数列求和公开课教案

《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：(1)诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；(2)讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。(2)过程与方法：①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

四、教学过程:教学步骤教学活动设计意图一、复习引入（一）巩固:求下列」数列的前n项和：学生练习，教师提问(1、1+2+3+...+n=充分发挥学生\1/学习的能动性，1「1、「1、(2)—+(—)2+…+(—)n=以学生为主体，2 2 2展开课堂教学(3)sin21+sin2。+…+sin289。=教师提问，学生回答」1c1「1 / 1、(4)1—+2—+3—+ +(n+—)—2 4 8 2n1 1 1 1(5) + + +…+ —1义22义33义4 n义(n+1)(6)1义2+2*22+3*23+…+n•2n— （二）总结数列求和的常用方法1、公式法n(a+a) n(n-1),等差数列前n项和Sn 1--n—na+ d2 1 2na,q—1等比数列前n项和Sn=\a(1-qn) a一aq-1- ― ,q丰1通过学生对几11-q 1-q种常见的求和2、倒序相加法：方法的归纳、总3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.结4、裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，,简单回忆各方相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.法的应用背景.常见的拆项公式把遗忘的知识小—1 1,点形成了一个)nn+1nn+1；完整的知识体1 "_L_1)系(2)(2n-1)(2n+1) -2^2n-12n+□；(3)Vn+布 N尿5、错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

二、例题选讲：例1、(2013•新课标I高考文科・T17)已知等差数列｛a｝的前n项和s满足s=0,s=5n n 3 5⑴求｛a｝的通项公式 ；n…一， 1 ，，、，一(2)求数列1」｛ ｝的前n项和aa2n-12n+1, ,s=0s=5, 【解题指南】(I)利用S30，S55求出等差数列的首项aaatje0=a+(n—1)d..｛a｝,,、上七八，、,及公差，利用n1' '求出In'的通项公式；l1l学生思考，讨论后，教师重点讲解对通项的处理，以及消去的项和留下的项的处理教师小结:1、注意点：使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.2、常见的拆项公式⑴Jn+J；(2) 1 2n—12n+111―-JL_^2k2n—12n+1J；⑶Vn+[n+k k( [n+k —诉. =1nn+kk学生练习、讨论，教师提问、引导综合应用所学知识，求出通项，能由通项特点选择方法(II)将(I)中的通项公式，代入到Ia2n-1a2n+1^中，利用裂项相消法求前n项和.【解析】(I)设数列｛\｝的公差为d,则n(n-1)S=na+ dn 1 2.ar/、. ,一/」3a+3d=0 .R/曰「a=1解(1)由已知可得'1 一解得〈1[5a1+10d=-5 1d=-1故a-2-nn( 2 ) 由 ( 1 ) 知1 1 1/11、 - ——( - )主要是复习裂项法的基本操作aa (3-2n)(1-2n)22n-3 2n-12n-12n+1 ,设数歹列1—1—1的前n项和TIaa1 n22n-12n+1)1 11 111 1 1、nT——(———+———+,,,+ - )- n2-1113 2n-3 2n-1 1-2n例2、(2016•北京卷)^a｝ r〃[一… …已知n是等差数列，｛b｝是等比数列，且nb=3,b=9,a=b,a—b2 3 1 1 14 4

⑴求数列｛a｝,｛b｝的通项公式nn(⑴求数列｛a｝,｛b｝的通项公式nn(2)设c=a+b,求数列｛c｝的前n项和nnn nb 一一一解：由｛b｝是等比数列知q=一■=3,b=1,所以b=3n-1n b 1 n2｛a｝是等差数列，a=b=1,a=b=33=27,n 1 1 14 4多媒体显示题目学生先独立思考，后讨论，最后教师由学生的回答概括出各种解法。,a-a

d=-^4114-127-1 =2,a=1+(n-1)x2=2n-113n(2)c=a+b=(1+3+5+ + 2n-1)+(1+3+9+ + 3n-1)nnnn[1+(2n-1)] 1-3n3n-1= + =n2+ 2 1-3 2(机动题)例3、(2012•浙江高考文科改编・119)已知数列n+n2 ,｛a｝的前n项和为s，且s= ,n£N*,数列ij｛b ｝n nn2 n教师小结:分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.通过例题题，让学生能分析和式的特点，灵活选择合适的方法一分组求和。巩固所学方法满足b=2n-1,n£N*.n(1)求an(2)求数列｛a•b｝的前n项和T.nn naS」 .【解题提示】(1)利用n'Sn的关系求解，(2)数列｛an-bn｝的通项符合等差与等比数列乘积的形式，故可用错位相减法求出.【解析】(1)当n=1时，°1=$1=1；n2+n(n-1)2+(n-1)n>2时，a=S—S= - =n当 nn n-1 2 2故数列"I的通项公式为"n'n(2)T=1x1+2x2+3x22+4x23+ + (n-1)-2n-2+n-2n-1(1)n2T=0+1x2+2x22+3x23+ + (n-1)-2n-1+n-2n(2)n⑴-⑵得-T=1+2+22+23+ + 2n-1-n•2nn

T1—2n c—T= -n-2nn1—2T=1—2n+n•2n=1+(n—1)•2nn通过教师点拨，学生自主完成。让学生从具体实例中发现结论。符合学生认识规律,并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。三、小结1、分组求和：若a=b+c+d苴中{b},{c},{d）均为可求和数列则若nnnn,苴中nnn上均，为可J求£和数7列，则U可分别求和后再合并；2、裂项法求和的几个注意点：项数与系数3、求和思想——转化与化归思想数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法，把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式，达到求和的目的.教师引导学生小结启发、引导学生归纳总结,一方面了