陕西省宝鸡市陈仓区千渭初级中学2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

第页2023年秋季学期第二次月考九年级数学试卷时间：120分钟试题分值：120分一．选择题（共8小题，8×3=24分）1.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由比例的性质可得．【详解】∵∴∴．故选：C．【点睛】本题考查比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．2.如图，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据俯视图的概念，得出答案．【详解】解：根据俯视图的概念，从几何体上方向下看，可以看到两个圆形轮廓，并且上层轮廓为实线．故选：A．【点睛】本题考查俯视图知识，掌握俯视图是从上向下看得到的图形，以及可以看见的轮廓应为实线是解题的关键．3.一元二次方程的根的情况为（）A.无实数根 B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根 D.不能判定【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式求解即可得．【详解】解：一元二次方程中的，则这个方程根的判别式为，所以这个方程有两个不相等的实数根，故选：B．4.如图，菱形的对角线相交于点，则（）A.8 B.40 C.96 D.192【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∴，故选：C．5.如图所示，中，，分别交边于D，E两点，若，则与的面积比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故选C．6.下列关于反比例函数的结论中正确的是（）A.图象过点 B.当时，C.在每个象限内，随的增大而减小 D.当时，【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象与性质，对各选项进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，C错误，故不符合要求；当时，，D错误，故不符合要求；当时，，A错误，故不符合要求；当时，，B正确，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7.在中，，是边上的中线，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线的性质得，所以，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】如图，∵是边上的中线，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：D．8.如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH．【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，∴△AEG≌△MDG（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝，∴GH＝FM＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键．二．填空题（共5小题，5×3=15分）9.已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果．【详解】解：∵与相似且对应中线的比为，∴的周长为的周长，∴的周长，∴的周长，故答案为：．10.将放置在的正方形网格中，顶点在格点上．则的值为__________．【答案】##【解析】【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，再根据45度角的正弦值为即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，由网格的特点可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．11.已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的增减性，利用反比例函数的增减性得到是解题关键．【详解】解：∵反比例函数的图象上两点，，若，∴，解得：．故答案为：．12.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．【答案】【解析】【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可．【详解】解：设，∵时，，∴，∴，∵，∴时，随着的增大而减小，当时，，∴当时，，即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于；故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键．13.如图，在矩形中，点E在上，，于点F，若，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练的证明是解本题的关键．本题先设，则，证明，利用，再建立方程求解即可．【详解】解：∵，∴设，则，∵矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，（负根舍去）经检验符合题意；∴；故答案为：．三．解答题（共13小题）14.解方程组：【答案】【解析】【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，由得到，代入即可求出，再把代入即可求出，掌握代入消元法是解题的关键．【详解】解：，由得，，把代入，得，解得，把代入，得，∴方程组的解为．15.解方程：；【答案】，【解析】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：，

，，即，

，

，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16.计算：【答案】【解析】【分析】根据乘方以及特殊角的三角函数值，求解即可．【详解】解：【点睛】此题考查了实数的有关运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握实数的有关运算．17.如图，在中，，，在边上求作一点D，使将分割成两个三角形，并且两个三角形都和原相似．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，作可以得到两个直角三角形分别是、，由两个角对应相等两个三角形相似即可求解．【详解】解：如图所示，、都与相似．18.如图，平分，D为中点，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据D为中点，得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】证明：∵D为中点，，∵平分，，∵，，∴，．19.如图，已知中，，，．求边的长；【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，过A作，根据直角三角形的特征得，利用即可求解，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．【详解】解：过A作，垂足H，如图：，，，，∵，，．20.如图，已知四边形是平行四边形，是等边三角形．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求四边形的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据是等边三角形，得出，即，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证；（2）勾股定理求得，继而即可求解．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，平行四边形是矩形【小问2详解】∵平行四边形是矩形∴，∵是等边三角形，∴，则，在中，，∴，∴四边形周长为【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．21.如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？（2）的面积能否等于？试说明理由．【答案】（1）1（2）不能，见解析【解析】【分析】（1）点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．【小问1详解】解：设秒后，的面积等于，由题意，得：，∴，∴的面积，解得：或，当时，，不合题意，舍去，∴；【小问2详解】不能，理由如下：设秒后，的面积等于，同（1）得：的面积，整理，得：，∵，∴方程无解，∴的面积不能等于．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程．22.如图，小树在路灯的照射下形成投影．（1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）（2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度．【答案】（1）中心投影；（2）．【解析】【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．（1）由中心投影的定义确定答案即可；（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．【小问1详解】此光源属于点光源，此光源下形成的投影属于中心投影，故答案为：中心投影；【小问2详解】，，，，，即：，解得：，路灯的高度为5米．23.2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．（1）小明购买门票在区观赛的概率为________；（2）请你用列举法求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键；（1）直接利用概率公式可得答案；（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案；【小问1详解】由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为．故答案为：.【小问2详解】画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．24.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．【答案】300m．【解析】【分析】过A作AD⊥BC，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义表示出CD，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出BD，由CD-BD=75求出AD的长即可．【详解】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，tan∠ACD=，即CD==AD，在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即BD==AD，由题意得：AD﹣AD=75，解得：AD=300m，则热气球离底面的高度是300m．【点睛】此题考查了解直角三角形中的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于两点，一次函数的图像与y轴交于点C．（1）求一次函数的解析式：（2）根据函数的图像，直接写出不等式的解集；（3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题．（2）观察图象写出一次函数图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．（3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题．小问1详解】解：反比例函数的图象经过点，∴，解得，∴，把A、B的坐标代入得，解得，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：观察图象，不等式解集为：或；【小问3详解】解：连接，由题意，，设，由题意，解得，∴或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．26.（2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少；（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△