第05章 一元二次方程-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第5章一元二次方程【知识衔接】————初中知识回顾————一元二次方程（※）1、实数根的判断△＞0方程（※）有两个不同的实数根△=0方程（※）有两个相同的实数根△＜0方程（※）没有实数根2、求根公式与韦达定理当△≥0时，方程（※）的实数根并且————高中知识链接————一元二次方程根与系数的关系如果的两个根是，则，．①，②，③【经典题型】初中经典题型1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根的判别式为△＝，解得：．故选答案A．2．若α、β为方程的两个实数根，则的值为的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【答案】B．【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=﹣，然后利用整体代入的方法计算．点睛：本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．也考查了一元二次方程解的定义．学-科网3．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．B．且C．D．【答案】D．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．（1）求m的取值范围；（2）若，满足，求m的值．【答案】（1）m≤5；（2）4．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得①，②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20﹣4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值．高中经典题型1．已知m，n是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）A．7B．11C．12D．16【答案】D．点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时t的取值范围，这是本题最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．2．关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．【考点】1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．学科-网【答案】②③．【考点】1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．【解析】试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，，因此本选项错误；对于②，，而，∴，因此本选项正确；对于③，显然，而，因此本选项正确；对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．故答案为：②③．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．一元二次方程与的所有实数根之和为（）A．2B．-4C．4D．3【答案】D．【解析】2．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6【答案】A．【解析】试题解析：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选A．考点：根与系数的关系．3．已知x=1是一元二次方程的一个根，则（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B．【解析】试题分析：∵x=1是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴．故选B．4．若是方程的两个根，且，则的值为（）A．或2B．1或C．D．1【答案】D．【解析】∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1．∵x1+x2=1﹣x1x2，∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m1=﹣2，m2=1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．5．已知关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2【答案】D．6．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程的解为（）A．B．C．或D．或﹣1【答案】D．【考点】1．解分式方程；2．新定义；3．综合题．7．若关于x的一元二次方程ax+2x-1=0无解，则a的取值范围是____________．【答案】a＜-1【解析】当时，一元二次方程无解，解得a＜-1，且，所以a的取值范围是a＜-1．8．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=．【答案】4．————再战高中题——能力提升————B组1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（）A．11B．13C．11或13D．12【答案】B．【解析】2．若实数a、b满足，则=__________．【答案】或1．【考点】换元法解一元二次方程．【解析】试题分析：设=x，则由原方程，得：，整理，得：，解得，．则的值是或1．故答案为：或1．3．设一元二次方程的两根分别是，，则=．【答案】3．【分析】由题意可知，代入原式得到，根据根与系数关系即可解决问题．【解析】∵一元二次方程的两根分别是，，∴，，，∴，∴=，故答案为：3．4．已知在关于x的分式方程①和一元二次方程②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根、，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根、，满足，且k为负整数时，试判断是否成立？请说明理由．【答案】（1）k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）当m=1时，整数根为0，3；当m=﹣1时，整数根为1，2；（3）不成立．【解析】（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，∴x≥0且x≠1，又∵x=≥0，且≠1，∴解得k≥﹣1且k≠1，又∵一元二次方程中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）∵一元二次方程（有两个整数根、，且k=m+2，n=1时，∴把k=m+2，n=1代入原方程得：，即：，∴△≥0，即△=且m≠0，∵、是整数，k、m都是整数，∵，，∴为整数，∴m=1或﹣1，∴把m=1代入方程得：，∴=0，=3；把m=﹣1代入方程得：，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴=1，=2；∴当m=1时，整数根为0，3