2024年北京东直门中学高二（上）10月月考数学试题及答案

2024北京东直门中学高二10月月数 学2024.10考试时间：120分钟总分150分第一部分（共12小题，每题4分）在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD是单位正方体，其中点A的坐标是（ ）A.1,

B.

C.

D.1,1,1在空间直角坐标系Oxyz中，与点1,2,1关于平面xOz对称的点为（ ）A.1,2,1

B.1,2,1

C.1,2,

D.1,2,13.若ax,3，b2,y,6，且a//b，则（ ）A.x1，y2 B.x1，y2C.x1，y22

D.x1，y2ABCDABBCa2aAC的距离为D. A.3 2a B.2 2a C. 3aD. 2 3 2正方体ABCD的棱长为a，则棱到面的距离为（ ）C.2aD.2aA. 3C.2aD.2a3 2ABCD中，以顶点A1，且两两夹角为60，则与AC夹角的余弦值为（ ） 3646为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从ABC60进行调查，已知ABC180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（ ）A.10 B.12 C.18 D.24“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）A.8 B.8.5 C.9 D.10下列四个说法：①若向量abc是空间的一个基底，则ababc也是空间的一个基底；②空间的任意两个向量都是共面向量；③若两条不同直线l,m的方向向量分别是ab，则l//ma//b；④若两个不同平面的法向量分别是uv且u22),244)，则//．其中正确的说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.410A2,10B0C2D2AB在向量CD上的投影向量的模为（ ）212A. B.1 C.2

D. 27537.3℃737.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2（2）均值小于1，中位数为12（3）34（4）2，标准差为2.（13） B.（（4） C.（（3） .（24）2ABCDPQ上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（）①存在点Q，使得PQ//BD ②不存在点Q，使得PQ平面③三棱锥QAPD的体积是定值 ④不存在点Q，使得PQ与AD所成角为60A.0 B.1 C.2 D.3与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.第二部分（共6小题，每题5分）已知两条异面直线,l2对应的方向向量分别是a1,2，b0,11,5，则异面直线,l2的夹角为 ．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为 分.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为 .ABCDABAD2BAD120，60，则线段的长度是 .17.已知空间向量a(1,2,4),b(1,4,2),c(x,4,z),（1）若(a2b)c，且x4，则z；（2）若a,b,c共面，在以下三个条件中①x1，②x0，③x2选取一个作为已知，则z的值可以为 ．ABCDEPDCD向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得PA1PE；②△PA1E的面积越来越大；③四面体A1PB1E的体积不变．所有正确的结论的序号是 ．（共6小题，共72分）某市举办“强国有我，爱我中华”2000460x70，②70x80，③80x90，④90x100，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．2000（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表；某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前20，估计该同学的成绩不低于多少分？记ABCA、B、Ca，b，c，已知sinCB；

2cosB，a2b2c2

2ab.2若c2 时，求ABC的面积.2PABCDBC上一点，且CD2BDMAD的中点．以ABACAPPM；ABAC3AP4BACPAC60PMAC．POABCDEAB的中点，AA12,AB22.//PBC；求点OPBC的距离；APCB的余弦值.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， ADE是等边三角形，平面平面ABCD，EF//AB,EF1,AB2，O是AD的中点.EOABCD；ABBCF所成的角的大小；EBCF的体积.nA1,2,...,n，若对任意i,,...,n均有i0i1，则称An维T向量.nn对于两个n维T向量A,B定义dA,Baibi.i1（1）若A1,0,1,0,1,B0,1,1,1,0,求dA,B的值；（2）现有一个5维TAAAAdAA

2,iN*，求证：1 2 3 1该序列中不存在5维T向量00.

i i11 2 (3)现有一个12维TAAA且满足：1 2 d,

12m,mN*,i1,2,3,...，若存在正整数j使得Aj0,0,...,0,Aj为12维T向量序列中的12项，求出所有的m.参考答案第一部分（共12小题，每题4分）【答案】D【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标.【详解】点A的坐标为1,1,1.故选：D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点1,2,1，则其关于平面xOz对称的点为1,2,1.故选：A.【答案】B【分析】根据空间向量的共线条件，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，向量ax,1,3，b2,y,6，a//b

x6230，可得163y

，即x10，解得x1,y2.y2故选：B.AD,ACAD,AC110101ADACa2cos1ADADACAAADABADAAABAAADADABADa22111110

，再计算距离得到答案.，AC1 AD1ACADACa22a5a

10，AC

sin

AC

5a31033a.10 2故选：A.【点睛】本题考查了利用空间向量计算距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.【答案】C【分析】连接A1C1,B1D1，它们交于点O，证明B1D1平面AA1C1C，得B1O的长即为棱BB1到面AA1C1C的距离，，它们交于点O，，AA1A1C1A1,AA1,A1C1平面AA1C1C，所以B1D1平面AA1C1C，

2a，2所以所求距离为2a．2故选：C．【答案】BAC ABaADbAC ACBD11，结合向量的夹角公式，即可求解.abca,ba,cb,c60ABaADbabca,ba,cb,c60AC 则AC2(ab)2a2b22ab112111AC 2

和 ，且 2，BD2(bca)2b2c2a22bc2ac2bc1112121212，1 2

2 2 2AC,BD1AC 1ACBD1322 6且ACBD1(ab)(bca)abacaAC,BD1AC 1ACBD1322 6所以cos

6.故选：B.【答案】A【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】A，B，C三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从C学校中应抽取的人数为90

60

10人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.【答案】C【分析】根据百分位数的定义，结合统计表求四分位数.【详解】由5075%37.5，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又5813113738581311946，故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C【答案】Da,b,c是空间的一个基底，则ab,ab,c也是空间的一个基底，正确．②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．③若两条不同直线l，m的方向向量分别是a,b，则l∥ma∥b，正确．α，β的法向量分别是uv2其中正确的说法的个数是4考点：空间向量的概念【答案】D

(2,4,4)，∵v2u，则∥．【分析】计算AB1,2,0，CD4,4,0，根据投影公式得到答案.42【详解】根据题意：AB1,2,0，CD4,4,0，42

在CD上的投影向量的模为ABCDCD

48 4242 4

2.2故选：D.【答案】D【分析】将7个数据有小到大依次排列，举出反例证明（1（3）不满足，假设（2）不满足，根据计算得2到平均数大于1，矛盾，假设（4）不满足，计算标准差大于 ，矛盾，得到答案.27个数由小到大依次记为x1x2x3x4x5x6x7.对于（1）222、3、34、632（）选项不合乎要求；对于（2）选项，假设x76，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则x6x5x41，平均数77为 031116

（2）选项合xi1 17 7乎要求；对于（3）0、12444、643（3选项不合乎要求；对于（4）选项，假设x76，即该公司发生群体性发热，若均值为2，则方差为7 22

22

，即s ，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发2s2i1 7 227 7 7（4）故选：D【答案】ABD//

PQP即可判断；对于②，若Q为BC1中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；对于③，只需求证BC1与面APD是否平行；对于④，利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.ABCDBD//，而P为线段的中点，即为的中点，所以PQP，若存在点QBD//PQPQ，这与PQP矛盾，假设不成立，①错；对于②，若QPQ//A1BPQ，ADADPQAD，ADAADPQ，所以存在QPQ，②错；ABCDAB，而面APDA，故与面APD不平行，QQAPD故三棱锥QAPD的体积不是定值，③错；DDADCxyz轴建立如下图示空间直角坐标Dxyz，PQ 21a21a21a22DAPQDAPAA20P2Q2a2aPQ 21a21a21a22DAPQDAPA则cos

1，11a2a23a3a2a10，解得a12

5，合乎题意，所以，存在点QPQAD所成角为60，④错故选：A.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.第二部分（共6小题，每题5分）π【答案】3【分析】利用直线的方向向量以及向量的夹角公式求解即可.【详解】由已知cos由于异面直线夹角的取值范围为0,π

1，a,ba,babab25516 2 所以异面直线llπ.12 3π故答案为：3【答案】95【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x，由题意得5092309020x，∴x95.故答案为：95265【分析】先根据平均数计算出m的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【 详 解 】 依 题 意 12m67m45

.所 以 方 差 为1142242442642742194496.5 5 5故答案为26.5【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.2【答案】2 .2【分析】先利用AC1ABADAA1，再应用数量积及模长公式计算即可求解．AC ABADAA ABADAC ABADAA ABADAA 2ABAD2ABAA2ADAA211222211124442222cos120222cos608，所以2 ，22故答案为：2 .25【答案】 ①.2

②.22或12或8(只需写出一个)【分析】(1)结合已知条件，利用垂直的空间向量的数量积为0和数量积的坐标运算即可求解；(2)利用空间向量的基本定理即可求解.【详解】(1)当x4时，c4,4,z，a4b2)，a6,8，因为(a2b)c，2所以a2bc14648z0，解得z5；2(2)因为a,b,c共面，ccab选①x1，则(1,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，1故244，解得z22；42z选②x0，则(0,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，0故244，解得z12；42z选③x2，则(2,4,z)(,2,4)(,4,2)(,24,42u)，2故244，解得z8；42zz的值可以为22或12或8.5故答案为：2

22或12或8.【答案】①③B2P,,0（0m2，列出方程，求mP距离，表达出进而判断结论②；③把Ph，可以判断结论③.【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A12,0,2,E1,2,2，设P0,m,00m2，4m4m2

m28,PE ，1(m2)2m24mm28m21(m2)2m24m

PE，故①正确；4PE,AE22)0)15PE,AE22)0)15m4m92

114 51432m55m24m9PddPEsinPE,

m24m91132m25m24m9m28m365

PA1E

1 (m4)220，1AE1AEd1 m28m36212因为0m2，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，m从0逐渐变到2m以Ph，DC//h故答案为：①③．【点睛】方法点睛：求点A到直线BC的距离，方法如下：BAsinBCBA 1cos2BC1SABC2BAsinBCBA 1cos2BC1d

可得出点A到直线BC的距离.（共6小题，共72分）19.【答案】（1）83.5（2）92分【分析】（1）由频率分布直方图求平均数，用每一组中点的横坐标乘以频率，再全部相加；（2）求成绩前20%，根据求第百分位数的方法求解即可.【小问1详解】x650.05750.3850.4950.2583.5，200083.5．【小问2详解】因为90,100这组数据占总数的25%，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前20%，所以1001020%92．25%所以可以估计该同学的成绩不低于92分．π（1）33（2）33（1）根据题意，由余弦定理求得CcosB1，即可求解.2

2，得到sinC2

2，再由sinC2

2cosB，求得3（2）由正弦定理，求得b23可求解.【小问1详解】

，再由两角和的正弦公式，求得sinA的值，结合三角形的面积公式，即因为a2b2c2 2ab，2ab21cos2C2a2b2ab21cos2C2由余弦定理得C ，则sinC ，2ab 2ab 2 2又因为sinC

2cosB，可得B 1，sinC2sinC2因为B(0,π)，所以Bπ.3【小问2详解】由（1）sinC

Bπ，因为c2

2 32b，由正弦定理 2b

c ，可得bcsinB

22

3322 ，3sinB

sin

sinC 22又由sinAsin(BC)sinBCBsinC

3 21 2 6 2，2 2 2 2 4所以 ABC的面积为S1bcsinA12322

6 23 .32 2 43（1）PMAP1AB1AC；3 6（2）3.【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【小问1详解】∵M为线段AD的中点，∴AM1AD，2∵CD2BD，∴BD1BC，3PA1AD∴PMPAPA1ADPAPA1(ABBD)PAPA1(AB1BC)PAPA1AB1(BAAC)23PAPA1(AB1AB1AC)2 3 3AP1AB1AC；3 6【小问2详解】PMPMAC(AP1AB1AC)ACAPAC1ABAC1AC21AC1AC26AP

ACcosPAC1AB3

ACcosBAC43113311322 3 2 66333．2 2（1）证明见解析（2）233（3） 33（1）解：以点OPBC的法向量为n和A1E(1,1,2)，根据AEn0，得到AEn，进而证得AE//平面PBC；由（1）PBCn，且OB(020)，结合向量的距离公式，即可求解；利用线面垂直的判定定理，证得OBPACPAC的一个法向量为OB(020)，由（1）PBCn，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：以点O为坐标原点，以OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AA12,AB22，则A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(2,0,0)，可得A1E(1,1,2),BC(2,2,0),PB(0,2,2)，nBC2x2y0设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，则 ，nPB2y2z0z1xy1n，AEn0AEn，又因为AE平面PBC，所以AE//平面PBC.【小问2详解】解：由（1）知，平面PBC的一个法向量为n(1,1,1)，且OB(0,2,0)，d

OBn

23 23 (1)21212 3233所以点O到平面PBC的距离为 233【小问3详解】解：在正方形ABCD中，可得OBAC，因为OP平面ABCD，且OB平面ABCD，所以OBOP，又因为AC OPO，且AC,OP平面PAC，所以OB平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为OB(0,2,0)，由（1）PBCn，APCB所成角的角为，且0π，2所以coscosOB,n

OB

2 ，3OBn3

23 3所以二面角APCB所成角的余弦值为 3.3（1）证明见解析π（2）3（3） 33【分析（1）由等边 ADE中，证得EOAD，结合面面垂直的性质，即可证得EO平面ABCD.以OAB020)BCF的一个法向量为n(0,3,1)，结合向量的夹角公式，即可求解；EBCFhEF0,10，利用向量的距离公式，求得h合棱锥的体积公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为 ADE是等边三角形，O是AD的中点，所以EOAD，又因为平面平面ABCD，且平面ADE平面ABCDAD，所以EO平面ABCD.【小问2详解】BC的中点为QABCD为正方形，且OAD的中点，所以OQAD，以O为坐标原点，以OQOEx,yz轴，建立空间直角坐标系，EF//ABEF