北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=62．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）A． B． C． D．3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B． C． D．4．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．5．根据表格对应值：x1.11.21.31.4ax2+bx+c-0.590.842.293.76判断关于x的方程ax2+bx+c=3的一个解x的范围是()A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3 C．1.3<x<1.4 D．无法判定6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A．（4，4） B．（3，3） C．（3，1） D．（4，1）7．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程B．若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程D．若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则下列说法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④=2+，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．8与2的比例中项是_____________．10．柳州市为了扩大绿化面积，进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同条件下某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是_____．（结果用小数表示，精确到0.1）移栽棵数100100010000成活棵数89910900811．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为菱形，这个条件可以是_____．（写出一种情况即可）12．某商厦10月份的营业额为50万元，第四季度的营业额为182万元，若设后两个月平均营业额的增长率为x，则由题意可得方程：_____．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为________.14．下面是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第n个“上”字需用_____枚棋子．三、解答题15．已知：如图∠α和线段a．求作：菱形ABCD，使∠BAD=∠α，较长对角线AC等于线段a．16．解方程：（1）x（x﹣1）=3﹣3x（2）2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）17．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0的两个不相等实根中有一个是0．（1）请求出m的值；（2）是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的两个实根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．18．现有两个纸箱,每个纸箱内各装有4个材质、大小都相同的乒乓球,其中一个纸箱内4个小球上分别写有1、2、3、4这4个数，另一个纸箱内4个小球上分别写有5、6、7、8这4个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个纸箱中各随机摸出一个小球，然后把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得1分，若得到积是3的倍数，则乙得2分.完成一次游戏后,将球分别放回各自的纸箱,摇匀后进行下一次游戏,最后得分高者胜出.．(1)请你通过列表(或树状图)分别计算乘积是2的倍数和3的倍数的概率;(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?若你认为不公平,请你修改得分规则,使游戏对双方公平.19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周长20．如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．22．我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？23．阅读材料，用配方法求最值．已知a，b为非负实数，∵a+b﹣2=（）2+（）2﹣2=（﹣）2≥0，∴a+b≥2，当且仅当“a=b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x++1的最小值；解：y=（x+）+1＞2=3，当x=，即x=1时，y的最小值为3．（1）探究：当x＞0时，求y=的最小值；（2）问题解决：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：年数n）？最少年平均费用为多少万元？24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．(1)求证：△PBM∽△QNM．(2)若∠ABC＝60°，AB＝4cm，①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．参考答案与详解1．D【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．【详解】x2-5x-6=0（x-6）（x+1）=0x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．2．C【详解】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=，故选C．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．D【详解】解：连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90∘,ABCD，AD=BC=3，∴∠FCO=∠EAO，在△OCF与△OAE中，∴△OEA≌△OFC(AAS)，∴AO=CO，故选D.4．B【解析】∵DE∥BC，∴==2，∴CE：CA=1：3，==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故选B．5．C【分析】利用表中数据得到x=1.3和x=1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3<x<1.4时，代数式ax2+bx+c的值为0．【详解】解：当x=1.3时,ax2+bx+c=2.29，当x=1.4时,ax2+bx+c=3.76，所以方程的解的范围为1.3<x<1.4.故选C.【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化.6．A【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．7．B【解析】【分析】通过解一元方程可对A进行判断；先解方程得到x1=3，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用3m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断．【详解】解：A.解方程−4x+3=0得x1=1,x2=3，所以A选项的说法正确；B.解方程得x1=3,x2=-,当−=3×3,则9m+n=0;当−=×3，则m+n=0，所以B选项的说法错误；C.解方程得x1=3,x2=−,而m+n=0,则x2=1，所以C选项的说法正确；D.解方程得x1=−m,x2=n,而3m+n=0,即n=−3m,所以x1=3x2，所以D选项的说法正确.故选B.【点睛】本题主要考查根与系数的关系,一元二次方程的解，熟悉掌握是关键.8．D【解析】【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定，可以证明①②正确，作FH⊥BC于H，设FH=CH=a，则BH=a，利用勾股定理求出a，即可判断③④正确；【详解】∵四边形ABCD是正方形，△AEB是等边三角形，∴AD=AE=AB=BE=BC,∠DAB=∠CBA=90°,∠EAB=∠EBA=60°，∴∠DAE=∠EBC=30°，∴△ADE≌△BCE，故①正确，∵∠BEC=∠BCE=(180°−30°)=75°,∠ACB=45°，∴∠ACE=∠BCE−∠ACB=30°，故②正确，作FH⊥BC于H,设FH=CH=a,则BH=3，∵BC=4，∴a+a=4，∴a=2−2，∴CF=a=2−2，∵AC=4，∴AF=AC=CF=6−2，∴AF=CF，故③正确，∵BF=2FH=4−4，∴EF=BE−BF=8−4，∴S△BCES△ECF==2+，故④正确，故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟悉掌握是关键.9．4或﹣4【分析】先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：设8与2的比例中项是x，可得：8：x=x：2，解得：x=4或﹣4，故答案为：4或﹣4【点睛】本题主要考查了比例线段问题，关键是利用比例中项和比例的基本性质解答．10．0.9【解析】【分析】成活的总棵树除以移栽的总棵树即为所求的概率.【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为.

故答案为:0.9.【点睛】本题主要考查概率知识点，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.11．AC⊥BD（答案不唯一）【分析】依据菱形的判定定理进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形．故答案为AC⊥BD(答案不唯一).【点睛】本题主要考查菱形的判定，平行四边形的性质，熟悉掌握菱形判定条件是关键.12．50（1+x）2+50（1+x）+50=182【解析】根据题意可得十一月份的营业额为50（1+x）万元，十二月份的营业额为50（1+x）（1+x）万元，第四季度的营业额为50+50（1+x）+50（1+x）2，因此可得到方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=182.故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2.13．5【解析】【分析】由翻折的性质可以知道,由矩形的性质可以知道:,从而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的长.【详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC.

四边形ABCD是矩形,

在和中,

,

,

;

设BF=x,则DF=x,AF=8-x,

在中,可得:,即,

计算得出:x=5,

故BF的长为5.

因此，本题正确答案是:5【点睛】本题考查了折叠的性质折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理,矩形的性质.14．4n+2【解析】∵第1个有：6=4×1+2；第2个有：10=4×2+2；第3个有：14=4×3+2；……∴第1个有：4n+2；故答案为4n+215．见解析【解析】【分析】首先找出∠BAD的平分线，进而利用直角三角尺将a线段移到角平分线上，最后进行点与点连接.【详解】解：如图所示：．【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，角平分线的性质，关键在于对角线AC找对.16．（1）x1=1，x2=﹣3；（2），．【解析】【分析】（1）移项然后根据因式分解法可以解答本题；（2）利用配方法可以解答本题．【详解】（1）x（x﹣1）=3﹣3xx（x﹣1）=3（1﹣x）x（x﹣1）+3（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0∴x﹣1=0或x+3=0，解得，x1=1，x2=﹣3；（2）2x2﹣4x﹣1=02x2﹣4x=12（x2﹣2x）=1（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1）=+1∴x﹣1=∴，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法，灵活运用方程解法是关键.17．（1）m的值为3；（2）存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的两个实根x1，x2之差的绝对值为1．【解析】【分析】（1）先根据△的意义得到m＞-1，再把x=0代入方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0得m2-2m-3=0，解得m1=3，m2=-1，即可得到满足条件的m的值；

（2）把m=3代入方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0得x2-（k-3）x-k+4=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=k-3，x1x2=-k+4，然后由|x1-x2︳=1变形得（x1-x2）2=1，即（x1+x2）2-4x1x2-1=0

再把x1+x2=k-3，x1x2=-k+4代入得到关于k的方程，然后解方程，若k有实数解并且使原方程也有解，就可判断存在．【详解】（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0的两个不相等实根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2﹣2m﹣3）＞0，∴m＞﹣1，把x=0代入方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0得m2﹣2m﹣3=0，∵（m﹣3）（m+1）=0，∴m1=3，m2=﹣1，而m＞﹣1，∴m的值为3；（2）存在．把m=3代入方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0得x2﹣（k﹣3）x﹣k+4=0，∴x1+x2=k﹣3，x1x2=﹣k+4，∵|x1﹣x2︳=1，∴（x1﹣x2）2=1，即（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1=0（k﹣3）2﹣4（﹣k+4）﹣1=0，整理得k2﹣2k﹣8=0，k1=4，k2=﹣2，当k=4和﹣2时方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+4=0都有两个实数，∴存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0的两个实根x1，x2之差的绝对值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系:若方程两根为,,则,.也考查了一元二次方程根的判别式.18．（1）（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是3的倍数，则乙得12分【解析】试题分析：（1）列表如下：共有16种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中，乘积是2的倍数的有12种，乘积是3的倍数的有7种.∴Ｐ（两数乘积是2的倍数）Ｐ（两数乘积是3的倍数）（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是3的倍数，则乙得12分考点：概率的计算点评：题目难度不大，考查基本概率的计算，属于基础题．本题主要是第二问有点难度，对游戏规则的确定，需要一概率为基础．19．（1）见解析；（2）9.【解析】分析：（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．详解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝＝2.5，.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，∴△ADE的周长C△ADE＝AD＋AE＋DE＝2.5＋2.5＋4＝9点睛：此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．20．通道应设计成2米．【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78．【详解】设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，解得x=2或x=33舍去），答：通道应设计成2米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解決本题的关键.21．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°．∴平行四边形AEBD是矩形．（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【详解】试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．22．20元【分析】先设每件纪念品应降价x元，然后根据题意可列出方程，解出即可．【详解】设每件纪念品应降价x元，则：(40-x)(20+化简得：x2﹣30x+200=0解得：x1=20，x2=10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x=20答：每件纪念品应降价20元．