备战2025年高考二轮复习数学专题突破练7

专题突破练(分值:82分)学生用书P151一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·广东韶关模拟)已知sinα=-35,且π<α<3π2,则tanαA.-45 B.-34 C.答案C解析由sinα=-35,π<α<3π2,得cosα=-1-sin2α=-45,所以2.(2024·浙江杭州期中)已知角α的终边经过点P(-1,3),则cos(π+αA.12 B.-12 C.14 D答案B解析由题可得,cos(π+α)cosπ2+α-cosα=-cosα-sinα-cosα=cosαsinα+cosα.已知角3.(2024·安徽黄山一模)已知sinαsinβ=15,cos(α-β)=35,则cos(α+β)=(A.-15 B.15 C.1825 D答案B解析因为sinαsinβ=15,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ+15=35,解得cosαcosβ=25,故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tanθ=()A.3 B.2 C.4 D.5答案A解析如图,设角α,β终边上的点分别为A,B,A(-1,2),B(2,2),则tanα=2-1=-2,tanβ=22=1.因为射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,所以α=β+θ,所以tanθ=tan(α-β)=tan故选A.5.(2024·河北沧州二模)化简cos20°-sin30°cos40A.1 B.3 C.2 D.2答案B解析由题得cos20=cos=sin60°sin40°sin40°cos60°=tan6.(2024·江西鹰潭一模)已知θ∈0,π2,tanθ+π4=-23tanA.-12 B.-35 C.3 D答案D解析因为tanθ+π4=-23tanθ,所以tanθ+11-tanθ=-23tanθ,整理可得2tan2θ-5tanθ-3=0.又θ∈0,π2,所以cosθ+π2cos2θ2sinθ+π4=-sinθ(cos7.(2024·江苏南通二模)若cosα,cosα-π6,cosα+π3成等比数列,则A.34 B.-36 C.13 D答案B解析由cosα,cosα-π6,cosα+π3成等比数列,得cos2α-即12[1+cos2α-π3]=cosα(12cosα-32sinα),则12+14cos2α+34sin2α=14+14cos2α-38.(2024·河南新乡二模)已知sin(130°+α)=2cos20°cosα,则tan(α+45°)=()A.-2+3 B.2-3C.2+3 D.-2-3答案A解析由题得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=12cos(α-20°)-32sin(α-2cos20°cosα=cos(α+20°)+cos(α-20°).因为sin(130°+α)=2cos20°cosα,所以12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(α+20°)+cos(α-20°),所以-12cos(α-20°)-32sin(α-20°)=cos(即cos[120°+(α-20°)]=cos(α+20°),即cos(100°+α)=cos(α+20°),所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tanα=tan(-60°+k·180°)=-3,k∈Z,所以tan(α+45°)=-3+11+3=3二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3,4),则()A.cos2θ=-725 B.tan2θ=-C.cosθ2=25答案ABD解析因为角θ的终边过点P(3,4),所以cosθ=332+42=35,sinθ=432+42=45,tanθ=43,所以cos2θ=2cos2θ-1=2×925-1因为2kπ<θ<2kπ+π2(k∈Z),所以kπ<θ2<kπ+π4(k∈Z),即角θ2的终边位于第一象限或第三象限,所以tanθ2>0,但cosθ2>0或cosθ2<由tanθ=2tanθ21-tan2θ2=43,得2tan2θ2+3tanθ2-2=0,解得tanθ2=-10.(2024·河北保定二模)一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义:①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα;②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα;③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作cscα,即1y=cscα④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作secα,即1x=secα下列结论正确的有()A.csc5π4B.cosα·secα=1C.函数f(x)=secx的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5答案ABD解析由题得,csc5π4=1sin5πcosα·secα=cosα·1cosα=1,故B函数f(x)=secx的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z},故C错误sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+1cos2α+1sin2α=当sin2α=±1时,等号成立,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.11.(2024·上海奉贤二模)已知α∈[0,π],且2cos2α-3cosα=5,则α=.

答案π解析已知2cos2α-3cosα=5,由倍角公式得4cos2α-3cosα-7=(4cosα-7)(cosα+1)=0.由α∈[0,π],cosα∈[-1,1],解得cosα=-1,则α=π.12.已知α,β∈0,π2,且sinα-sinβ=-12,cosα-cosβ=12,则tanα+tan答案8解析由题可知sinα-sinβ=-cosα+cosβ,所以sinα+cosα=sinβ+cosβ,所以2sinα+π4因为α,β∈0,所以α+π4∈π4,又α≠β,所以α+π4+β+π4=π,故α+β=所以sinα-sinβ=sinα-cosα=-12两边平方后得sin2α-2sinαcosα+cos2α=14故sinαcosα=38,则tanα+tanβ=tanα+113.(2024·河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cosα+cos2α+cos3α+cos4α=,cosαcos2αcos3α·cos4α=.

答案01解析由题可得,正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则正五边形的内角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每个角为540°5=108°.因为三角形是等腰三角形,底角是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=则cosα+cos2α+cos3α+cos4α=cos36°+cos72°+cos108°+cos144°=cos36°+cos72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)=cos36°+cos72°-cos72°-cos36°=0,cosαcos2αcos3αcos4α=cos36°cos72°cos108°cos144°=(cos36°cos72°)2.因为cos36°cos72°=2sin36°所以cosαcos2αcos3αcos4α=116四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.(15分)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sinβ,求tanβ的最大值.解因为α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sinβ,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cosα