地区用户满足度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满足度评分的平均值高于A地区用户满足度评分的平均值；B地区用户满足度评分比较集中，而A地区用户满足度评分比较分散．(2)A地区用户的满足度等级为不满足的概率大．记CA表示事务“A地区用户的满足度等级为不满足”；CB表示事务“B地区用户的满足度等级为不满足”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满足度等级为不满足的概率大．本题通过画频率分布直方图考查对数据的处理实力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解实力和实际应用意识.[变式训练3]某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6其次组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采纳分层随机抽样法抽取6人参与户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)其次组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为eq\f(0.3,5)＝0.06.频率分布直方图如下：第一组的人数为eq\f(120,0.6)＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000.由题可知，其次组的频率为0.3，所以其次组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝eq\f(195,300)＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比为6030＝21，所以采纳分层随机抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a，b，c，d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(