第六章平面向量及其应用

第六”平直囱量及其座用

|DILIUZHANG/

6.1平面向量的概念

6.1.1向量的实际背景与概念

6.1.2向量的几何表示

6.1.3相等向量与共线向量

新课程标准新学法解读

1.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和

1通.过对力、速度、位移等物理量的分析，了大小是向量的两个要素，这一点必须注意.

解平面向量的实际背景.2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意书

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.写规范，等长且同向的有向线段表示同一个

3.了解平面向量共线和向量相等的含义.向量.

3注.意向量共线与线段共线的不同.

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［思考发现］

1.有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C质量、路程、功只有大小，没有方向不是向量，而速度、力、加速度均是

既有大小又有方向的物理量.故选C.

2.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是（）

a

MN

A.也可以用MN表示

B.方向是由M指向N

C.起点是M

D.终点是M

解析：选D由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确.故选D.3.下列说法正确

的个数为（）

①零向量没有方向；

②向量的模一定是正数；

③与非零向量a共线的单位向量是唯一的.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选A①错误.零向量有方向，它的方向是任意的；②错误.|0|=0:③错误.与

非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向.故选A.

4.设。为△ABC外接圆的圆心，则而，B0,。3是（）

A.相等向量B.平行向量

C.模相等的向量D.起点相同的向量

解析：选C根据圆的性质可知/万，~BOt丘5是模相等的向量.故选C.

5.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量A8是平行向量，与BC是共线向量,

贝Im=.

解析：因为A,B,C三点不共线，所以左与正不共线，又因为m〃/万且m〃铤，

所以m=0.

答案：0

［系统归纳］

1.对向量概念的认识

向量是既有大小又有方向的一种量,因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑

数量的大小，又要考虑方向的影响.

2.有向线段与向量的区别和联系

从定义上看，向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要

区别素.因此,这是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段,而向量是可以

自由平移的

有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每•条有向线段对应着•个

联系

向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段

3.关注两个“特殊”向量

定义中的零向零和单位向晟都是火限制大小,没有确定方向，我们规定零向量的方向是

任意的;单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.

4.对相等向量与共线向量的理解

⑴理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重

合的情况，而平行向量是可以重合的.

（2）共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义•实际

上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相

反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向

量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.

⑶向量相等具有传递性,即@=卜b=c,则@=仁而向量的平彳亍不具有传递性,说a"

b,b〃c,未必有a〃c.因为零向量平行于任意向量.

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□xa向量的有关概念

［例1］下列说法中正确的有（）

①单位向量的长度大于零向量的长度；

②零向量与任一单位向量平行；

③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；

④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；

⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量.

A.①②B.①②④

C.①®@D.①②③

［解析］①正确，因为单位向量的长度为1,零向量的长度为0.②正确.③错误，平行

向量所在的直线可能不共线.④错误，平行向量的平行关系不具有传递性.⑤错误，平行向

量不一定是相等向量.

［答案］A

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：

共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；

相等向量的核心是方向相同且长度相等；

单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；

零向量的核心是方向没有限制，长度是0;

规定零向量与任一向量平行.

只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.

I变式训练］

下列说法正确的是()

A.若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行

B.共线向量一定在同一直线上

C.若则a>b

D.单位向量的长度为1

解析：选DA中，因为零向量与任意向量平行，若b=0,则a与c不一定平行.B中，

共线向量不一定在同一直线上.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小.显

然D正确.故选D.

nrrai向量的表示

［例2］(1)如图，B,C是线段A。的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写

出个向量.

ABCD

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用宜尺和圆规画出下列向量:

①。4〉,使I&TFWL点力在点O北偏东45。；

②7万，使|商|=4,点8在点4正东；

③就，使|B|=6,点C在点4北偏东30。.

［解析］(1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是万，~AC,~AD,

~BC,~BDt~CD,~BA,~CAt~DA,~CB,~DBt~DC.

(2)①由于点A在点O北偏东45。处，所以在坐标纸上点A距点。的横向小方格数与纵向

小方格数相等.又|04|=4、R,小方格边长为1,所以点A距点0的横向小方格数与纵向小

方格数都为4,于是点A位置可以确定，画出向量次如图所示.

②由于点B在点A正东方向处，且|AB1=4,所以在坐标纸上点B距点4的横向小方格

数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示.

③由于点。在点8北偏东30。处，且|隹|=6,依据勾股定理可得：在坐标纸上点。距

点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3小y5.2,于是点C位置可以确定，画出向量铤

如图所示.

［答案］(1)12(2)图见解析

CXD©©

向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量

的终点.

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a,b,c表示，为了联系平面几何中的图形性质，

可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如71,F,后等.

［变式训练］

在如图的方格纸上，已知向量a,每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a；

(2)在图中画一个以4为起点的向量c,使期=小，并说出向量c的终点的轨迹是什么.

解：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等.如图中的b即为所

作向量.

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为小的圆(作

图略).

相等向量与共线向量

［例3］如图所示，。是正六边形ABCDE尸的中心，且/=a,

=b,OC=c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a,b,c相等的向量.

［解］⑴与a的长度相等、方向相反的向量有7)方，BC,~AOf~FE.

(2)与a共线的向量有后，^C,Z万，~FE,3,D6,~AOf万T,ILD.

(3)与a相等的向量有EF"DOtCB>;与b相等的向量有£>/.EOf杼C;与c相

等的向量有下方，~EDt~AB.

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反

向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已

知向量方向相同的向量.

［变式训练］

1.［变设问］本例条件不变，试写出与向量正相等的向量.

解：与向量相等的向量有为方，~AO,~FE.

2.［变条件，变设问］在本例中，若间=1,则正六边形的边长如何？

解：由正六边形性质知，△尸04为等边三角形，所以边长A/=|a|=L

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A级——学考合格性考试达标练

1.下列说法中正确的个数是()

①身高是一个向量；②/A08的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度

是向量；④物理学中的加速度是向量.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，ZAOB

的两条边只有方向，没有大小，不是向量：④是向量.故选B.

2.下列说法正确的是（）

A.若|a|=|b|,则a=±b

B.零向量的长度是0

C.长度相等的向量叫相等向量

D.共线向量是在同一条直线上的向量

解析：选B对A,当|a|=|b|时，由于a,b方向是任意的，a=±b未必成立，所以A错

误；对B,零向量的长度是0,正确；对C,长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；

对D,共线向量不一定在同一条直线上，故D错误.故选B.

3.汽车以120km/h的速度向西走了2h,摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h,

则下列命题中正确的是（）

A.汽车的速度大于摩托车的谏度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

解析：选C速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为

240km,摩托车走的路程为90km,故C正确.故选C.

4.如图，在矩形4BCO中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）

A.7r和瓦

C.不？和铤D./和/A1------------------'B

解析：选B万/和「48》方向相同且长度相等，是相等向量，故可以用同一条有向线段

表示.故选B.

5.若|京|=|而|且右＞=~CD,则四边形4BC。的形状为（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：选C'：~BA=~CD,，四边形A6C。为平行四边形.又万|=|7K|,

・•・平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形.故选C.

6.下列叙述：

（1）单位向量都相等；

（2）若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定；

（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；

(4)方向不同的两个向量一定不平行.

其中正确的有.(填所有正确的序号)

解析：(1)错误.单位向量模恭相等，但是方向不一定相同.

(2)正确.若一个向量的模为0,则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的.

(3)错误.共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同.

(4)错误.方向相反的两个向量一定平行.

答案：Q)

7.若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：

(l)|a|>|b|；(2)a〃b；(3)|a|>0；(4)|b|=±l；

(5)若刖是与a同向的单位向量，则ao=b.

其中正确的是.(填序号)

解析：对(1),不一定有|a|>|b|;对(2),a与b方向不一定相同或相反：对⑶,非零向量

的模必大于0,即|a|>0;对(4),向量的模非负；对(5),刖与b方向不一定相同.综上可知(3)

正确.

答案：(3)

8.已知|命|=1,|工？|=2,若NA5C=90。，则尸.

解析：由勾股定理可知，BC=7AC2-AB?=小,所以|记|=小.

答案：小

9.如图是4X3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终R

点都在小方格的顶点处的向量中，与向量右平行且模为明的向量目4~~~~

共有几个？与向量右方向相同且模为外△的向量共有几个？Ar~

解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对

应的向量及其相反向量都和二方平行且模为6.

因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个.

(2)易知与向量H方向相同且模为3出的向量共有2个.

10.已知四边形A8CO中，且|商|=|宾tan£>=、e，判断四边形ABC。

的形状.

解：•・,在四边形48CO中，~\B=~DC,

:.四边形ABCD是平行四边形.

VtanD=V3,<8=0=60。.

=.••△48C是等边三角形.

：.AB=BC,J四边形ABCD是菱形.

B级——面向全国卷高考高分练

1.已知在平面内点。固定，且|画|=2,则A点构成的图形是（）

A.一个点B.一条直线

C.一个圆D.不能确定

解析：选C由于|万屋|=2,所以A点构成一个以。为圆心，半径为2的圆.故选C.

A

2.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则丝与1的值为（）

\AD\

A.£B.；

C.ID.2

解析：选C因为四边形A6PC是平行四边形，。为对角线8c与AP的交点，所以力

>

为外的中点，所以If0।的值为1.故选C.

\AD\

3.［多选］如图，在菱形ABC。中，ND48=120。，则以下说法正确的是（）

A.与相等的向量只有一个（不含AB）

B.与^万的模相等的向量有9个（不含封）

C.前的模恰好为由的模的小倍

D.W济与~5彳不共线

解析：选ABC与AB相等的向量只有DC,A正确；由已知条件

可得|又才|=|后|=|2r|=|商|=|73|=|画|=|虎『P?万尸|前|

=1^40|,B正确；如图，过点8隹£）4的垂线交D4的延长线于瓦固为

ND48=120°,四边形A5c。为菱形，所以N8QE=NABE=30°,在RtZkBEO中，|£>8|=

r5rl,在RtZkAEB中，|西|=；|商|=,而I,所以|"5万|==小|DA|,C正确;

cos30°

2

宿与次方向相同，大小相等，故7咨=历>,言与'5T共线，D错误.故选A、B、

C.

4.给出下列命题：①若|a|=0,则a=0；②若|a|=|b|,则a=b；③若a〃b,则|a|=|b|.

其中，正确的命题有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选A①忽略了0与0的区别，a=0:②混淆了两个向量的模相等和与两个向量

相等的概念，|a|=|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可

以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等.故选A.

5.四边形A38满足於=下落且|3|=|同|,则四边形力5c。是______(填四

边形ABCO的形状).

解析：9：~AD=~BC,J.AD//BC|=|~«C|,二四边形A8CO是平行四边形.

又|AC|=|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形.

答案：矩形

6.如图所示，每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量，在这6个向量中:

(1)有两个向量的模相等，这两个向量是，它们的模都等

于.

(2)存在着共线向量，这些共线的向量是，它们的模的和

等于.

解析：结合图形可知，(i)ikFi=i仄Ei=J而.

(2)次？与诉共线，I万Zf|=2吸，I/|=3啦，故|衣T|+|诉|=5啦.

答案：(1)方Z,~AE遮(2)-DG,~HF5^2

7.如图，D,E,尸分别是正三角形A8C各边的中点.八/I

(1)写出图中所系与向量"5日长度相等的向量；nZ\ir

(2)写出图中所示与向量窃相等的向量；/\/\

BEC

(3)分别写出图中所示向量与向量力广，FfT共线的向量.

解：(1)与无长度相等的向量是后，~TD,才，-FC,~BD,-5Z,~CE,~EB.

(2)与FD相等的向量是CE,EB.

(3)与石紊共线的向量是次,~AFt~FC\与同共线的向量是百，年，~CB.

C级——拓展探索性题目应用练

在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点0,并求终点的坐标.

(l)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60。，与)，轴正方向的夹角为30。；

（2）|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30。,与y轴正方向的夹角为120。；

（3）|a|=4、”，a的方向与x轴正方向、），轴正方向的夹角都是135。.

解：如图所示.

6.2平面向量的运算

6.2.1向量的加法运算

新课程标准新学法解读

向量的加法运算可类比实数的加法运算，以

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面

位移合成、力的合成两个物理模型为背景引

向量加法运算，理解其几何意义.

入来理解.

共同基础•系统落实课前自主学习，基稳才能楼高

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［思考发现］

1.在△A8C中，=a,~Jc=b,则a+b等于（）

ATCAB.^BC

C^ABD^AC

解析：选DAB>+8}=4}.故选D.

2.下列等式中不正确的是（）

A.a+0=aB.a-l-b=b+a

C.|a+b|=|a|+|b|D.^AC=~DC+~~BD

解析：选C当a与b方向不同时，|a+b|#|a|+|b|.故选C.

3.已知正方形48co的边长等于1,则等于（）

A.IB.2小

C.3D.R

解析：选B原式=2|3|=26.故选B.

^TAB+~BC+~CD=.

解析：AB+CD=7c+^CD=~AD.

答案：AD

5.在矩形ABCD中，AB+AD=.

解析：根据向量加法的平行醺边形法则知，~AB^~AD=~AC.

答案："AC

［系统归纳］

1.对向量加法的三角形法则的两点说明

(1)适用范围：任意向量.

(2)注意事项：

①两个向量一定首尾直连;

②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点:

③当多个向量相加时,可以使用三角形法则•

2.对向量加法的平行四边形法则的三点说明

(1)适用范围：任意两个非零向量,且不共线.

(2)注意事项：

①两个非零向零一定要有相同的始点;

②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；

③方法与步骤：

第一步：先把两个已知向量a与b的始点平移到同一点;

第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形.

3.向量加法交换律的运用

向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任

意的组合去进行.

关键能力-重点培优课堂讲练设计，举一能通类题

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求作向量的和

［例1］(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a+b；

(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.

［解］⑴如图a所示，设。4=a,Va与b有公共点A,故过4点作AB=b,连接OB

即为a+b.

⑵如图b,设OA=a,过O点、作OB=b,则以04,OB为邻边作。O4C8,连接OC,

则碇=0A+~0B=a+b.

应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题

(I)三角形法则可以推广到〃个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即〃个首尾相连的

向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第〃个向量的终点的向量.

(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合.

(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单.

［变式训练］

如图所不，已知向量a,b,c不共线，作向量a+b+c.\X/C

解:法一(三角形法则)：如图(1),在平面内作7l=b,则

OB=a+b：再作BC=c,则0C=a+b+c.

图(1)四(2)

法二(平行四边形法则)：如图⑵，在平面内作0B>=b,以04与08为邻边

作平行四边形Q4OB,则OD=a+b；再作0C=c,以0。与0C为邻边作平行四边形0DEC,

则OE=a+b+c.

rrret向量加法及运算律的应用

［例2］化简：(1)(7万+-。1)+(谴+万昌；

(2)78*+/+方+BC+启.

［解］（1）法一：（N亍+-5?）+（司+/）=（左+铤）+（司+/）=3+

CB=AB.

法二：（常+~DB）+（CD~^~BC）=~AB-\~CBC+-CD+万？）=/万+0='.

（2fAB+^57+-CD-\-~BC-~FA=（AB+）5）+（司+/+后）=*+/

=0.

CXD©@

向量加法运算的几个注意点

（1）解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字

母排列顺序，特别注意勿将。写成0.

（2）运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第

一个向量的起点指向最后一个向量的终点.

［变式训练］

1.在平行四边形A8CO中，商+a+而等于（）

A.ABB.BA

C.~BCDTCD

解析：选D原式=/+灰+万万=7日.故选D.

2.如图，在正六边形A8CD"中，。是其中心.

则：①二济+,=；

©AB+~AF-\-~BC=；

@OC+~OD-\-~EF=.

解析：①常+,=常+谒=而.

②71+7万+BC=1。＞+BC=AOOD=~AD.

③碇+~OD-\-~EF=~OC-V~OD+~OA=~OC.

答案：①1万②育③出？

mH向量加法的实际应用

［例3］一架执行任务的飞机从4地按北偏西30。的方向飞行300km后到达B地，然后

向。地飞行，已知。地在A地东偏北30。的方向处，且A,C两地相距300km,求飞机从8

地到C地飞行的方向及B,C间的距离.

［解］如图所示，~BC=~BAA-~AC,NBAC=90。，\~^B\=\~AC\

=300km,所以|"^|=30丽km.

又因为NABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C

地在8地的东偏南15。的方向处.

故飞机从3地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300&km.

CID©0

利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

［变式训练］

1.若a表示“向东走8km”,b表示"向北走8km"，则|a+b|=,a+b的方

向是.

解析：如图所示，设AB*=a,BC=b,则4d=a+b,且△ABCc

为等腰直角三角形，则|京|=8/km,ZBAC=45°.

答案：8也km北偏东45。

2.某人在静水中游泳，速度为46km/h,如要他向垂直于河对

岸的方向游向河对岸，水的流速为4km/h,他实际沿_______方向前进，速度为.

0

OA

解析：・；O8=4S，04=4,・・.OC=8,・・・/。。4=60。.即他实标沿与水流方向成60。的

方向前进，速度为8km/h.

答案：与水流方向成60。的（答案不唯一）8km/h

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A级——学考合格性考试达标练

1.在四边形ABC。中，ABAD=AC,则四边形48co是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四边形

解析：选D由平行四边形法则可得，四边形48CO是以为邻边的平行四边形.故

选D.

2.已知a,b»c是非零向量，则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b

+a）中，与向量a+b+c相等的向量的个数为（）

A.5B.4

C.3D.2

解析：选A向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a+b+c.故选A.

3.向量（谒+标）+（访+束）+丽=（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

解析:选cCAB+~MB)+CBO+~BC)+~OM=CABVBO)4-(7TB4--«C)4-OW=

1方+证+说=（1万+拓川+怖=拓7+77?=*.故选c.

4.如图，正六边形48CDE尸中，~BA~^~CD+~FE={）

A.0B.BE

C^ADD."CF

解析：选B连接BE,取BE中点O,连接OF,BF：：~CD=

~AFt则右”+,+庶=（%>+工万）+予才=2区故选B.

5.己知向量3〃1）,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向（）

A.与向量a的方向相同

B.与向量a的方向相反

C.与向量b的方向相同

D.不确定

解析：选A若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；若它们

的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同.故选A.

6.如图所示，四边形4BCD是梯形，AD//BC,则-01+BC+

AB=,

解析：~0A-\-~BC=~0A-\-~BC=~0C.

答案：~oc

7.在菱形A5CO中，ZDA8=60。，|A8"|=1,则十万.

解析：如图，|BC+DC|=|ACI,在RlZkAOB中，AB=1,NOAB

=30°,AC=2AO=2ABcos30o=-73.

答案：小

8.若|a|=|b|=2,则|a+b|的取值范围为.,当|a+b|取得最大值时，向量ab的方

向

解析：由||a|一|b||W|a+b|W|a|+|b|知0W|a+b|W4,当|a+b|取得最大值时，向量a,b的

方向相同.

答案：［0,4］相同

9.如图所示，求:

(l)a+d：(2)c+b：⑶e+c+b：

(4)c+f+b.

解：(l)a+d=d+a=DO+OA=DA;

(2)c+b=CO+OB=CB;

(3)e+c+b=e+(c+b)=e+~CB=~DC+~CB=~DB;

(4)c4-f+b=-CO+~OB+~BA=~CA.

10.如图，点D,E,尸分别为AABC的三边AB,BC,C4的中点.求

证:

(1)^4^+~BE=~AC+~CE；

(2)EA+~FBA-DC=0.

证明：(1)由向量加法的三角形法则,

+~BE=~AE,~AC-¥~CE=^E,

：.~AB+~BE=~AC+"CE.

(2)由向量加法的平行四边形法则,

•：~EA=~EF-\-~ED,~FB=~FE~^-~FDf~DC=~DF-\-~DEf

:.EA+FB+DC=EF+ED+FE+FD+DF+DE

=(EF4--F^)+(^D+方)+(同+-5F)

=0+04-0=0.

B级——面向全国卷高考高分练

1.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()

X^OHB.~d1

C.FOD.EO

解析：选C/+&=万万.故选C.

2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点尸满足加>+¥/=隹，则下列结

论中正确的是()

A.尸在△ABC的内部

B.P在△ABC的边A8上

C.P在A3边所在的直线上

D.P在△4BC的外部

解析：选D~PA+~PB=~PCt根据平行四边形法则，如图，町点六，二

P在△ABC外.故选D.

3.若在△ABC中，~7^B=a,~BC=b,且间=|b|=1,|a+b|=，5,则△ABC的形状是()

A.正三角形B.锐角三角形

C.斜三角形D.等腰直角三角形

解析：选D由于二才=|a|=l,|-5C|=|b|=l,|I}|=|a+bl=YE,所以△ABC为等腰

直角三角形.故选D.

4.已知万1=10,|京1=7,则|次|的取值范围是()

A.[3,1刀B.(3,17)

C.(3,10)D.[3,10]

解析：选A利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及7万与黄

共线时的情况求解.即[48>|一「4?必|BC>|W「AC>|+|AB*|,故3W|8C>|W17.故选A.

5.在菱形ABC。中，NZM8=60。，向量|西|=1,M|-BC+_CD|=.

解析：在△ABO中，AD=AB=\fNOA8=60。，ZkABC是等边三角形，则BO=1,则

\BC-\-~CD\=\BD\=\.

答案：1

6.如图，已知电线A0与天花板的夹角为60。，电线AO所受拉力A

|Fi|=24N.绳8。与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12N,则F】与F2的合

力大小为，方向为.

解析：以7江，0万为邻边作平行四边形BOAC,则FI+F2=F,

+08=OC,则ZOAC=60°,|OA|=24,

1^1=1^51=12,，NACO=90。，.,.1-OC|=12V3.

，Fi与F2的合力大小为12小N,方向为竖直向上.

答案：125N竖直向上

7.如图所示，ZAOB=ZBOC=\2Q0,\OA\=rOB\=\OC\^求百

+OB+~OC.

解：如图所示，以OA,。8为邻边作平行四边形0AQ8,由向量加

法的平行四边形法则知

OA+OB=OD.

由|画|=|西NAO8=12。。，

知/8。。=60。，|七8»|=|。匹.

又NCOB=120。，3AOB\=\OC\.

：.7)D+~OC=0,故为了+茜+万不=0.

C级——拓展探索性题目应用练

如图，已知向量a,b,c,d.

(1)求作a+b+c+d.

(2)设|a|=2,e为单位向量，试探索|a+e|的最大值.

解：(1)在平面内任取一点O,作Q4=a,AB=b,BC=c,CD

=d,则OD=a+b+c+d.

(2)在平面内任取一点O,

作OA=a,AB=e,

则a+e=-5Z+至万=~OBt

因为e为单位向量，

所以点8在以A为圆心的单位圆上（如图所示）,

由图可知当点B在点Bi时，印O,A,8i三点共线时,

|a+e|最大，最大值是3.

6.2.2向量的减法运算

新课程标准新学法解读

向量的减法运算是通过类比实数的减法运算

借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面

来引入的，可依物理上力的分解为背景来理

向量减法运算，理解其几何意义.

解把握.

共同基础•系统落实课前自主学习，基稳才能楼高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考发现］

1.下列等式：

®0_a=_a：②一（-a）=a：③a+（—a）=0；®a_0=a；⑤a—b=a+（—b）；⑥a+（一

a）=0.

正确的个数是（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：选C根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确.⑥错误.故选C.

2.在△ABC中，若石「=a,~BC=b,则ZT=（）

A.aB.a+b

C.b—aD.a-b

解析：选D~CA=BA-BC=a-b.故选D.

3.化简历7一再T+而所得的结果是（）

A.和B.初

C.0D.MN

解析：选C前一丽+丽=丽+丽=0.故选c.

4.在平行四边形A8CD中，^BC~^CD-\-~BA)

ATBCB.^AD

C^ABD^AC

解析：选A在平行四边形ABCD中，下｝=ADt所以—4/+BA=AD-CD

+~BA=~BA+~AD-~CD=~BD-~CD='^?.故选A.

5.在四边形A3c。中，若方=而3，且|西十潮|=|西一而I，则四边形A4C。

的形状是()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

解析：选B如图，*：~AB=~DC,D_______

・•・四边形A4CQ为平行四边形.

-->>----->----->>>-------------HP/?

ABAD=ACfAB-AD=DB."

由已知|AB'+"4万|=-AD|.

：.\AC\=\DBt

又;对角线相等的平行四边形为矩形.故选B.

［系统归纳］

1.对于相反向量的两点说明

(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平

行向