数学课堂探究：变化率与导数（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一求函数的平均变化率求平均变化率的主要步骤是:（1）计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f（x1)－f(x0)．(2）计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.（3)结论:平均变化率eq\f（Δy，Δx）＝eq\f（f（x1)－f（x0)，x1－x0）.【典型例题1】已知函数f(x)＝3x2＋2.(1)求在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；（2)求当x0＝2，Δx＝0.1时的平均变化率；（3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析（2)中的平均变化率的几何意义．思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义,先求Δy，Δx，再求eq\f（Δy，Δx）.解:（1)∵f（x）＝3x2＋2,∴f（x0）＝3x02＋2，f（x0＋Δx)＝3(x0＋Δx）2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3（Δx)2＋2.∴Δy＝f（x0＋Δx)－f（x0)＝6x0·Δx＋3（Δx）2.∴f（x)在[x0，x0＋Δx］上的平均变化率为eq\f(Δy，Δx）＝eq\f（6x0·Δx＋3(Δx)2，Δx）＝6x0＋3Δx。(2)当x0＝2,Δx＝0.1时，平均变化率为eq\f（Δy,Δx)＝6×2＋3×0.1＝12。3。（3)eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(f（x′0）－f(x0)，x′0－x0）＝eq\f(f(2。1)－f(2），2.1－2）,它表示曲线f（x）＝3x2＋2上点A（2,14)，B（2.1,15.23）连线的斜率．【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s（t)＝eq\f(1,2）t2，求该运动物体在第2s后的0.1s内的平均速度．(位移单位:m，时间单位：s）解：∵Δs＝s(2＋0.1）－s(2)，∴Δs＝eq\f（1，2）×2.12－eq\f(1，2）×22＝0.205.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(0.205,0.1)＝2。05，即eq\x\to(v）＝eq\f(Δs，Δt)＝2。05（m/s）．探究二求瞬时速度1．求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步，求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s(t0）．第二步,求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs，Δt)。第三步,求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,eq\f（Δs,Δt)无限趋近的常数v即为瞬时速度．2．求eq\f(Δy，Δx）（当Δx无限趋近于0时）的极限的方法(1）在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2）求出eq\f(Δy，Δx）的表达式并化简（如对Δx约分)后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0,求出结果即可．【典型例题3】一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a。思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t＝2时的瞬时速度的表达式,再代入求出a的值．解:∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a（2＋Δt)2＋1＝4a＋4aΔt＋a（Δt)2＋1。于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4aΔt＋a(Δt）2＋1－(4a＋1)＝4aΔt＋a（Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt）＝eq\f（4aΔt＋a(Δt）2,Δt)＝4a＋aΔt。因此eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（Δs，Δt）＝eq\o（lim，\s\do4(Δt→0)）（4a＋aΔt）＝4a,依题意有4a＝12，∴a＝3。探究三利用定义求函数在某一点处的导数利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”．（1）计算函数值的增量:Δy＝f(x0＋Δx）－f（x0)；(2）计算函数值的增量与自变量增量Δx的比：eq\f（Δy,Δx)；(3)计算上述增量的比值当Δx→0时的极限,即eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（Δy，Δx）＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).【典型例题4】求函数y＝f(x)＝x－eq\f（1,x）在x＝1处的导数．思路分析：解答本题要紧扣导数的定义，函数f(x）＝x－eq\f(1，x）在x＝1处的导数就是f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy＝（1＋Δx)－eq\f(1，1＋Δx）－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1）））＝Δx＋1－eq\f(1，1＋Δx）＝Δx＋eq\f（Δx,1＋Δx），∴eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(Δx＋\f（Δx,1＋Δx）,Δx）＝1＋eq\f（1,1＋Δx），∴eq\o(lim，\s\do4（Δx→0))eq\f（Δy,Δx)＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0)）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.∴f′（1）＝2.探究四易错辨析易错点：对导数的概念理解不清而导致出错【典型例题5】设函数f（x)在点x0处可导，且f′（x0)已知,求下列各式的极限值．（1）eq\o(lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f(f(x0－Δx)－f（x0)，Δx);(2）eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)）eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h)，2h）.错解：（1）eq\o（lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f（f（x0－Δx)－f（x0），Δx)＝f′(x0）．(2）eq\o(lim,\s\do4（Δx→0））eq\f(f（x0＋h)－f（x0－h)，2h)＝eq\f（1，2)eq\o（lim，\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋h）－f(x0－h），h)＝eq\f(1,2)f′（x0）．错因分析：在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式．如(1）中Δx的改变量为Δx＝x0－（x0－Δx)，(2)中Δx的改变量为2h＝(x0＋h)－（x0－h）．正解：(1）eq\o(lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f(f