《圆锥曲线中的弦长问题》教学设计

《圆锥曲线中的弦长问题》教学设计【教学内容】熟练掌握、应用弦长公式解决圆锥曲线问题一般步骤【教学目标】1.掌握圆锥曲线中的弦长公式，并能够熟练使用弦长公式求解弦长，培养和提高数学运算、数学抽象等核心素养；2.结合例题，通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提高解决问题的能力.【教学重难点】教学重点：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解弦长.教学难点：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【复习引入】弦长公式：设Ax1，AB（1）若A、

B在直线AB=（2）若A、

B在直线AB=1+t2【例题讲解】一、直接求弦长【例1】已知双曲线C：x22-y2=1.过点P3，0，倾斜角为π4的直线解：由题意可得直线l的方程为：y=x-3．设Ax1整理可得：x2由韦达定理可得：x所以弦长AB=1+1备注：这里可以直接解得A，B两点的坐标：解得x将x1=2，x2故A2所以弦长AB=2-10【例2】已知抛物线C：y2=3x，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．若AP=3解：设直线l：y=32x由AP=3PB，可得联立y=32x+m，y2=3x，整理得y2-2y+2m=0，可知：Δ>0，

由韦达定理可知代入抛物线C方程得，x1=3，x2=13，即二、已知弦长求参数【例3】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且经过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)当|AB|=3，求此时直线解：（1）∵e=ca=22∴x22b2+y2所以椭圆方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程x=0，此时|AB|=2b=22∴直线AB的斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+1，设Ax联立方程组可得y=kx+1，x2+2y其判别式Δ=8+32∴由韦达定理有x1+∴AB

=1+整理可得4k4－4此时直线方程为y=22x+1三、求弦长的最值【例4】已知椭圆C：x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点Mm,0的直线l与圆x2+y2=1相切且与椭圆C交于解：（1）椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为12由题意可得a2=b2+所以，椭圆C的方程为x2（2）若直线l与x轴平行或重合，此时直线l与圆x2设直线l的方程为x=ty+m，由题意可得m1+t2设Ax1，y1，Bx2即t2Δ=则y1+y所以，AB

=1+令1+t2=n≥1，则t当且仅当n=3时等号成立，此时t=±2，故AB的最大值为2．【课堂小结】有关弦长的问题的解题步骤解题步骤：设直线、设点，联立，消元，韦达，代入弦长公式，化简．第1步：设直线、设点，注意讨论直线斜率的存在性第2步：联立方程组y=kx+m，fx,y=0，消去y第3步：由判别式和韦达定理列出条件二次项系数不为零第4步：把所要解决的问题转化为x1+x2，【答疑】思考1：在例4的解答过程中，我们设了直线为x=ty+m，为什么要这么设直线？什么情况下用y=kx+n，什么情况用x=ty+m能排除掉斜率不存在的情况，考虑用y能排除掉斜率为0的情况，考虑用x=ty+m；如果都要讨论，考虑直线的形式：如果直线在y轴上的截距确定，考虑用y=kx+n如果直线在x轴上的截距确定，考虑用x=ty思考2：在求解含参弦长问题的时候，最难的一部分是什么？最容易出错的地方在哪里？例3（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程x=0，此时AB=2b=2∴直线AB的斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+1，设Ax联立方程组可得y=kx+1x2+2y2韦达定理代入，字母运算，计算量大，有没有更好的做法？其判别式Δ韦达定理代入，字母运算，计算量大，有没有更好的做法？∴由韦达定理x∴AB

=1+整理可得4k4－4此时直线方程为y=22x+1知识补充：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

（1）若A、

B联立方程组y=kx+n，fx,y=0，消去AB=（2）若A、

B联立方程组x=ty+m，fx,y=0，消去AB=利用以上的补充，例3、例4第二问弦长公式可以避开繁琐的计算：例3（2）AB=1+k2例4．(2)小结：设直