2025年高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第6讲　立体几何中的动态问题原卷版

第6讲立体几何中的动态问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】动点轨迹问题 3【考点二】折叠、展开问题 5【考点三】最值、范围问题 6【专题精练】 8考情分析：“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化．真题自测真题自测一、解答题1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．2．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．3．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．4．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?考点突破考点突破【考点一】动点轨迹问题一、单选题1．（2024·四川成都·二模）在正方体中，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该正方体的表面积为（

）A．6 B．8 C．24 D．542．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（

）A． B．3 C． D．二、多选题3．（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（

）A． B．三棱锥的体积为C．点N的轨迹长度为 D．的取值范围为4．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（

）

A．平面平面B．若为的中点，则平面C．折起过程中，点的轨迹长度为D．三棱锥的外接球的体积为三、填空题5．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为；点E是线段AD的中点，点F在四面体的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为.6．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为．规律方法：解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．【考点二】折叠、展开问题一、单选题1．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（

）

A． B．平面平面C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为4．（2024·福建厦门·三模）如图1，将三棱锥型礼盒的打结点解开，其平面展开图为矩形，如图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（

）A． B．C．平面 D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题5．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线交于点，，将沿着折叠，使得，，则三棱锥的外接球的表面积为.6．（22-23高三上·广东·阶段练习）一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为.规律方法：画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．【考点三】最值、范围问题一、单选题1．（2024·安徽·三模）如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（

）A． B． C． D．2．（2024·河北沧州·三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南怀化·二模）在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（

）A．与平面所成角的大小为B．三棱锥的体积最大值是2C．点的轨迹长度是D．异面直线与所成角的余弦值范围是4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（

）A．满足平面的点的轨迹为线段B．若，则动点的轨迹长度为C．直线与直线所成角的范围为D．满足的点的轨迹长度为三、填空题5．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是，的范围是．6．（2024·浙江金华·三模）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则直线l与平面所成夹角的范围为．规律方法：在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．2．（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·山东济南·三模）三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（

）A． B． C．18 D．36二、多选题5．（2024·江西九江·三模）如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（

）A．三棱锥的体积为 B．线段的长为C．点的轨迹长为 D．的最大值为6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（

）A．的面积为 B．C．平面平面 D．三棱锥的体积为7．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱（含端点）上的动点，直线平面，则下列说法正确的有（

）

A．直线与平面不可能平行B．直线与平面不可能垂直C．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为D．直线与平面所成角的正弦值的范围为三、填空题8．（2024·河南·模拟预测）在一个棱长为4的正方体内部有一个半径为的小球，该小球可以在正方体内部自由活动．当任意旋转、晃动正方体并保证小球至少与正方体的一个面相切时，小球球心的轨迹在正方体内部又会形成一个几何体，则小球球心轨迹形成的几何体的体积为．9．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，，则三棱锥的外接球的表面积为.

10．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为.四、解答题11．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：平面ACDE；(2)