第19章 相似形-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第19章相似形【知识衔接】————初中知识回顾————相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA)．如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF．(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF．相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．————高中知识链接————1．(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．(2)注意辅助线的添加，多数作平行线．(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．2．涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【经典题型】初中经典题型1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE=DE．【分析】（1）首先根据已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，进而求出△AED∽△CFE，（2）根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性质解答即可．∴∠FEC=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；（2）∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC．∴△AEB∽△DEC，∴，∵AD∥BC，∴，∴．即AE2=DE2，∴AE=DE．2、某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？【分析】根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解析】由题意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，∴△ABC∽△EFC，∴=，即=．∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，∴△ABD∽△GHD，∴=，即=，解得BC=9．6m．答：河宽BC是9．6m．3、在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；学-科网（2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【解析】（1）由题意，得AB=BC=CD=AD=8，∠C=∠A=90°，在Rt△BCP中，∠C=90°，∴，∵，∴PC=6，∴RP=2，∴，∵RQ⊥BQ，∴∠RQP=90°，∴∠C=∠RQP，（2）的比值随点Q的运动没有变化，如图1，∵MQ∥AB，∴∠1=∠ABP，∠QMR=∠A，∵∠C=∠A=90°，∴∠QMR=∠C=90°，∵RQ⊥BQ，∴∠1+∠RQM=90°、∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠RQM=∠PBC，∴△RMQ∽△PCB，∴，∵PC=6，BC=8，∴，∴的比值随点Q的运动没有变化，比值为；（3）如图2，延长BP交AD的延长线于点N，∵PD∥AB，∴，∵PD∥AB，MQ∥AB，∴PD∥MQ，∴，∵，RM=y，∴又PD=2，，∴，∴，如图3，当点R与点A重合时，PQ取得最大值，高中经典题型1．如图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则．【答案】【解析】由于四边形为平行四边形，则，因此，由于，所以，因此，故．2．如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由平行线分线段成比例有，所以；（2）由（1）有①，由平行线分线段成比例有，同理，所以②，由①②得，即．试题解析：（1）∵，∴，即，同理，于是．（2）∵，∴，即，同理，所以，又由（1）有，所以，即．3．过圆外一点，作圆的切线、，、为切点，为弦上一点，过作直线分别交、于点、．（Ⅰ）若，求线段的长；（Ⅱ）若，求证：．学-科网【答案】（I）；（II）证明见解析．【解析】试题分析：（I）过点作交于点，可证，，等腰三角形可得，进而可得线段的长；（II）先证四点、、、共圆，四点、、、共圆，进而可得，从而．试题解析：（I）如图1，过点作交于点，则，且，所以．因为、是圆的切线，所以，所以，从而，得．由，得．（II）如图2，连接、、、，则．因为，所以，故四点、、、共圆，四点、、、共圆，所以．又，所以，故．从而．4．如图，为圆的直径，为圆的切线，点为圆上不同于的一点，为的平分线，且分别与交于，与圆交于，与交于，连接．（1）求证：平分；（2）求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】5．如图所示，以直角三角形的斜边为直径作外接圆，为圆上任一点，连接，过点作边上的高，过点作圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）根据同弧所对对圆周角相等，可得，那么在直角三角形中，所以，即可证明；（2）根据切割线定理，，再在不同的直角三角形内求，再根据（1）的关系求长．试题解析：（1）由题可知，是直径，所以，又由题可知，所以，又，所以，从而得，即．．．．．．．．．5分（2）由条件可知，，因为为圆的切线，所以，从而得到，所以，，由（1）得，，所以．6．在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）先由角相等，证得三角形相似，再结合线段相等即可所证比例关系；（2）由于，从而得出两个三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例，即得的值．试题解析：（1），，～，又，（2），，～，，7．如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）根据切线的性质首先证明，再利用即可得证；（2）首先根据切割线定理求得，的长度，再利用即可求解．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从B、A两点出发，分别沿BA、AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，AP=2AQ？（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形？（3）作DQ∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值，△BDP∽△PDQ？【分析】（1）由题意可知BP=t，AQ=2t，则AP=6﹣t，由AP=2AQ可得到关于t的方程，可求得t的值；（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，再利用含30°角的直角三角形的性质可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分别求t即可；（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可证得△APQ为等边三角形，可得AP=AQ，得到关于t的方程，可求出t．（2）若△APQ为直角三角形，则∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，=cosA=cos60°=，即=，解得t=3；当∠AQP=90°时，=cosA=cos60°=，即=，解得t=．∴当t=3或t=时，△APQ为直角三角形；（3）∵DQ∥AB，∴=，∵CA=CB，∴BD=AQ=2t，又∵DQ∥AB，∴∠APQ=∠PDQ，当△BDP∽△PDQ时，∴∠B=∠PQD，∴∠B=∠APQ=60°，∴△APQ为等边三角形，∴AP=AQ，即6﹣t=2t，解得t=2．所以当t=2时，△BDP∽△PDQ．2．如图，小华在晚上由路灯AC走向路灯BD．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知小华的身高是1．6m，两个路灯的高度都是9．6m，且AP=QB．（1）求两个路灯之间的距离；学！科网（2）当小华走到路灯BD的底部时，他在路灯AC下的影长是多少？【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=AB，则AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出BN即可．【解析】（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．答：两路灯的距离为18m；【名师点拨】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．3．如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，利用y与x的关系式得到y=3x+x=x=x，然后解方程求出x即可．设正方形的边长为x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB在变化，∠BPM在变化，∴PF在变化，所以∠BDG和∠GAC是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，∴AP=x，∴=x，解得x=即正方形的边长为．————再战高中题——能力提升————B组1．如图，与相交于点，过作的平行线与的延长线交于点，已知，，则____．【答案】．【解析】分析：利用已知条件判断，列出比例关系，即可求解的值．详解：，，且在圆中，，故答案为．2．在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，联结，与内切圆相交于另一点，联结，，，，已知，求证：（1）；（2）。【答案】(1)见解析;(2)见解析．【解析】分析：（1）可证∽；（2）可证同位角或内错角相等，如证或，这又可通过证明∽证得．详解：（1）联结，，则是等腰直角三角形，于是，故。又，则∽，所以①．3．如图，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．求证：∠EDC=∠ABD．【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质，再由，与互余，与互余，得，从而得证．试题解析：证明：在和中，因为为公共角，所以∽，于是．在中，因为是的中点，所以，从而．所以．【名师点睛】1．相似三角形的证明方法：（1）找两对内角对应相等；（2）若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；（3）若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．4．如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍．试题