5.7三角函数的应用【三大必考点+六大秒杀招+六大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.7三角函数的应用【三大必考点+六大秒杀招+六大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则知识点02三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．知识点03建立函数模型的一般步骤解题大招解题大招大招01在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝eq\f(2π,ω)为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝eq\f(1,T)为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．大招02处理物理学问题的策略:(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.大招03解三角函数应用问题的基本步骤大招04利用图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步骤:求，；(2)求ω:根据图象得出最小正周期T,可得出(3)求初相φ:将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出φ的值大招05三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．大招06处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤:(1)根据原始数据绘出散点图.(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.题型分类题型分类题型01三角函数在物理学中的应用【例1】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0（−1<y0<1）的时间分别为t1，tA．13 s B．23 s 【解题思路】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可.【解答过程】由题意得12(t故函数y=sinωt+φω>0,φ<π的周期为令sinπ2t+φ故总时间为4k+5综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为43故选：D.【变式1-1】某质点的位移ycm与运动时间xs的关系式为y=sinωx+φω>0,φ∈−π,π，其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为0,−32A．ω=4B．φ=−C．质点在1,3D．质点在0,7π【变式1-2】若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当t=11s题型02三角函数在圆周运动问题中的应用【例2】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度ω为π12rad/s，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（

）（2A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可.【解答过程】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系：根据题意，盛水桶M到水面的距离ℎ与时间t满足：ℎ=Asin因为筒转动的角速度为π12rad/s，故又A+B=1.5+2.5=4；−A+B=1.5−2.5=−1，解得A=2.5,B=1.5，则ℎ=2.5sin又当t=0时，ℎ=3，则2.5sinφ+1.5=3，sin故当t=3时，ℎ=2.5sin故选：B.【变式2-1】摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度Hm关于时间t（min）的函数关系式为H=65−50cosA．253m B．50m C．25【变式2-2】筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A（视为质点）的初始位置P0(1)盛水筒A经过t秒后到水面的距离为ℎ米，求筒车转动一周的过程中，ℎ关于t的函数解析式；(2)为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：sin2题型03三角函数在生活中的应用【例3】时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y（℃）随时间x（时）的变化趋势近似满足函数y=10sinπ8A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时【解题思路】由三角函数的性质结合条件即得.【解答过程】当x∈6,16时，π由y=10sinπ8所以π8由y=10sinπ8所以π8故在6时∼16时中，观花的最佳时段约为8.7时∼11.3时.故选：B.【变式3-1】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）的部分记录表.时间0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【变式3-2】建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：0°C）随时间t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足ft(1)求y=ft(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.题型04几何中的三角函数模型【例4】如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（

）A．260万元 B．265万元C．255万元 D．250万元【解题思路】设∠AOC=α，α∈0,π2【解答过程】设∠AOC=α，α∈0,π2，则OH=2所以矩形ODEH的面积S1又S△AOC所以风景区面积S=2cos当sinα=12时，S有最大值52故选：D．【变式4-1】为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m，圆心角为π4的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCDA．200m2 C．4003−1m【变式4-2】一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．题型05用拟合法建立三角函数模型【例5】某市某日气温y(∘C)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)t（时）03691215182124y(∘C15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数y=Asin(wt+φ)+b(1)根据以上数据，试求函数y=Asin(wt+φ)+b(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于23∘【解题思路】（1）由A+b=26−A+b=14，求得b=20,A=6，又由T2=12，求得w=π12，再由t=3（2）令y≥23，得到sin(π12【解答过程】（1）解：由fx的图象，可得A+b=26−A+b=14，解得又由T2=15−3=12，解得T=24，所以因为t=3时，可得y=14，即6sin3π即π4+φ=3又因为φ<π，解得φ=−3（2）解：令y≥23，即6sin(π解得π6+2kπ又因为t∈(0,24)，所以当k=0时，可得11≤t≤19，所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在t∈11,19【变式5-1】某港口水深y（米)是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t（小时）03691215182124y（米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asin

(1)试根据数据表和曲线，求出y=Asinωt+b(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【变式5-2】“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤t≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．题型06三角函数新定义【例6】对于集合A=θ1,θ2,⋯,θn和常数θ0，定义：μ=1nA．23 B．1 C．53【解题思路】利用“正切方差”的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解.【解答过程】由题意，得μ=1μ=1故选:C.【变式6-1】对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数f(x)的“下确界”.若函数f(x)=3cos2x−π3+1，x∈−πA．−π6,π2 B．−π【变式6-2】对于定义在R上的连续函数f(x)，若存在常数t（t∈R），使得f(x+t)+tf(x)=0对任意的实数x都成立，则称f(x)是阶数为t(1)试判断函数f(x)=sinπx+cosπ(2)若f(x)=sinωx是回旋函数，求实数(3)若回旋函数f(x)=sinωx−1（ω>0）在[0，1]上恰有2024个零点，求分层分层训练【基础过关】1．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（

）

A． B． C． D．42．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（

）A． B． C． D．4．如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（

）A． B．C． D．5．记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（

）A． B．C． D．6．2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（

）

A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米7．如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位：s）满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率是（

）A． B． C． D．8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）A． B． C．1s D．9．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（

）．A．； B．； C．； D．．10．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．11．（多选）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（

）A． B． C． D．12．（多选）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（

）A． B．C．的最小正周期为 D．的最小正周期为313．（多选）如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点坐标为，其纵坐标满足，），则下列说法正确的是（

）A．B．当时，点到轴距离最大为C．当时，函数单调递减D．当时，点的坐标为14．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）．(1)求函数的解析式；(2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．15．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；(2)求的最大值，及此时的角.

【能力提升】1．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（

）A．16 B．17 C．18 D．192．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中x表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（

）A． B． C． D．3．如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．4．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（

）

A．

B．

C．

D．

5．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（

）A．当时，B．，使得C．对，都有D．对，都有6．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（

）

A．转动后点距离地面B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C．第和第点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为7．如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（

）A． B． C． D．8．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（

）A． B． C． D．9．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（

）A． B． C． D．10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（

）A．