2025高考数学复习必刷题：参数范围与最值（学生版）

第78讲参数范围与最值

知识梳理

1、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这

是几何法.

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求

该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法

等，这就是代数法.

2、求参数范围问题的常用方法

构建所求几何量的含参一元函数，形如48=/优），并且进一步找到自变量范围，进而

求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：

（1）二次函数；（2）“对勾函数"、=尤+4（4>0）；（3）反比例函数；（4）分式函数.若

X

出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决.这里找自

变量的取值范围在A>0或者换元的过程中产生.除此之外，在找自变量取值范围时，还可

以从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

②利用己知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关

系.

③利用基本不等式求出参数的取值范围.

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.

必考题型全归纳

题型一：弦长最值问题

例L（2024•湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中）已知圆。:/+/=产的任意一条切

线/与椭圆工+匕=1都有两个不同交点A,B（。是坐标原点）

124

（1）求圆。半径r的取值范围；

（2）是否存在圆。，使得OAOB=0恒成立？若存在，求出圆。的方程及|。4||。目的最大

值；若不存在，说明理由.

例2.（2024•河北・统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点8在

y轴上滑动，A、8两点间距离为1+6.点P满足2尸=6尸4，且点尸的轨迹为C.

⑴求C的方程；

（2）设M,N是C上的不同两点，直线斜率存在且与曲线/+丁=1相切，若点尸为

（72,0）,那么，肱两的周长是否有最大值.若有，求出这个最大值，若没有，请说明理

由.

例3.（2024.广东佛山.华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆

C：4+4=l（«>^>0））中，c=2,过点（0⑼与（。,0）的直线的斜率为一3.

ab3

（1）求椭圆c的标准方程；

⑵设尸为椭圆C的右焦点，尸为直线x=3上任意一点，过歹作PF的垂线交椭圆C于

两点，求\"M的N\最大值.

J+/=l（a>6>0）的离心率为孝，焦

变式1.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆E:

距为2,过E的左焦点厂的直线/与E相交于A、8两点，与直线x=-2相交于点

⑴若M（—2,—1）,求证：|阿•怛巴=|乂8|.|窃|；

⑵过点/作直线/的垂线机与E相交于C、D两点，与直线x=-2相交于点N.求

商+画+西+网的最大值•

2V21

变式2.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C:亍r+左=1（。＞人＞0）的离心率为左顶

点为4（-2,0）,直线/与椭圆C交于尸，Q两点.

⑴求椭圆的C的标准方程；

（2）若直线钎，A。的斜率分别为《，k2,且匕人=一；，求|尸。|的最小值.

变式3.（2024.江西南昌・统考一模）已知双曲线j一与=1（6＞。＞0）,O为坐标原点,

ab

离心率e=2,点/（逐,四）在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线/与双曲线交于尸、Q两点，且。POQ=0.求|OPF+|OQ|2的最小值.

题型二：三角形面积最值问题

22

例4.（2024.云南•校联考模拟预测）已知椭圆C:号+《=1（°＞6＞0）的左、右顶点分别为

M2,T为椭圆上异于加2的动点，设直线7加1、力%的斜率分别为左、k2,

3

且《•一“

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设动直线/与椭圆C相交于A、8两点，0为坐标原点，若。4.03=0，OAB的面积是

否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

例5.（2024・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测）如图，E,尸,G,〃分别是矩形ABCD四边的

中点，F（2,0）,C（2,l）,CS=ACF,OR=AOF.

（1）求直线EK与直线GS交点M的轨迹方程；

（2）过点/（L。）任作直线与点”的轨迹交于P,。两点，直线HP与直线。尸的交点为J,直

线与直线P尸的交点为K,求△〃K面积的最小值.

例6.（2024•上海黄浦•高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆C:工+.=1.

43

（1）求该椭圆的离心率；

⑵设点尸（x。,%）是椭圆C上一点，求证：过点尸的椭圆C的切线方程为邛+与=1；

⑶若点M为直线/：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA,MB,切点分别为A8,

求△M4B的面积的最小值.

22

变式4.（2024・全国•高三专题练习）已知双曲线C：鼻-2=1（“>6>0）和圆0：

ab

丁+〉2=/（其中原点。为圆心），过双曲线C上一点尸（X。,几）引圆。的两条切线，切点分

别为A、B.

（1）若双曲线C上存在点P,使得NAPB=90，求双曲线离心率e的取值范围；

（2）求直线A5的方程；

（3）求三角形。4B面积的最大值.

变式5.（2024.上海普陀.高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线「：、2=2耳4&加、"为

抛物线T上四点，点T在y轴左侧，满足7>1=2TM,TB=2TN.

（1）求抛物线F的准线方程和焦点坐标；

（2）设线段AB的中点为。.证明：直线7Z）与>轴垂直；

⑶设圆C:（尤+2）2+9=3,若点T为圆C上动点，设△7XB的面积为S,求S的最大值.

变式6.（2024.河北.统考模拟预测）已知抛物线C:尤2=2py（p>0）,过点尸（0,2）的直线/与

C交于A,8两点，当直线/与y轴垂直时，OALOB（其中。为坐标原点）.

（1）求C的准线方程；

（2）若点A在第一象限，直线/的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T,连接

交C于另一点为。，直线4）与y轴交于点Q,求△4尸。与_">7面积之比的最大值.

题型三：四边形面积最值问题

例7.（2024.河南•高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点尸（2,0）,直线

l:x=—2,作直线/的平行线r:x=a（x>2）,动点尸满足到尸的距离与到直线/'的距离之

和等于直线I与/'之间的距离.记动点P的轨迹为E.

⑴求E的方程；

⑵过。（31）作倾斜角互补的两条直线分别交E于A,3两点和C,。两点，且直线的倾

TT7T

斜角ae,求四边形面积的最大值.

o4

22

例8.（2024・全国•高三专题练习）。为坐标原点椭圆£:J+与=1（。>6>0）的左右焦点分

ab

22

别为月,月，离心率为竹；双曲线=l的左右焦点分别为工,工，离心率为S，已

ab

知exe2—w，切寓用=回-

⑴求GC的方程；

（2）过尸1作G的不垂直于y轴的弦AB,M为的中点，当直线与。2交于尸，。两点

时，求四边形A尸3。面积的最小值.

22

例9.（2024.全国•高三专题练习）如图,。为坐标原点，椭圆G言+方=i（a>6>0）的左右

22

焦点分别为耳，工，离心率为。；双曲线C?：=-与=1的左右焦点分别为号工，离心率为羯,已

知的2=母，且隹且|=百-1.

⑴求GC的方程；

⑵过月点作G的不垂直于y轴的弦A3,/为A3的中点，当直线OM与c2交于P,Q两点时，

求四边形APBQ面积的最小值.

22

变式7.（2024•山西朔州.高三校联考开学考试）己知椭圆风「+斗=1（。>6>0）的左、

右焦点分别为耳，工，M为椭圆E的上顶点，点N（0,T）在椭圆E上.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设经过焦点B的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于43两点和C,。两点，求

四边形ACBD的面积的最小值.

22

变式8.（2024.湖南郴州•统考模拟预测）已知椭圆C:三+斗=l（a>6>0）的左、右焦点分

ab

别为月，工，尸是椭圆C上异于左、右顶点的动点，尸耳•尸居的最小值为2,且椭圆C的离

心率为g.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/过工与椭圆c相交于A,8两点，A,B两点异于左、右顶点，直线4过百交椭

圆C于N两点，1口,求四边形4WBN面积的最小值.

变式9.（2024.宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测）平面内动点”与定点产（0,1）的距离和

它到定直线>=4的距离之比是1:2.

（1）求点M的轨迹E的方程；

⑵过点F作两条互相垂直的直线乙，分别交轨迹E于点AC和瓦。，求四边形ABQ5面积

S的最小值.

题型四：弦长的取值范围问题

例10.（2024・河北•统考一模）如图所示，在平面直角坐标系》分中，椭圆

E.+|=l（“>6>0）的中心在原点，点尸",£|在椭圆E上，且离心率为当.

（1）求椭圆E的标准方程；

⑵动直线/:y=&x-立交椭圆E于A,8两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为

2

k2,且匕&=；,M是线段0c上一点，圆”的半径为广，且向j=g，求学的范围.

例IL（2024•浙江•模拟预测）已知椭圆C：：+]=l,点N（0,l）,斜率不为0的直线/与椭

圆C交于点48,与圆N相切且切点为为A3中点.

⑴求圆N的半径r的取值范围；

⑵求|钿|的取值范围.

变式12.（2024・广东深圳•高三校联考期中）已知点M（x,y）在运动过程中，总满足关系

式：,（尤—&）+;/+J（x+布）+;/=4.

⑴点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；

（2）设圆O:x2+y2=1,直线/:，=依+根与圆。相切且与点M的轨迹交于不同两点A,8,

当2=0405且北时，求弦长|明的取值范围.

变式13.（2024.江苏南通・统考模拟预测）己知椭圆Cf3+丁=1的左、右顶点是双曲线

=1

C2：4-4<«>0>6>。)的顶点，G的焦点到C?的渐近线的距离为正.直线/:y=kx+t

a1b23

与C2相交于A,3两点，0403=-3.

⑴求证：8k2+t2=1

⑵若直线/与G相交于尸，。两点，求|尸。|的取值范围.

22

变式14.(2024•陕西咸阳•校考三模)己知双曲线。:。-==1(°>0/>0)的离心率为

ab

后，过双曲线C的右焦点/且垂直于X轴的直线/与双曲线交于A,3两点，且|A3|=2.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵若直线7”：丫=丘-1与双曲线C的左、右两支分别交于尸，。两点，与双曲线的渐近线分

别交于两点，求湍的取值范围.

22

变式15.(2024.全国•高三校联考开学考试)已知双曲线C:'-方=l(a>0,b>0)的渐近

线方程为>=±乙点耳，八分别为双曲线C的左、右焦点，过F?且垂直于x轴的直线与双

曲线交于第一象限的点A,且耳片的周长为8(亚+1).

(1)求双曲线C的方程;

⑵若直线y=^T与双曲线的左支、右支分别交于N,M两点，与直线y=x,y=-x分

\MN\

别交于P,。两点，求薪的取值范围.

题型五：三角形面积的取值范围问题

例13.（2024•浙江杭州.高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）己知双曲线

W:[-£=l（a,b＞0）,其左、右焦点分别为耳、F2,印上有一点尸满足/£尸工=占，

ab3

S,尸I%=退•

⑴求b；

⑵过尸作1直线/交W于3、C,取5c中点。，连接0。交双曲线于区H,当5。与即的

夹角为9时，求产^的取值范围.

4'丛EHF?

22

例14.（2024.广东茂名.高三茂名市第一中学校考阶段练习）椭圆q：a+方=1（。＞方＞0）

的离心率为也，左、右焦点分别为月，F2,上顶点为A,点月到直线人工的距离为④.

2

⑴求G的方程；

⑵过点。（若,0）的直线/交双曲线C2：/-y2=i右支于点加，N,点P在C1上，求

PAW面积的取值范围.

22

例15.（2024•浙江金华•模拟预测）尸是双曲线匕一二=1右支上一点，A,2是双曲线的左

412

右顶点，过A,B分别作直线小，尸8的垂线AQ,BQ,AQ与2。的交点为Q,B4与2Q

的交点为C.

（1）记P,。的纵坐标分别为力，为，求+的值；

（2）记的面积分别为is2,当^WtanNAQBW巫时，求1t的取值范围.

25s2

变式16.（2024.云南・高三云南师大附中校考阶段练习）已知4（-2,0）,*2,0）为椭圆C：

，+/=1（°>6>0）的左、右顶点，且椭圆C过点［1,力.

⑴求C的方程；

⑵过左焦点厂的直线/交椭圆C于D,£两点（其中点。在x轴上方），求*比的取值范

^ABDF

围.

变式17.（2024.四川南充・模拟预测）如图所示，以原点。为圆心，分别以2和1为半径作

两个同心圆，设A为大圆上任意一点，连接。4交小圆于点8,设NAOx=。，过点AB分

别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.

⑴求动点M的轨迹C的方程；

⑵点E、歹分别是轨迹C上两点，且OE-OF=0，求，EOF面积的取值范围.

22

变式18.(2024.福建漳州•高三统考开学考试)已知椭圆C:0+]=l(o>6>())的左焦点

ab

为E(-6,O),且过点«白,；)

⑴求C的方程；

(2)不过原点。的直线/与C交于尸，。两点，且直线。P,PQ,。。的斜率成等比数列.

⑴求/的斜率；

(ii)求△OPQ的面积的取值范围.

题型六：四边形面积的取值范围问题

22

例16.(2024・四川成都.高三石室中学校考开学考试)已知椭圆^-+4=1

ab

(a>6>0)左、右焦点分别为百，居，且居为抛物线C2：V=8x的焦点，P(2,0)为

椭圆G上一点.

⑴求椭圆G的方程;

⑵已知A,B为椭圆G上不同两点，且都在x轴上方，满足耳4=2月3.

（i）若2=3,求直线月A的斜率；

（ii）若直线片A与抛物线丁=》无交点，求四边形面积的取值范围.

fV21

例17.（2024•河北•高三统考阶段练习）已知椭圆C：3+a=1（°>6>0）的离心率为

点尸百,孝）在椭圆上.直线/与椭圆交于AB两点.且0403=0,其中0为坐标原点.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若过原点的直线小与椭圆C交于C。两点，且过A3的中点M.求四边形AC3D面积的

取值范围.

22

例18.（2024.全国.模拟预测）设椭圆C章+方=1（。>6>0）的左焦点为R上顶点为P,

离心率为O是坐标原点，且|。「卜|/研=应.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过点尸作两条互相垂直的直线，分别与C交于A,B,M,N四点，求四边形川WBN面

积的取值范围.

变式19.（2024•辽宁辽阳•高三辽阳县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线

且r的渐近线方程为丁=土瓜.

（1）求r的方程;

（2）如图，过原点。作互相垂直的直线4，4分别交双曲线于A,8两点和C,O两点，

A,。在X轴同侧.

①求四边形AC3D面积的取值范围；

②设直线仞与两渐近线分别交于M,N两点，是否存在直线仞使M,N为线段AO的

三等分点，若存在，求出直线AO的方程；若不存在，请说明理由.

22

变式20.（2024.浙江•校联考模拟预测）已知椭圆G：A+之=1（°>6>0）的离心率为

ab

号,抛物线C2：Y=8y的准线与G相交，所得弦长为2指.

⑴求C1的方程；

⑵若4（石,乂）,8（%,%）在C2上，且再<。<尤2,分别以48为切点，作c?的切线相交于点

P,点尸恰好在G上，直线AR8P分别交x轴于M,N两点.求四边形面积的取值范

围.

题型七：向量数量积的取值范围问题

例19.（2024•吉林长春・长春市第八中学校考模拟预测）已知氏/+4/=%2（%>0）,直线

/不过原点0且不平行于坐标轴，/与E有两个交点A,B,线段A3的中点为

（1）若帆=2,点K在椭圆E上，片、居分别为椭圆的两个焦点，求防.阻的范围；

（2）若I过点（也多,射线与椭圆E交于点尸，四边形。犯3能否为平行四边形？若

能，求此时直线/斜率；若不能，说明理由.

例20.（2024・安徽合肥•合肥市庐阳高级中学校考模拟预测）已知椭圆

C：「+/=l（a>6>0）的左，右焦点分别为《，工，焦距为2百，点在C上.

（1）P是C上一动点，求P耳子鸟的范围；

⑵过C的右焦点F”且斜率不为零的直线/交C于M,N两点，求△片MN的内切圆面积

的最大值.

22

例21.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：鼻+方=1（。>6>0）经过点网2,&）,一

个焦点/的坐标为（2,0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/：>=辰+，〃与椭圆C交于A,B两点，。为坐标原点，若%•%=3，求

0403的取值范围.

22

变式21.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C：a+方二：1,〉。〉。）经过点尸（2,0）,

一个焦点厂的坐标为（2,0）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/：产h+，〃与椭圆C交于A,3两点，。为坐标原点，若k0rk0B=-;，求

0408的取值范围.

变式22.（2024•黑龙江佳木斯•高二佳木斯一中校考阶段练习）已知椭圆

22

C:与+£=1（。>b>0）经过点P（2诉,一个焦点F的坐标为（2,0）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设直线/：/=依+1与椭圆C交于A8两点，。为坐标原点，求的取值范围.

题型八：参数的取值范围

22

例22.（2024・全国•高三专题练习）已知曲线C:二一+二一=1表示焦点在x轴上的椭圆.

5—mm—2

（1）求“2的取值范围；

（2）设〃?=3,过点尸（0,2）的直线/交椭圆于不同的两点A,B（8在A,P之间），且满

足PB=A.PA，求4的取值范围.

例23.（2024•黑龙江大庆•统考三模）己知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率

e=*且经过抛物线x?=4y的焦点.若过点3（2,0）的直线/（斜率不等于零）与椭圆交于

不同的两点E、F（E在B、尸之间），

⑴求椭圆的标准方程；

（2）求直线/斜率的取值范围；

（3）若‘03E与03/面积之比为力，求；I的取值范围.

例24.（2024・广东广州•高二执信中学校考期末）已知中心在坐标原点，焦点在无轴上的椭

圆过