平面向量导学案

向量的概念及表示【预习要点】向量概念，相等向量概念，向量几何表示，零向量，单位向量，平行向量，【预习要求】.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；.了解平行向量（共线向量）、相反向量的概念.【知识网络】向量的概念向量的表示，向量的长度（模）零向量、单位向量、相等（反）向量平行（共线）向量向量的概念学习探究【识记要点】1.向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具.通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题*.向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用..向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量【注意】1。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2。从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质.向量的表示：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：ab；④向量丽的大小一一长度称为向量的模，记作I而I..零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向..平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整 定义；（2）向量a、b、。平行，记作合口6口。..相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.【说明】（1）向量a与b相等，记作a=b;（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关..平行向量（共线向量）：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.【说明】（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【探究】.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为脑，需要学生注意的是：血的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量有大小、方向，还有作用点（起点），比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者..向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量a,b,a〉b,或a<b”这种说法是错误的..实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加..向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段例1判断下列说法是否正确，若不正确，请简述理由.①若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确.如图AC与BC共线，虽起点不 再「同，但其终点却相4 1 £同.例2下列命题正确的有口@与6共线，b与。共线，则a与。也共线②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点口向量a与6不共线，则a与b都是非零向量④有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以口不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以④不正确；由于零向量与任一向量都共线，故③正确.例3回答下列问题，并简述理由..平行向量是否一定方向相同？（不一定）.不相等的向量是否一定不平行？（不一定）.与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）.与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）6.两个非零向量相等的条件是什么？（长度相等且方向相同）

定）分别7.共线向量一定在同一直线上吗？（不一例4如图，设o是正六边形abcdef的中心，写出图中与向量OUA,浅,浅相等的向量。定）分别uuruuruuruuruuruuruuruuu解：OA=CBr怯临；O=DC=EO=AF；OC=AB=ED=FO-【课堂检测】.下列命题中，正确的是（B ）A.若|a|二|b|，则a=b B.若a=b,则a与b是平行向量C.若|a|>|b|,则a>b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量.下列说法中错误的是（A）••A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是一个单位圆.已知非零向量a〃b,若非零向量c〃a,则c与b关系是c〃b..已知@、b是两非零向量，且a与6不共线，若非零向量c与@共线，则c与b必定_不共线..判定下列命题的正误：口零向量是惟一没有方向的向量。 （X）口平面内的单位向量只有一个。 （X）口方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（J）口向量a与6是共线向量，bnC,则a与c是方向相同的向量。（X）口相等的向量一定是共线向量。（J）.下列四个命题中，正确命题的个数是1共线向量是在同一条直线上的向量若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点

与已知非零向量共线的单位向量是唯一的口若四边形ABCD是平行四边形，则”与CD,BC与的分别共线.解：已知ABCD是菱形，|登|=1,DDAB=解：已知ABCD是菱形，|登|=1,DDAB=三，则|院3如图，梯形ABCD中，E，F分别是腰AB、4

的三等分点，且I筋I二2，|BUC|二5，求|EF

分别取BE，CF的中点分别记为M，N，7一由梯形的中位线定理知：IM|二中EUI+BUC）uuriuuruuurIEFI=2(AD+MN)=iuuriuuuuriuur(AD+-IEFI+IBCI)2 2 21uur

AC、回•3uur1 5 9 •uur・・_IEFI=(2+-)=— ・・IEFI=3-4 2 2 410.在直角坐标系xoy中，已知IOAI=5，OA与X轴正方向所成的角为30o，与y轴正方向所成的角为120o，试作出OA.解：r30o30o1向量的概念及表示学海导航【预习要点】向量概念，相等向量概念，向量几何表示，零向量，单位向量，平行向量【预习要求】.理解向量的概念，掌握向量的几何表示；.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；.了解平行向量（共线向量）、相反向量的概念.【知识网络】向量的概念向量的表示，向量的长度（模）向量的概念,零向量、单位向量、相等（反）向量平行（共线）向量学习探究【识记要点】.向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具.通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用..向量的概念：我们把既有又有的量叫向量【注意】1。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小，2。从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质.向量的表示：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：ab；④向量前的大小一一长度称为向量的模，记作1赤1..零向量、单位向量概念：①长度为 的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别*②长度为 的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向..平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向 量；②我们规定0与任一向量平行. 七^说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整 定义；(2)向量a、b、。平行，记作aDbDc..相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.【说明】（1）向量a与b相等，记作a=b;（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关.．．．．．．．.平行向量（共线向量）：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.【说明】（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【探究】.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线段AB的两个端点中，我们规定了一个顺序，A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有射线AB的方向，具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为脑，需要学生注意的是：血的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量有大小、方向,还有作用点（起点），比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者..向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量a，b，a〉b，或a<b”这种说法是错误的..实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加..向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段【例题解析】例1判断下列说法是否正确，若不正确，请简述理由.①若向量AB与cD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2下列命题正确的有口@与6共线，b与。共线，则a与。也共线②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点③向量a与6不共线，则a与b都是非零向量④有相同起点的两个非零向量不平行例3回答下列问题，并简述理由.1.平行向量是否一定方向相同？2.不相等的向量是否一定不平行？.与零向量相等的向量必定是什么向量？4.与任意向量都平行的向量是什么向量？.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？.两个非零向量相等的条件是什么？7.共线向量一定在同一直线上吗？例4如图，设o是正六边形ABCDEF的中心， 二,分别TOC\o"1-5"\h\z写出图中与向量OA,浅,浅相等的向量。 、八【课堂检测】 A.下列命题中，正确的是（） 乙△:A.若|a|二|b|,则a=bB.若a=b,则a与b是平行向量C.若|a|>|b|,则a>b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量.下列说法中错误的是（）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是―..已知非零向量anb,若非零向量pa,则c与b关系是 ..已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定..判定下’列命题的正误:

U零向量是惟一没有方向的向量。口平面内的单位向量只有一个。口方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。(口向量a与6是共线向量，b口C,则a与c是方向相同的向量。 (口相等的向量一定是共线向量。 (.下列四个命题中，正确命题的个数是共线向量是在同一条直线上的向量 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点与已知非零向量共线的单位向量是唯一的口若四边形ABCD是平行四边形，则q与CD，BC与而分别共线..已知ABCD是菱形，|器|=1，DDAB=巴，则|院|= ,|AC|=3 TOC\o"1-5"\h\z.如图，梯形ABCD中，E，F分别是腰AB、DC V1的三等分点，且|翳二2,|BC|二5,求I翳.「卜 年・以 iC.在直角坐标系xoy中，已知IOAI=5,OA与x轴正方向所成的角为30o,与y轴正方向所成的角为120o，试作出OUA.2.2向量的线性运算2.1向量的加法

学海导航【预习要点】向量加法的定义，向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则【预习要求】.掌握向量加法的定义.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.【知识网络】向量的加法向量加法的定义向量的加法,向量加法的三角形法则、平行四边形法则向量加法满足的交换律、结合律学习探究【识记要点】.复习：向量有关概念向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.知识建构:(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和：器+bC二学习探究【识记要点】.复习：向量有关概念向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.知识建构:(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和：器+bC二aC(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到A则两次的位移和：AB+BC=AC(3)某车从A到B,再从B改变方向到心A BBCC则两次的位移和：AB+BC=AC(4)船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB+二AC.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加5.三角形法则(首尾相接)如图，已知向量a、b.在平面内任取一点a，作ab=a，bc=b,则向量ac叫做向量a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定：a+0=0a+b【探究】(1)两个向量的和仍是一个向量;（3）当a与b同向时，贝匕+b、a、b（3）当a与b同向时，贝匕+b、a、b同向，且时，若lal〉lbbb~a~ba+ba+bl=lal+lbL当£与b反向，贝la+b的方向与a相同，且；若lalVbl，贝1Ja+b的方向与b相同，且la+b1=lbHa（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连续相加的情形.【例题解析】例1已知向量a、b,求作向量a+b作法：在平面内取一点，作0A=aAB=b，贝1oB=a+b.【探究一】加法加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？验证结果相同从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对两个向量共线时不适用）2）向量加法的交换律：a+b^b+a（a+b）（a+b）CD=C（b+C）证：如图：使而=a，bc=b，贝！（a+b）+c=AC+CD=AD，a+・•・（a+b）+c=a+（b+c）从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.例2P60例题1例3P60例题2【引申】如图，一艘船从A点出发以2,：3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行的速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.解：设A方表示船垂直于对岸行驶的速度，就表示Di 1匚水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则立就是船的 实际航行的速A B在RtAABC中，IAB1=2，IBC1=2<3所以IACI=\；IAB|2+IBC|2=4因为tan/CAB=空=v,3n/CAB=60。2答：船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60。【思维拓展】.一艘船从A点出发以2.-3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度..一艘船距对岸4.3km，以2、mkm/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km,求河水的流速..一艘船从A点出发以v的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流1速为v,船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60。，2求v和，1 2.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是 km/亿最小是km/h*【课堂检测】.若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形.下列命题正确的有④①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b④对于任意向量a、b,必有|a+b|s|a|+|b

3.以下四个命题中不正确的有②①若a为任意非零向量，则a口0②Ia+b|=|a|+l③a=b,则反之不成立⑷任一非零向量的方向都是惟一的4・已知|AB|=6,1AC1=4，则IBC|的取值范围为[2,10]5.设（AB+CD）+（BC+DA）=a，b丰0，则在下列结论中，正确的有□□②a□b；□a+b=a； □a+b=b；□Ia+bl<laI+IbI6.化简maxuurumruur6.化简AB+BC+CD+DA=.设a表示“向东走3km”,b表示“向北走4km”,则a+b表示.向东北方向走5km..一架飞机向北飞行200km后，改变航向向东飞行200km,则飞行的路程为400km，两次位移的和的方向为东北方向,大小为20v2km9.已知uuuruuuu—9.已知uuuruuuu—IOAI=IOBI=<2,/AOB=120°,七uuuuuu求IOA+OBI..已知在矩形ABCD中，宽为2,长为2后,AB=a，BC=b，AC=c，试作出向量a+b+c,并求出其模的大小。4平方向成60°角的2平方向成60°角的2N,求它的合力的与水平方向成30。角.已知在四边形ABCD中，AC二AB+器，求证：四边形ABCD是平行四边形.向量的加法向量的加法2.2向量的线性运算

2.2.1向量的加法

学海导航【预习要点】向量加法的定义，向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则【预习要求】.掌握向量加法的定义.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.【知识网络】向量加法的定义向量加法的三角形法则、平行四边形法则向量加法满足的交换律、结合律学习探究【识记要点】.复习：向量有关概念向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我TOC\o"1-5"\h\z们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向AB C和大小的前提下，移到任何位置.知识建构：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：的+bc二ac（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到TA 7则两次的位移和：ab+bc=ac 1"（3）某车从A到B，再从B改变方向到£，_//A B则两次的位移和：aB+BC=AC AC

（4）船速为油，水速为前，则两速度和：AB+BC=AC.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法..三角形法则（首尾相接）如图，已知向量a、b.在平面内任取一点a，作丽=a,BC=b,则向量ac叫做向量a与b的和，记作a+b,即a+b=ab+bc=ac,规定：a+0=0+aa+aa >b^+bk__.【探究】（1）两个向量的和仍是一个向量;（2）当向量〃与力不共线时，〃+力的方向不同向，且S+/VI+I/;（3）当〃与B同向时，则〃+八、o___a 〃、〃同向，且a+b>la"lbL当a与b反向\时,若la»b,则a+b的方向与a相同，且la"'\一二二号b+bl=lal-lb；若lalVbI，则a+b的方向与b相同，且Ia+b1=lbl-la.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到口个向量连续相加的情形.【例题解析】例1已知向量a、b，求作向量a+b作法：在平面内取一点，作QA=aAB=b，则OB=a+b.【探究一】加法加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b+a的结果与a+b是否相同？验证结果相同

从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对两个向量共线时不适用）2）向量加法的交换律：a+b=b+a【探究二】向量加法的结合律：证：如图：使加="，bc【探究二】向量加法的结合律：证：如图：使加="，bc=b，则（a+b）+c=AC+CD=ADa+，（a+b）+c=a+（b+c）(a+b)+c=CD=cAB+BD=ADa+(b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.例2P60例题1例3P60例题2【引申】如图，一艘船从A点出发以2、；3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h,求船的实际航行的速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.解：设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示 水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则ac就是船的 实际航行的速A R【思维拓展】.一艘船从A点出发以2点km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度.

.一艘船距对岸4.3km,以2-3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km,求河水的流速..一艘船从A点出发以v的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流1速为v，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是600，2求和vIv.12.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是 km/亿最小是km/h*【课堂检测】.若AB=DC，则四边形ABCD是.下列命题正确的有①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b④对于任意向量a、b,必有|a+b|s|a|+|b.以下四个命题中不正确的有①若a为任意非零向量，则@口0②|a+b|=|a|+|b|③a=b,则|a|=|b|,反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的.已知|AB1=6,1AC1=4，则IBCI的取值范围为.设（AB+CD）+（BC+DA）=a,b丰0，则在下列结论中，正确的有②a②b；②a+b=a；②a+b=b；②]a+b1<1a।+।b।6.化简uuuruuuruuuruuur6.化简AB+BC+CD+DA=.设a表示“向东走3km”,b表示“向北走4km”，则a+b表示.一架飞机向北飞行200km后，改变航向向东飞行200km,则飞行的路程为,两次位移的和的方向为,大小为

9.已知uuuruuuu_|9.已知uuuruuuu_|OA|=|OB|=J2,/AOB=120。,七uuruur小IOA+OBl・10.已知在矩形ABCD中，宽为2,长为2A,AB=a，BuC=b，AC=c，试作出向量a+b+c,并求出其模的大小。11.如图，一物体受到水平方向和与水平方向成6011.如图，一物体受到水平方向和与水平方向成60。角的两个力的作用，已知两个力的大小均为B2N,求它的合力的大小及方向。12.已知在四边形ABCD中，AC=AB+AD，求证：四边形ABCD是平行四边形.2.2.2向量的减法

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【预习要点】相反向量的概念；作两个向量的差向量【预习要求】.复习向量加法的定义.会用向量减法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差向量.掌握向量的加法与减法的意义与几何运算，并会用它们进行向量计算,【知识网络】向量的减法向量减法的定义向量的减法向量减法的三角形法则、平行四边形法则向量加法与减法运算的关系学习探究【识记要点】.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a规定：零向量的相反向量仍是零向量；-(-a)=a任一向量与它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0*如果a、b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法满足三角形法则(首尾相接)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)量加法的交换律：a+b=b+a.向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+D.向量减法的定义：若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a-b或者：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b=a+(-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量的减法是加法的逆运算.求作差向量：已知向量a、b, --一 求作向量 门‘一•二(a-b)+b=a+(-b)+b 二. =a+0=a.减法的三角形法则 ,三作法：在平面内取一点O,作04=a，OB=b，则BA=a-b即@-6可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量*注意：1。ab表示a-b强调：差向 = ‘量“箭头”指TOC\o"1-5"\h\z向被减数 :/2。用“相反向量”定义法作差向 量，a-b=a+(—b) '显然，此法作图较繁，但最后作图可统一,a〃b〃c a-b=a+(—b) a-b_a a-ba__► > a―±^OBAB'OBA—b>a a—b a—b > > > ►b O A—bBBO A【例题解析】例1已知向量a、b、c、d,求作向量a—b、c—d解：在平面上取一点。，作oa=a,ob=b,oc=c,od=d,作BA,dc,则BA=a—b,dc=c—d例2(P63练习1)平行四边形abcd中，AB=a,AD=b,用a，b表示向量AC、DB.解：由平行四边形法则得:AC=a+b，DB=AB-AD=a-b变式一：当a,b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？(|a|=|b|)变式二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|?(a,b互相垂直)变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？(不可能，对角线方向不同)例3P62例2【课堂检测】.下列等式：口a+0=a口b+a=a+b口-(-a)=a口a+(-a)=0口a+(-b)=a-b正确的个数是4.化简而-QP+P+炉的结果等于OQ.已知OA=a,OB=b,若|Oal=12,|OB1=5，且NA0B=90°，则|a-b|= .13.在正六边形ABCDEF中，AE=m,诟二n,则BA= .m-n.已知a、b是非零向量，则|a-b|=|a|+|b|时，应满足条件.a与b反向.在下列各题中，正确的命题个数为()⑴若向量a与b方向相反，且|a|〉|b|,则a+b与a方向相同⑵若向量a与b方向相反，且|a|〉|b|,则a-b与a+b方向相同⑶若向量a与b方向相同，且|a|<|b|,则a-b与a方向相反(4)若向量a与b方向相同，且|a|<|b|,则a-b与a+b方向相反TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2 C.3口 D.4.如图，在四边形ABCD中，根据图示填 空：a+b= ,b+c= ，c-d= ,a+b+c-d= . 下.一艘船从A点出发以2,：3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h,则河水的流速的大小为 .2km/h.若a、b共线且|a+b|<|a-b|成立，则a与b的关系为^a与b的方向相反且都不为零向量.在五边形ABCDE中，设AB=a,AE=b,BC=c,ED=d,用a、b、c、d表示cd.b+d-a-c *.如图所示，。是四边形ABCD内任一点，/,0\试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头 表示），使a+b=AB,c-d=De，并画出b-c和a+d..已知O是dABCD的对角线AC与BD的交点，若AB=a,bc=b,oD=c，试证明：c+a-b=oB.2．2．2向量的减法

学海导航【预习要点】相反向量的概念；作两个向量的差向量【预习要求】.复习向量加法的定义.会用向量减法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差向量.掌握向量的加法与减法的意义与几何运算，并会用它们进行向量计算.【知识网络】向量的减法向量减法的定义向量的减法向量减法的三角形法则、平行四边形法则向量加法与减法运算的关系学习探究【识记要点】.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a规定：零向量的相反向量仍是零向量；-(-a)=a任一向量与它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0*如果a、b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法满足三角形法则(首尾相接)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)电！

.・向量加法的交换律：a+b=b+a.向量加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.向量减法的定义：若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a-b或者：向量8加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b=a+（-b）求两个向量差的运算叫做向量的减法向量的减法是加法的逆运算,b求作向量=a+0,b求作向量=a+0•二（a—b）+b=a+（-b）+.减法的三角形法则作法：在平面内取一点O,作oa=a，oB=b,则1BA=a-b即a-6可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1%B表示a-b强调：差向 .量“箭头”指向被减数2。用“相反向量”定义法作差向/X 量，a-b=a+（-b） "【例题解析】例1已知向量a、b、c、d,求作向量a-b、c-d例2（P63练习1）

在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，用“，b表示向量AC、DB.变式一：当a,b满足什么条件时，a+b与a-b垂直?变式二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？例3P62例2【课堂检测】.下列等式：口a+0=a口b+a=a+b口-(-a)=a口a+(-a)=0口a+(-b)=a-b正确的个数是.化简OP-QP+PS+SP的结果等于.已知OA=a,Ob=b,若|Oal=12,|ObI=5,且NA0B=90°,则|a-b=.在正六边形ABCDEF中，ae=m,通二n,则BA= ..已知a、b是非零向量，则|a-b|=|a|+|b|时，应满足条件..在下列各题中，正确的命题个数为（）⑴若向量a与b方向相反，且|a|〉|b|,则a+b与a方向相同⑵若向量a与b方向相反，且|a|〉|b|,则a-b与a+b方向相同a-b与a方向相a-b与a+b方向a-b与a方向相a-b与a+b方向D.4⑷若向量a与b方向相同，且|a|<|b|,则相反A.1C.3B.2A.1C.3.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空:a+a+b= ,b+c= ,c-d=,a+b+c-d=.一艘船从A点出发以2、3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h,则河水的流速的大小为..若a、b共线且|a+b|<|a-b|成立，则a与b的关系为 ^.在五边形ABCDE中，设AB=a,AE=b,BC=c,ED=d,用a、b、c、d表示cd.11.如图所示，。是四边形11.如图所示，。是四边形ABCD内任一点，的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头试根据图中给出

表示），使a+b=AB,c-d=De，并画出b-c和a+d.12.已知。是丫ABCD的对角线AC与BD的交点，若Ab=a,bc=b,oD=c，试证明：c+a-b=oB.2．2．3向量的数乘（2课时）学海导航【预习要点】向量的数乘及其几何意义【预习要求】.掌握向量数乘的定义及其几何意义；

.掌握向量数乘满足的运算律；.理解两个向量共线的条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.【知识网络】向量的数乘向量数乘的定义及其几何意义向量的数乘,向量数乘满足的运算律〔向量共线的条件学习探究【识记要点】.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法*向量加法的三角形法则和平行四边形法则TOC\o"1-5"\h\z.向量加法的交换律：a+b=b+a :.VL<_XCZ 叫 1 mJ.向量加法的结合律：（a+b）+丁 a+（b+工）.向量的减法向量a加上的b相反/三 向量，叫做a与b的差即：a—b=a+（―b）*■.差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=a-b即@-6可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量9.【探究】已知非零向量凡作出尹a+&和（r）+（r）+（r）a 占‘占‘占’NMQa 占‘占‘占’NMQPoc=oa+ab+bc=尹a+a=3aPN=PQ+QM+MN=（一£）+（-a）+（一£）=-3a讨论：⑴3月与a方向相同且13al=3ial；⑵-31与a方向相反且I-3al=3ial.向量的数乘：实数人与向量a的数乘还是一个向量，记作：入a⑴I入al=l入llal（2）入＞0时入月与&方向相同；入＜0时入月与&方向相反；入=0时入片0.向量数乘满足的运定律结合律：入me）=（入3a①第一分配律：（入+2%入胪卜a ②第二分配律：入（a+b”入尹入b③结合律证明：如果入=0,y0，a=o至少有一个成立，则①式成立如果入wo,卜。0,a。o有：I入（“）i=i入ii“i=i入II”a（人口aI=I入mJIaI=I入II/Ia，入（“）i=i（入口a如果入、以同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果入、以异号，则①式两端向量的方向都与a反向.从而入（“）=（入口a第一分配律证明：如果入=0,y0，片o至少有一个成立，则②式显然成立如果入w0,pw0，a。0当入、以同号时，则人才和Na同向，，（入+n）aI=I入+nIIaI=（I入I+InI）Ia入a+NaI=I入aI+I^aI=I入IIeI+I/IaI=（I入I+InI）Ia.・•入、N同号•二②两边向量方向都与a同向即I（入+n）aI=I入a+Na当入、N异号，当入〉N时②两边向量的方向都与人a同向；当入＜N时②两边向量的方向都与口a同向，且I（入+n）aI=I入a+Na・,•②式成立第二分配律证明：如果a=0,卜o中至少有一个成立，或入=0,入=1则③式显然成立

ABAB11=入1由作法知，aB〃ab有/QAB=/QABii 11ABAB11=入1由作法知，aB〃ab有/QAB=/QABii 11IOAIIABI/.△QAB^AIOAIIABIQABiiIOBIIOBI=入ZAQB=ZA1QB1入OB因此，Q,B,B1在同一直线上，入（b+b”入b+入bOB1OB与入Ob方向也相同1当入＜0时可类似证明：入（a+b”入尹入b./③式成立.向量共线的条件若有向量以肝6）、b，实数入，使卜入b，则b与b为共线向量.若b与b共线（尸6）且1卜：IbI招，则当b与b同向时"a；当b与b反向时b『b.从而得.向量共线定理向量b与非零向量^^共线的条件是：有且只有一个非零实数入，使卜入^【例题解析】例1P64例1例2若3m+2n=a,m—3n=b,其中a,6是已知向量，求m,n.分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m+2n=a^ m—3n=b□3义口得3m—9n=3b□

口一口得11n=a—3b. □n=1a—J_b□11 11将口代入口有：m=b+3n=J_a+Lb11 11的积以及它次方程组的【点评】在此题求解过程中，利用了实数与向量所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.的积以及它次方程组的例3P64例3例4P65例4【思维拓展】已知凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证ef=1（^b+dc）.2解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作cG=AB，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.□EF是nADG的中位线，nEF=1DG, □ef=1dg.TOC\o"1-5"\h\z2 2Wr7 - -―I- L -―I—,■I~I一二 1 （,■―I- L、而DG-DC十CG—DC十AB，□EF- （AB十DC）•2解法二：创造相同起点，以建立向量间关 系如图，连EB,EC,则有EB=EA+AB,EC=ED+DC，又^E是AD2中点，□有ea+ED=0. '即有EB+EC=AB+DC；以eb与EC为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC2中点，可得F也是EG2中点.□EF=1EG=1（eb+EC）=1（aB+DC）2 2 2【错解辨析】判断向量a=—2e与b=2e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：口@=-26,b=2e,□b=—a,口@与5共线.分析：乍看上述解答，真是简单明了.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e=0,而当e=0时，显然a=0,b=0,此时，a不符合定理中的条件，且使b=2a成立的力值也不惟一（如丸=—1,2=1,2=2等均可使6=2a成立），故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下：解：（1）当e=0时，则a=-2e=0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与6共线.⑵当e^0时，则a=—2e^0,b=2e^0b=一a（这时满足定理中的aW0,及有且只有一个实数A（2=—1）,使得b=Aa成立）己与6共线.综合（1）、（2）可知，@与6共线.【课堂检测】TOC\o"1-5"\h\z.设Z，；是两个不共线向量，则a=e+Xe（keR）与b=-（e一2e）共线的条件是1 2 1 2 2 1，2.解：如图，已知AD=3AB,D=3BC.试判断AC与AE2.解：•uuuruuuuuuuuuruuuuruuuuuu \AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC \ \・・・AC与UE共线. '"■■■■->----k3.在nABC中，ab=匕BC=b，AD为边BC的中线，G为nABC的重心，则用a,b表示向量怒=解法一：②ab=b，bC=b 则BD=1BC=1b2 2□AD=AB+BD=b+1b而AG=2AD2 3

2P+1解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于□□AEFDDABC,AE2P+1解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于□□AEFDDABC,AE=2AB^2^ EF=2BC=21EG=13 3 3 3 2AGAG^AE~^EG^2£+1b3 3.在yABCD中，设对角线AC二b，bD寸试用b，?表示ab二E、FEF=1b3，BC二解法一：AO=OC=1b BO=1bD二12 2 2口ab=aO+ob=aO_bO=1£-1b2 2BC^bO+OC^oC+BO^1b+1b解二：设AB=x，BC^y则ab+bc=ac，即x^y^S；ad-ab=bd，即x—y=b口x=1(b-b), y=1(b+b)2 2即AB=1(£-b) BC=1(b+b)2 2.当送z时，验证：入(a+b)=xb+xb证：当九二o时，左边=o・（b+b）=0当九为正整数时，令gn,则有:=b+£+•••+b+b+b+b+…+卜。b+nb即九为正整数时，分配律成立右边=0咽+0喟=0分配律成立n（a+b）=（b+b）+（b+b）+.••+（b+b）当为负整数时，令X=-n（n为正整数），有-n(a+b)=n[-(a+b)]=n[(-b)+(-b)]=n(-b)+n(-b)=-ng+(-nb)=-n£-nb分配律仍成立综上所述，当九为整数时，/a+b）=x尹九b恒成立.6.设1,J是两个不共线向量，已知AB=2e+k/,CB1-3/，CD=2e.e,，1 2 12 12 12若三点A,B,。共线，求k的值.解：BD=CD-CB=（2e，e）-（e'+3e）=e-4e‘1 2 12 12

口A,B,口共线口Ab,BD共线口存在九使AB=BDTOC\o"1-5"\h\z即2*+ke=X（e，-4e） ②[26 Dk=-81 2 1 2 1k=-4九7.如图，MN是nABC的中位线，求证：MN=1BC,且MNnBC. /证明：②乂、N分别是AB、AC边上的中点，所以am=2AB，an/\=1AC，MN=AN—AM=1AC-1AB=1（AC-AB）=1BC- / \2 2 2 2 2 1r因此，NM=1BC且MNnBC.2【点评】向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.uuur示MA、uuurMB、uuuur

MCuuuurMD．解：uuuruuuruuuruuuruuurrr・AC=AB+BC=AB+AD=a+b，uuuruuuruuurrruuur示MA、uuurMB、uuuur

MCuuuurMD．解：uuuruuuruuuruuuruuurrr・AC=AB+BC=AB+AD=a+b，uuuruuuruuurrrDB=AB-AD=a-b，uuur1uuur 1rr・・MA=--AC=--(a+b)2< 211r1r=--a--b，2 2uuur1uuur1rruuuur1uuur1r1rMB=-DB=-(a-b)，MC=-AC=-a+-b，2 2 2 2 2uuuuruuur1r1rMD=-MB=--a+-b-2 2uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuurOA、 OB 不共线，AP=tAB(te R)，用OA、 OB 表示OP •9.如图，解：口AP=tAB，uuuruuuruuuruuuruuur口OP=OA+AP=OA+tABuuuruuuruuur uuuruuur=OA+1(OB-OA)=(1-1)OA+tOB•uuurrAD=e，2uuur表示DC、uuuruuuurBC、MN•解：（1）②DC<uuur1uuur1r1ruuurrAD=e，2uuur表示DC、uuuruuuurBC、MN•解：（1）②DC<uuur1uuur1r1r口DC=-AB=-e=e2 212(2)uuruuuuuruuuuumuxBC=AC-AB=AD+DC-ABr1rrr1r=e+e-e=e-e221 1 221（3）连接DN，则需二CB，uuuuruuuuruuuur1uuur uuur11rr1r1rr+—e=e-e*2141 211.已知在四边形abcd中，uuurruurAB1r1rr+—e=e-e*2141 211.已知在四边形abcd中，uuurruurAB=a+2b，uuurrruuurrrBC=—4ab，CD=—5a3b，求证：ABCD是梯形。证明：显然AB以CDuuuruuuruuuruuuruuuruuurAD=AC+CD=AB+BC+CDruuurrrrrrrrruuur=(a+2b)+(—4a—b)+(—5a—3b)=2(—4a—b)=2BCuuuruuur②ADPBC，又B点不在AD口ABCD是梯形。2*2*3向量的数乘（2课时）学海导航【预习要点】向量的数乘及其几何意义【预习要求】.掌握向量数乘的定义及其几何意义；.掌握向量数乘满足的运算律；.理解两个向量共线的条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.【知识网络】

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