高三数学一轮复习知识点专题

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高三数学一轮复习知识点专题

专题L1集合

【核心素养分析】

1,了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述

法)描述不同的具体问题；

2,理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的

补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力。

【知识梳理】

知识点1：元素与集合

(I)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为£和6

⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。

知识点2：集合间的基本关系

⑴子集：若对任意x£A,都有x£B,则A£B或B3A。

⑵真子集：若ACB,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A至B或BMA。

(3)相等：若AGB,且BCA,贝ljA=B。

(4)空集的性质：0是任何集合的子集：是任何非空集合的真子集。

知识点3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A

符号表示AUBACIB

的补集为CuA

U0

图形表示

AUBAABC1,A

{x|xEA,WixG{x|x£A,且x

集合表示{xlxGU,且xEA}

B}£B}

知识点4.集合的运算性质

(1)ACIA=A,AD0=0,AAB=BnAo

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA。

(3)AA(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A。

【特别提醒】

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有211—1个。

2,子集的传递性：ACB,BGC=AGC。

3.A£B0AnB=AoAUB=B=CUA3GJB。

4.Cu(AnB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)A(CuB)<»

【典例剖析】

高频考点一集合的基本概念

3

例1、(河南省平顶山一中2019-2020年模拟)已知集合4={.小£Z,且“QWZ},则集合A中的元素

个数为()

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

3

【解析】囚为六一£Z,

2~x

所以2-x的取值有-3,-1,1,3,

又因为x£Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.

【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略

(I)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.

(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.

【变式探究】(湖南省郴州二中2019.2020年模拟)设集合A={0,1,2,3),B={x1~x^A,—},

则集合8中元素的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】若则一故x只可能是0,-1,-2,-3,当0£8时，1-0=1£A：

当一1£B时，1一(一1)=2£A；

当一2S8时，1一(-2)=3£4；

当一3sB时,1一(一3)=4至4,

所以6={—3},故集合8中元素的个数为1.

【举一反三】(山西省晋中一中2019-2020年模拟)设mb£R,集合{1,a+b,以}={。，务小则b

~a=()

A.1B.1

C.2D.-2

【答案】C

【解析】因为{1,〃+b,〃}={(),j,存0,所以。+人=0,则，=-I,所以a=-1,b=l.所以h

—a=2.

【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路

(I)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，

注意弄清其元素表示的意义是什么.本例(1)集合B中的代表元素为实数p—q.

(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中

元素的互异性相矛盾.

高频考点二：集合间的基本关系

例2、(吉林长春市实验中学2019-2020年模拟)(1)已知集合A={M？-3x+2=0,x£R},8=但04<5,

xWN},则满足条件AGCG5的集合C的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知集合A={x|-lVxV3},B=\x\-m<x<m},若8GA,则加的取值范围为.

【解析】(1)由题意可得，A=(1,2),8={1,2,3,4),又因为4GCGB,所以C={1,2}或{1,2,

3｝或｛1,2,4｝或｛1,2,3,4).

(2)当〃区0时，B=。,显然5GA.

当相>0时，因为4=但一lvx<3}.

当3GA时，在数轴上标出两集合，如图，

—Lr~1.□--------------

-1-rn0m13*

—m>—1,

所以，m<3,所以0<〃WL

—m<m.

综上所述，机的取值范围为(-8,1].

【答案】(1)D(2)(-oo,1J

【方法技巧】

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合

中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.

(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解.不要忽略任何非空集

合是它自身的子集.

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化

为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.

【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考息空集的情况，否则会造成漏

解.

【变式探究】(安徽师大附中2019-2020年模拟)已知集合从二口乐一标乂^出二凶一小"力}』")

A.AA8=0B.AUB=R

C.BGAD.AQB

【答案】B

【解析】因为A={x|x>2或x<0},因此41^={入仅>2或界：0}口凶一书4<#}=1<.故选8

【举一反三】(福建莆田一中2019-2020年模拟)已知集合人=口此一北一34)，xWN*},则集合A的

真子集的个数为()

A.7B.8

C.15D.16

【答案】A

【解析】方法一：A={x|-lSt<3,XEN*}={1,2,3),其真子集有:0,{1},{2},{3},{1,2},{1,

3),{2,3}共7个.

方法二：因为集合4中有3个元素，所以其真子集的个数为23—1=7(个).

高频考点三：集合的运算

例3、(2019•高考全国卷I)已知集合)={1,2,3,4,5,6,7),A=[2,3,4,5),B={2,3,6,

7},则8njA=()

A.{L6)B.{L7}

C.{6,7)D.{1,6,7}

【答案】C

【解析】依题意得CM={1,6,7),故3nCM={6,7}.故选C。

【规律方法】如何解集合运算问题

(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键。

(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解

决。

(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。

(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识

和相应数学知识来解决。

【变式探究】(河南郑州2019-2020年质检)设全集U=R,集合4={川一3々<1},6={小+1对},则

G/(AU8)=()

A.{x降-3或应1}B.{x|xv—1或启3}

C.{x店3}D.{x降—3}

【答案】D

【解析】因为B={计仑-1},A={x]-3<v<l),所以AUB={xM>-3},所以Cu(AU8)={刀降一3}.故

选D.

【举一反三】(2019•高考天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x£R|l夕<3},则

(AnC)U8=()

A.{2)B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】方法一：因为Anc={l,2},B={2,3,4),所以(AnOUB={l,2,3,4).故选D。

方法二：因为8={2,3,4},所以(AnC)UB中一定含有2,3,4三个元素，故排除A,B,C,故选

【方法技巧】集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。

高频考点四：利用集合的运算求参数

例4、(江西金溪一中2019-2020年模拟)已知集合4={小2%},若AU8=A,则m的取值

范围是()

A.(—00,—2)B.[2,+oo)

C.[-2,2]D.(-co,-2]U[2,+oo)

【答案】D

【解析】因为4UB=A,所以BGA,即得〃@4,解得论2或侬一2。

【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.

【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).

【变式探究】(河南新乡一中2019-2020年模拟)设集合A={0,-4),B={x|x24-2(a+l)x+a2-1=0,

xGR}.若AC1B=B,则实数a的取值范围是.

【解析】因为A={0,-4),AAB=B,所以B£A,分以下三种情况：

①当B=A时，B={0,-4),由此可知，0和一4是方程x2+2(a+l)x+a2-l=0的两个根，由根与系

△=4(a+1)2—4(a2—I)>0,

数的关系，得一2(a+1)=-4,解得a=l；

,a2-1=0,

②当B翔且BEA时,8={0}或8={-4},

并且A=4(a+1)2—4(22—1)=0,

解得a=-1,此时B={0}满足题意；

③当B=0时，A=4(a+l)2—4(a2—l)V0,

解得a<—1o

综上所述，所求实数a的取值范围是（一8,-l]U{l}o

【答案】（一皿

高频考点五：集合的新定义问题

例5、（广东执信中学2019・2020年模拟）如果集合A满足若x£A,则一那么就称集合A为“对

称集合”.已知集合人={右，0,/+“},且A是对称集合，集合8是自然数集，则AnB=.

【解析】由题意可知-2x=f+x,

所以％=0或%=—3.

而当x=0时不符合元素的互异性，所以舍去.

当”=-3时，A={—6,0,6},

所以4（13={0,6}.

【答案】{0,6）

【方法技巧】解决集合新定义问题的方法

（1）正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法

则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的

突破口。

（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的

关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用。

（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足

新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的。

【变式探究】（辽宁辽阳第一中学2019-2020年模拟）定义集合的商集运算为噂={加=;，

kR

B}.已知集合4={2,4,6）,8={xk=5—l，2£A},则集合彳口8中的元素个数为（）

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【解析】由题意知，8={0,1,2|,彳={。，2f4,6fl，§）'则彳UB={0,不y2（,共

有7个元素，故选Bo

【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点,

把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难

点的关键所在；（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之

处用好集合的运算与性质.

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专题L2命题及其关系、充分条件与必要条件

【考情分析】

1.理解命题的概念。

2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。

4重点考查数学抽象、逻辑推理能力的核心素养。

【知识清单】

知识点一命题及其关系

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做她题，其中判断为真的语句叫做真血题，判

断为假的语句叫做假命题。

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

⑵四种命题的真假关系

①两个命题互为逆查全题，它们具有相同的真例j

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

知识点二充分条件与必要条件

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若〃=%则P是4的充分条件，4是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q*p

〃是夕的必要不充分条件p#q且qnp

"是’的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件p#q且q#p

【特别提醒】若条件p,g以集合的形式出现，即4={.即（x）},B={x\q（x）},则由可■得，〃是q的

充分条件，请写出集合4,8的其他关系对应的条件p,q的关系.

2.数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系

①判定定理中前提是结论的充分条件；

②性质定理中结论是前提的必要条件；

③数学定义中条件是结论的充要条件.即定义可以用于判定也可以作为性质.

3.充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是g的充分条件，则g是p的必要条件，即“png”则“gup”.

②传递性：若p是g的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是一的充分（必要）条件，即“p=g

且q=尸，则"p=尸（“pug且qu尸，贝『力<=尸）.

【考点梳理】

高频考点一、四种命题及其相互关系

例1、（2020•广东广雅中学模拟）给出以下四个命题：

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q<-h则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a,b都是正整数.

其中真命题是.（写出所有真命题的序号）

【答案】（D®

【解析】①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数，则x+y=0"，显然①

为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题：

③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a,b不一定都是正整

数，例如a=-l,b=-3,故④为假命题。

【规律方法】

L写一个命题的其他三种命题时，需注意：

（1）对于不是“若P，则4”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.（1）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易

时，可间接判断.

【变式探究】(2020.河北邯单R四中模拟)给出命题:若函数产f(x)是幕函数，则函数产f(x)的图象不过第

四象限。在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()

A.3B.2C.lD.0

【答案】C

【解析】原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题。原命题的逆命题为:若y=f(x)

的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是第函数，显然此命题为假，又因为逆命题与否命题同真假，所以否命

题为假。

高频考点二充分条件与必要条件的判定

例2、(2019年北京)设点A,B,C不共线，则，脑与祀的夹角为锐角”是“油+命|>|展1"的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】|讪+&1>|砧=励+乃>就一牯|自彷^启+^^九正>M2+祀2一加祀0霜.祀〉

0,由点A,B,C不共线，得〈城祀〉e(o,2)t故油.祀>00福祀的夹角为锐角，故选C。

【规律方法】充要条件的判断方法

⑴定义法：根据p=g,g=p进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这

个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【变式探究】(2019年天津)设xwR,则是“|不一1|〈1"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析1由d—5xv0可得0<x<5，由可得0<xv2,

易知由0<尢<5推不出0<x<2,

由0cx<2能推出Ovxv5，

故0vxv5是0vxv2的必要而不充分条件，

因_5x<0”是X-11<1"的必要而不充分条隹

故选Bo

高频考点三充分条件、必要条件的应用

例3、（2020.陕西省咸阳一中质检）已知^={4^-8^-20<0},非空集合S={x|l—gSl+加}.若x

是x£S的必要条件，则机的取值范围为。

【答案】［0,3J

【解析】由/一81一2040得一2登10,

AP={x|-2<x<10},

由是x£S的必要条件，知SCP.

又S为非空集合，

1~m<\+m,

则,1一/史一2,

.'.0<w<3.

艮］所求〃?的取值范围是［0,3］o

【方法技巧】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点

（1）先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到

关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围.

（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数

的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【变式探究】（2020•安徽省蚌埠二中模拟）设〃£N*则一元二次方程f—4x+〃=0有整数根的充要条

件是n=o

【答案】3或4

【解析】由4=16—4佗0,得，区4,

又〃£N*,则〃=1,2,3,4.

当〃=1,2时，方程没有整数根；

当〃=3时，方程有整数根1,3,

当〃=4时，方程有整数根2.

综上可知，〃=3或4。

精品压后教育教学资料,仅供参考，雷要可下栽使用！

专题1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【核心素养分析】

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否定。

4.重点培养逻辑推理的学科素养。

【知识梳理】

1.简单的逻辑联结词

⑴命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

(2)命题p且外p或外非〃的真假判断

Pqp且qp或q非p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

知识点二全称量词和存在量词

2.全称量词和存在量词

(I)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ZT表示.

知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称语言表示符号表示命题的否定

对M中任意一个

全称命题PxRM,p(x)M,-]p(xo)

X,有p(x)成立

存在M中的一个

特称命题3xo€A/,p(xo)VxGA/,~|P(x)

xo，使p(M>)成立

【典例剖析】

高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断

例1、（2020•山西平遥中学模拟）设a,b,c是非零向量.已知命题p:若4・b=0,bc=0,则℃=0；

命题q：若。〃b,b//c,则a〃c.则下列命题中真命题是（）

A.pVgB.p八q

C（iP）八皿）D.pA（qq）

【答案】B

【解析】取a=c=（L0）,b=（0,1）,显然。•力=0,bc=0,但ac=l刈，，p是假命题.

又小b,c是非零向量，

由a〃b知a=x"x£R）,由/?〃c知b=yc（y£R）,

•*.a=xycf,.a//c,是真命题.

综上知.Vq是真命题，〃八q是假命题.

为真命题，［夕为假命题.

・'•（1P）八（19），〃八（1g）都是假命题.

【规律方法】

L“pV/、形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且X非”含义的理解，其操作步

骤是：（1）明确其构成形式；（2）判断其中命题〃，〃的真假；（3）确定“〃\//“力/0"、〃”形式命题的真假.

2.p/\q形式是“一假必假，全真才真”,pVg形式是“一真必真，全假才假”，则是“与p的真假相反”.

【变式探究】（2020•吉林长春市实验中学模拟）己知命题p：BxeR,x2-x+l>0；命题g：若。2<分，

则〃</>.下列命题为真命题的是（）

A.pAgB./?A-|q

C.qp/\qD.-|pAqq

【答案】B

【解析】•・•一元二次方程r-x+UO的判别式n=（-1）2—4x1x10,.ir-x+lX）恒成立，

•'.p是真命题，7〃为假命题.

•・・当。=-1,8=一2时，（-1）2<（—2）2,但一1>一2,

・・・夕为假命题，74为真命题.

，〃八14为真命题，p/\q，1〃八14为假命题.

高频考点二全称（特称）命题的真假判断

例2、（202。浙江效实中学模拟）已知定义域为R的函数外）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的

是（）

A.VxeR,火-x）胡x）

B.VxWR，五一力，一段）

/（一必）颊xo）

D.m&GR,A-xo）^—fixd）

【答案】C

【解析】二定义域为R的函数人r）不是偶函数，，x）=/（x）为假命题，，小o£R,犬-xo）M/（xo）

为真命题.

【规律方法】

1,全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量

词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接

否定结论.

2,判定全称命题“Vx£M,p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素4,证明p（x）成立；要判断特

称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个X=M,使pUo）成立.

Vo

【变式探究】（2020•福建泉州五中模拟）已知命题p：3x0e（-oo,0）,2<3叫命题g：Vx£（0,号，

sinx<xt则下列命题为真命题的是（）

A.p/\qB.pA（-|q）

C.（ip）AgD.（[p）八（i4）

【答案】C

【解析】因为当MO时，停）">1,即”>33所以命题〃为假命题，从而ip为真命题；因为当x£（0,5

时，Qsinx,所以命题夕为真命题，所以hp）八夕为真命题.

高频考点三由命题的真假求参数的取值范围

例3、（2020•山东日照一中模拟）已知命题p：VxGR,logzM+x+a）>。恒成立，命题十三觉£[-2,

2],2"2叫若命题〃八4为真命题，则实数。的取值范围为.

【答案】©，2

【解析】由题知，命题p：log2（/+x+a）>0恒成立，即/+工+。-1>0恒成立，所以/=1一4（〃

5

sV«>74»

-l)<0,解得苏卬命题夕：3x0e[-2,2],使得2"2°,则H2.当p△夕为真命题时，须满足，故实数

。£2,

。的取值范围为©，2.

【规律方法】

1，由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2,全称命题可转化为恒成立问题.

含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

、X

【变式探究】(2020•广东湛江一中模拟)已知人笛=1«?+1),若对Vxi£[0,3],3x2

£[1,2],使得於D沟(X2)，则实数机的取值范围是.

【答案】+8)

【解析】当工£[0,3]时，«v)min=/(0)=0，当x£[l,2]时，g(x)min=g(2)=；一M，对可£[0,3],3X2

£[1，2]使得於D沟(X2)等价于/(A)mii^(x)min，得0g—，所以〃号.

精品很总教有教学资料,仅供参考，甫要可下栽使用！

专题2.1函数及其表示

【核心素养分析】

L了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).

4.培养学生数学抽象、数学运算能力。

【重点知识梳理】

知识点1.函数与映射的概念

(1)函数：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系了,使对于集合A中的任

意一个数X,在集合8中都有唯一确定的数人幻和它对应，那么就称/：A—8为从集合A到集合8的一个函

数，记作y=/(x),其中，x叫做自变量，1的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值

叫做函数值，函数值的集合伏工)枚£4｝叫做函数的值域.

(2)映射：-一般地，设4,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系力使对于集合4中的任

意一个元素-在集合8中都有唯一确定的元素)，与之对应，那么就称对应f：A-8为从集合A到集合8

的一个映射.

知识点2.函数的表示方法

(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

(3)列出表格表示两个变量之间的时应关系的方法叫做列表法.

知识点3.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

知识点4.分段函数

若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函

数.

知识点5.复合函数

一般地，对于两个函数尸仙)和〃=蛆)，如果通过变量〃，y可以表示成k的函数，那么称这个函数为

函数)=/(〃)和〃=g(x)的复合函数，记作y=»/S(x))，其中叫做复合函数y=/S(x))的外层函数，〃=g(x)

叫做j=Ag（x））的内层函数.

【典型题分析】

高频考点一求函数的定义域

例1.（2020•北京卷）函数/（幻=」一+的工的定义域是.

J+1

【答案】（0,+8）

x>0

【解析】由题意得〈.八，/.x>0

x+1^0

【变式探究】【2019•江苏卷】函数y=j7+6x-d的定义域是

【答案】[-1,7]

【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

由已知得7+6x—即*2一6工—7《0,解得一故函数的定义域为[-1,7].

【方法技巧】

⑴求具体函数y=_/（x）的定义域

（2）求抽象函数的定义域一般有两种情况：

①已知.v=#x）的定义域是A,求y=/g（x））的定义域，可由g（x）£A求出k的范围，即为¥=黄以6）的定

义域：

②已知），=y（g（x））的定义域是A,求y=ya）的定义域，可由XWA求出以外的范围，即为），=/a）的定义域.

【举一反三】（2018•江苏卷）函数J（x）=yj\og2X-1的定义域为.

【答案】{x应2}

【解析】ilogix-1>0,即log论logz2,解得应2,

满足x>0,

所以函数«x）=^/log2X—1的定义域为{x|xN2}.

高频考点二求函数的解析式

例2.（2020•山东济南一中模拟）

(1)已知二次函数;(2x+l)=4f—6x+5,求人r)；

(2)已知函数y(.r)满足大一工)+”.r)=21，求於).

【解析】(1)法一：(待定系数法)

因为凡¥)是二次函数，所以设段)=ar2+笈+c(〃却)，则«2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+l)+c=4ai2+(4a

+2b)z+a+b+c.

因为次2x+l)=4f-6x+5,

4a=4,pz=l,

所以，4a+2匕=-6,解得，b=~5,

.a+Z?+c=5,1c=9,

所以人幻=(-5x+9(x£R).

法二：(换元法)

l-1

令2x+l=Q£R)，则x=f

2

所以7（f）=4gy^—6J~^+5=/2—5Z+9«£R）,

所以/(x)=r-5x+9(.i£R).

法三：(配凑法)

因为/(2x+l)=4x2—6x+5=(2x+l)2-10x+4=(2x+l)2-5(Zr+l)+9,所以＞(x)=x2-5x+9(xWR).

⑵(解方程组法)

由式一©+纨笛=2',①

得式外+纨-x)=2i,②

①x2—②，得3兀0=2'+1-2一。

—2一*

艮140=―5—.

2巾一2r

故凡外的解析式是抬尸一3—(x仁R).

【方法技巧】函数解析式的常见求法

(1)配凑法：已知y(/2a))=g(x),求儿0的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含人(幻的式子，然后用

X将〃㈤代换.

(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数共处可设为外)

=加+以+以存0),其中a,b,。是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出小b,c即可.

(3)换元法：已知;(〃(x))=g(x),求«丫)时，往往可设力(x)=E,从中解出X,代入g(x)进行换元.应用换元

法时要注意新元的取值范围.

(4)解方程组法：已知«r)满足某个等式，这个等式除K0是未知量外，还有其他未知量，如70)(或人一

%))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出«r).

【变式探究】(2020•河北衡水中学调研)已知/)是二次函数，月/0)=0,火x+l)=/U)+x+l,求遂》)

的解析式.

【解析】设危)=ar2+bx+c(存0),曰/(0)=0,知c=0,府)=加+加，

又由於+l)=/U)+x+l,

得a(x+1)2+力(3+1)=渥+加+4+1,

艮]ox2+(2a+b)x+a+b=ar2+(b+i)x+i,

2a^-b=b~\~\

所以解得

。+。=1,

所以+表。£R).

高频考点三分段函数求值

例3.(2020・吉林长春实验中学模拟)

f

Jx+x—2，x>2,

已知函数危)=[则用(1))=()

[f+Z,x<2,

A.4B.2C.4D.11

【答案】C

【解析】因为41)=12+2=3,所以川(1))=«3)=3+，工=4.故选C.

【方法技巧】(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对

应的解析式求值.

(2)当出现/(/(〃))的形式时，应从内到外依次求值.

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。

logu，X>0>

【变式3】(202。安徽安庆一中模拟)已知兀0=丫，，八(OVaVl),且犬-2)=5,人-1)=3,则

cf,-rb,烂0

,/W-3))=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】(1)因为f(l)=R+2=3,所以f(f(l))=f(3)=3+?^=4.故选C.

(2)由题意得，f(-2)=a-2+b=5,①

f(—l)=a~l+b=3,②

联立①②，结合0<a<l,得a=；,b=i,

’10g3X,x>0,

所以f(x)=<

团+l,x<0,

-3

则f(-3)=R)+1=9,f(f(-3))=f(9)=10g39=2,故选B。

高频考点四求参数或自变量的值(范围)

例4.(2020.山东卷)若定义在R的奇函数在(一吗。)单调递减，且八2)=0,则满足4*—1)之。的

工的取值范围是()

A.[-U]U[3,+oo)B.[-3,-l]U[O,l]

C.[-1,O]U[1,-HX)D.f-l,0]kJn,31

【答案】D

【解析】因为定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0)上单调递减，且7(2)=0,

所以/(%)在(0,+o。)上也是单调递减，且/(一2)=0,/(0)=0,

所以当％w(-oo,-2)u(0,2)时,/(X)>0,当xw(-2,0)U(2,+oo)时，f(x)<0,

所以由可得：

x<0fx>0

[-24%一1«0蛆一1之2或(0«工一1«2垢一1«—2或'=°

解得一1WxWO或1Wx03,

所以满足？(x-l)NO的x的取值范围是[T,0]u[l,3],

【方法技巧】已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)：应根据每一段的解析式分别求解,

但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，当分段函数的自变量范围不确

定时，应分类讨论。

2~x,烂0,

【变式探究】（2018•全国卷I）设函数"r）=,八则满足*x+l）q/（2r）的x的取值范围是（

1,x>0,

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)

C.(-1,0)D.(—00,0)

【答案】D

【解析】

|x+1<0,

方法一：①当|即烂一1时，於+1）勺（2x）即为2一（介“<2。，即一（x+l）<-2x,

2x<0,

解得X<1.因此不等式的解集为（-8,-1J.

②当|经。1<0,时’不等式组无解.

[x+l>0,

③当即一1—0时，於+l）«2x）即1<2鼻解得x〈0.因此不等式的解集为（一1,0）.

2x<0,

[x+1>0»

④当即Q0时，«v+l)=La)=1,不合题意.

2x>0,

综上，不等式上+1）勺3）的解集为（一8,0）.

故选D.

2一3烂0,

方法二：・・・段）=

、1,x>0,

：•函数./（X）的图象如图所示.

结合图象知，要使«r+l）<y（2x）,

x+l<0,

fx+l>0,

则需，2r<0,或|2x<0,

、2xVx+1

/.x<0,故选D。

高频考点五函数新定义问题

例5.（2020•广东省惠州一中模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数

段）的图象恰好经过〃（〃£N"）个整点，则称函数儿t）为〃阶整点函数.给出下列函数：

0/（x）=sin2x；②g（x）=V；

X

®h（x）=（§；④矶x）=Inx.

其中是一阶整点函数的是（）

A.®@®®B.®®®

C.@@D.④

【答案】C

【解析】对于函数次x）=sin2x,它的图象（图略）只经过一个整点（0,0）,