数学课堂探究：变量的相关性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究1．函数关系与相关关系的区别和联系剖析:函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童,身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及第三个因素-—年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高,而且由于长大身高也会高些．两种关系之间的联系．两类关系在一定条件下可以相互转化，如正方形面积S与其边长x之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积时，由于测量误差等原因，其数值大小表现为一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，在求得其回归直线之后，又可以用一种确定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计．在现实生活中，相关关系大量存在．从某种意义上说，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度．2．散点图的重要作用剖析：散点图对于探究两种事物、两种现象之间的关系起着重要的作用．它是用平面直角坐标系上点的散布图形来表示两种事物之间的相关性及联系的模式,例如：为研究小学生的身高与体重之间的关系，研究人员分别以每个学生的身高、体重为横、纵坐标,在平面直角坐标系内画出相应的点，这些点便组成了相关的散点图．散点图直观地反映了两个事物对应的观测值之间是否存在相关性，至于什么样的相关，就要看研究的角度．温馨提示求回归直线方程,首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有意义，否则,求出的回归直线方程毫无意义．3．教材中的“思考与讨论”图2-10和图2-11中画出直线的标准合理吗？怎样判别拟合的优劣程度呢？解答：将线性相关的数据画成散点图，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，根据不同的标准可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，能够最贴近已知数据点的直线叫做最优拟合直线．因此，教材两图画出直线的标准不合理．判断拟合的优劣程度就是判断找出的这条直线“是否最贴近”已知的数据点．题型一相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系为相关关系的是（)A．角度和它的正弦值 B．圆的半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角之和 D．人的年龄和身高解析:角与它的正弦值是函数关系；圆的半径r与面积S＝πr2,正n边形的边数与内角之和h（n)＝（n－2）·180°都是函数关系．而人的年龄和身高则具有相关关系．答案：D反思此问题为非数据型两个变量的相关性判断,要根据两个变量之间是否具有确定性关系及因素关系来判断．题型二利用回归直线对总体进行估计【例2】炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉熔化完毕到出钢的时间）的一列数据，如下表所示：x/0.01％104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1）作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？(2）求回归直线方程．(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?分析：画出散点图，看两者是否具有相关关系，然后利用最小二乘法可求出回归直线方程．最后利用方程计算含碳量为160时，应冶炼多长时间．解:(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．(2）列出下表，并用科学计算器进行计算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to（x)＝159．8，eq\x\to(y）＝172,eq\i\su（i＝1，10,x)eq\o\al（2,i)＝265448，eq\i\su（i＝1，10，y）eq\o\al(2，i）＝312350，eq\i\su（i＝1,10,＝)xiyi＝287640设所求的回归直线方程为eq\o(y，\s\up6(^）)＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6（^))，eq\o(b,\s\up6（^)）＝eq\f(\i\su(i＝1,10，x)iyi－10\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,10，x）\o\al（2，i)－10\x\to（x）2)≈1．267，eq\o(a，\s\up6(^)）＝eq\x\to（y)－eq\o(b，\s\up6(^））eq\x\to（x）≈－30．47,即所求的回归直线方程为eq\o(y，\s\up6（^））＝1．267x－30．47．（3)当x＝160时，eq\o（y，\s\up6(^)）＝1．267×160－30．47≈172（min），即大约应冶炼172min．最小二乘法是求回归直线方程的常用方法,可以通过本题的解答体会最小二乘法的优越性．为了便于计算，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量．题型三易错辨析【例3】由一组样本数据（x1,y1)，(x2，y2)，…，（xn，yn）得到回归直线方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6(^))x＋eq\o（a，\s\up6(^)）,那么下面说法中不正确的是（)A．直线eq\o(y，\s\up6（^）)＝eq\o(b，\s\up6（^））x＋eq\o（a，\s\up6(^))必经过点（eq\x\to（x），eq\x\to(y)）B．直线eq\o（y，\s\up6（^)）＝eq\o（b,\s\up6(^))x＋eq\o（a,\s\up6（^））至少经过点(x1，y1),(x2，y2)，…，（xn，yn）中的一个点C．直线eq\o（y，\s\up6（^))＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a,\s\up6(^）)的斜率为eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y)，\i\su（i＝1，n，x)\o\al(2，i）－n\x\to（x)2)D．直线eq\o（y，\s\up6(^）)＝eq\o(b，\s\up6（^））x＋eq\o(a,\s\up6（^)）和各点（x1,y1），(x2,y2），…，（xn，yn）的总离差eq\i\su(i＝1,n,［）yi－(eq\o(b，\s\up6(^））xi＋eq\o（a,\s\up6(^))）]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线错解：A错因分析：选A是因为没有抓住回归直线eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^))中eq\o（a,\s\up6（^)),eq\o（b，\s\up6(^）)的取值及意义,事实上，因为eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1，n,x)iyi－n\x\to(x）\x\to（y)，\i\su(i＝1，n,x）\o\al(2,i)－n\x\to(x）2）,eq\o(a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6（^）)eq\x\to(x)，所以直线eq\o（y,\s\up6(^))＝eq\o(b，\s\up6(^）)x＋eq\o（a，\s\up6(^)）必过定点(