广东省东莞市2024-2025学年高二上学期七校联考数学试题【含答案解析】

东莞市2024—2025学年第一学期七校联考试卷高二数学满分150分，考试时间120分钟一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求.1.在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为，则直线的斜率为，因为，所以，故选：A.2.若向量，，则（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查空间向量模的坐标运算，属于基础题.3.在中，已知，，，则边上的中线长为（）A. B.6 C. D.7【答案】B【解析】【分析】需要先求出边的中点坐标，然后根据空间两点间距离公式来计算中线长.【详解】已知，，根据中点坐标公式，中点的坐标为.已知，，根据空间两点间距离公式，.故选：B.4.已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】两圆方程相减可得答案.【详解】，①，②①②得.故选：B.5.设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线标准方程可得焦点2,0，再由离心率可得，可求得椭圆方程.【详解】根据题意易知抛物线的焦点为2,0，可得；椭圆离心率为，可得，即；椭圆可化为，因此可得；因此，所以椭圆的方程为.故选：C6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为.由题意可知，代入双曲线方程，得，所以该塔筒的高为.故选:C.7.如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得四棱锥体积最大时，平面和，再建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法结合点到平面的距离公式计算即可.【详解】当四棱锥的体积最大时，平面，由题意得，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以，则，设平面的法向量为，则即令，则，则点到平面的距离为．故选：B.8.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，根据题意可知，只需，从而可得，即可求离心率的取值范围.【详解】如图，从椭圆上长轴端点向圆引两条切线，则两条切线形成的夹角最小，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得，则只需，即，，所以，则，所以，所以，即，所以，又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选：C.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知圆，直线.则以下命题正确的有（）A.直线l恒过定点 B.y轴被圆C截得的弦长为C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为【答案】CD【解析】【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.【详解】对于A，直线，即，由，解得，故直线过定点，故A错误；对于B,圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，故直线方程为：，即，故D正确.故选：CD10.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（）A. B.双曲线的渐近线方程为C.双曲线的离心率为 D.【答案】CD【解析】【分析】对于A，用定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D，因为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断【详解】双曲线：焦点在轴上，，，对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误对于C选项，，故C正确对于D选项，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，故D正确故选：CD11.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.一定是异面直线B.存在点，使得C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为【答案】AD【解析】【分析】对ABC选项，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断.【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：则，设，则点坐标为；对A：设平面的法向量为，，则，即，取，解得，故；又，，考虑到，则，故，故一定是异面直线，A正确；对B：，，若，则，即，解得，又，故不存在这样的点，使得，B错误；对C：，取平面的法向量，则，设直线与平面的夹角为则，则，，又，故，即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C错误；对D：在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.此时过的截面经过对称中心，设截面交于中点，也为中点，所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大，取的中点为，连接，如下所示：故此时截面为正六边形，其面积，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键是能够掌握用向量法证明异面直线的方法；本题D选项解决的关键是能够合理转化问题，类比解决，从而找到截面面积最大的状态.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则____.【答案】【解析】【分析】利用空间向量共线的坐标表示求解即可.【详解】因为，，所以，，由得，解得故答案为：.13.已知点在焦点为的抛物线上，若，则_____.【答案】3【解析】【分析】根据焦半径公式得到方程，求出答案.【详解】由焦半径公式得，解得.故答案为：314.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得.【详解】设点，由，得，整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，点到直线：的距离为，所以点到直线最大距离为.故答案为：四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知两直线和的交点为．（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案；（2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案.【小问1详解】直线与直线平行，故设直线为，联立方程组，解得．直线和的交点．又直线过点，则，解得，即直线的方程为．【小问2详解】设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得解得故所求圆的方程为．化为一般式：．16.如图，平行六面体中，，，，.（1）以向量为基底表示向量，求对角线的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1），对角线的长度为3；（2）.【解析】【分析】（1）以向量为基底，则有，两边平方求解即可；（2）由向量的四则运算及数量积可得，利用向量数量积的夹角公式求解即可.【小问1详解】以向量为基底，则有，因为，，则为等腰直角三角形，所以，又因为，，所以为边长为1的等边三角形，，所以，所以，对角线的长度为3；【小问2详解】因为，，，，所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.17.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；（3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解.【小问1详解】由题意设椭圆C的方程为，因为椭圆经过点0,1且长轴长为，所以，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由已知设直线l的方程为，设，.将直线代入，得，所以，，.【小问3详解】设，则中点是，于是，即，由于在椭圆上，故，两式相减得到，即，故，于是，故直线的方程是，整理得18.在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点.（1）求证：.（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值.（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论.（2）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，分别求PC与平面PAB的方向向量、法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求PC与平面PAB所成角的正弦值.（3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性.【小问1详解】若为中点，连接、，又M为AB的中点.∴，由，则，又△为等腰直角三角形，，易知：，由，则面，∵面，∴.【小问2详解】由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，∴，则，，，若为面PAB的一个法向量，则，令，即，∴，则PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问3详解】若存在N使得平面平面PAB，且，，由（2）知：，，则，，若是面的一个法向量，则，令，则，∴，可得.∴存在N使得平面平面PAB，此时.19.已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.（1）求双曲线C的方程；（2）已知过点直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.【答案】（1）（2）（i）或；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程；（2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围；（ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到