2025高考数学复习必刷题：存在性问题的探究

第74讲存在性问题的探究

知识梳理

解决存在性问题的技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必

要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.

（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论.若结论正确，则存在；若结论不正确，

则不存在.

必考题型全归纳

题型一：存在点使向量数量积为定值

例L（2024・甘肃天水•高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在尤

轴上，椭圆的左顶点坐标为卜3,0）,离心率为e=f.

⑴求椭圆E的方程；

（2）过点（1,0）作直线/交E于P、。两点，试问：在无轴上是否存在一个定点使

痔・皿为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

22

【解析】⑴设椭圆E的方程为=+2=1（。>>>0）,

ab

a-c=6-lrJT

由已知得c72，解得：，

—c=1

[a2

所以。2=1.

所以椭圆E的方程为]+;/=l.

（2）假设存在符合条件的点”（回0）,

设尸（4%）,Q（x2,y2）,

则旃=（玉-〃MQ=（X2-m,y2）,

=xx

MP-MQ=^xl—m）（^x2一根）+%%i2一m（石+9）+%之+，

①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁=左（1-1）,

y二女（九一1）

由V，得:（2左2+1）X2—4左2了+（242-2）=0,

——+V=1

I2

4廿2k2-2

X+X—z----，X,X-n-----

122公+112-21c+\

、甘

二=左2[-（玉+尤2）+玉龙2+1」=~9/~-，

乙K十1

（2m2-4m+l^k2+m2-2

;.MPMQ=

2k2+1

对于任意的左值，上式为定值,

故2加一4帆+1=2（疗-2）,解得：机=：,

__»__»7

此时，为定值；

②当直线/的斜率不存在时，

直线Z：X=1J玉%2=1，再+々=2,必丁2=—W，

5—.___»s2517

由根=—,得MP.MQ=l_2x_+--------=――为定值，

4416216

综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为

22

例2.（2024・山西大同•高二统考期末）已知椭圆「+多=1（。>6>0）的一个焦点与抛物线

ab

V=4j§x的焦点尸重合，且椭圆短轴的两个端点与b构成正三角形.

（1）求椭圆的方程;

⑵若过点（1,0）的直线/与椭圆交于不同两点AQ,试问在尤轴上是否存在定点E（m,0）,

使两.炉恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为歹（百,0）,

22

所以c=y/a-b=下>>

因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，

所以6==1,

3

可求得a=2.

故椭圆的方程为:+丁=1.

(2)假设存在满足条件的点灰m,0),

当直线/的斜率存在时，设其斜率为左，贝心的方程为V=©xT)，

由,工+了=1得(4/+1)》2_8%2彳+442_4=0,

y=k(x—I)

设尸(％,*),Q(W，%)，

的NAn8k24左2—4

所以A>0,玉+%2=4.「丁再々=必2+］，

则PE-2E=(m-^)(m-x2)+y1y2

=m2-m^Xy+%2)+毛%2+*%

28k2nl4左2—4,2/4左2—4Sk2八

4V+14k2+114/+14V+1)

(4m2-Sm+l^k2+(病_4)

-4V+1

—8帆+1)［42+；］+(m2—4)一；(4疗-8m+lj

4V+1

2m』

；(4加之—8m+l)+_____4，

442+1

_.1717

要使k为定值，42m--=0,即m=1,

__33

此时而应飞

当直线的斜率不存在时，不妨取尸1，

由E(m，o],可得西=长9

,QE

8

7

所以而京之一:嗯

综上所述，存在点4],。],使而存为定值33

\o)64

例3.(2024・重庆渝北•高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C的中心在坐标

原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为五]，F2,短轴长为2g.点。在椭圆C上，且满

足的周长为6.

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点（T,0）的直线/与椭圆C相交于A,8两点，试问在x轴上是否存在一定点

使得祝•迈恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2b=2上,

Q=4丫22

【解析】（I）・.•{2a+2c=6{所以椭圆的方程为L+（=l

a2=b2+c243

（II）假设存在这样的定点M（天,。），设人（石,乂）,5优，%），直线方程为尤=冲-1

则题5•砺=(玉—％,%>(工2-%,％)=(7孙-1-%,、)(阳2-1-%，％)

22

=(m+l)y1y2-m(l+x0)(y1+y2)+(l+x0)

x=my-1/

联立i+4y』2消去x得Gi/n2+4);/—6my—9=0

6m-9

——7—，y%=-；—

3m2+4-K23m2+4

如.痂=一（5+2相吗+4）+11+胱4+小

3m2+403m2+4

11—.—.135

令11+8%=0即/=-可，MAMB=--^

当轴时，令A（-2,0）,8（2,0）,知,\1,0）,仍有磁.初=一口

所以存在这样的定点M-丁，。，使得肱4・延=-5；

V8J64

变式1.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆C:』+}=1（。>6>0）的离心率为正，椭

ab2

圆经过点AT,坐.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（L0）作直线/交C于Af,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点尸，使

两•所为定值？若存在，求出这个定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题意£=走，a2^b2+c2,3+±=1，得"=24=1,所以椭圆C的

a2a22b2

方程为二+丁=1.

2

（2）当/的斜率存在时，设/:y=Z（x—l）,〃（4%）,N（%,%）,尸«,0）,则

联立方程组：消去y得,(242+1)Y-4sx+2/—2=0.

x+—L

4k2Ik2-2

..X+=-Z-----,=——-----.

12*42k2+1122k2+1

■:PM-PZV=(xl-z,y1)-(x2-r,y2)=(^-r)(x2-r)+%%=(x1-r)(x,-r)+F(占-1)—1)

2222

=(公+1)%工2—(左+。(%+X2)+k+t=(/+l)||r^|一(左■+左2+产

左2(2产-4+1)+(产-2)

为定值.

2k2+1

:•亨罗],解得，?止匕时两历的值为4

当/的斜率不存在时，/的方程为x=l,解得M1,与,2v|l,

5/51.(1亚、(1亚、7

又，=7，则p],0..••尸M・PN=---,此时也满足条件.

综上所述，在X轴上存在定点尸(5，0),使可否两为定值.

22

变式2.(2024•辽宁锦州・统考模拟预测)已知耳、工为双曲线E:1-4=1(°>0*>0)的

ab

左、右焦点，E的离心率为为E上一点，且闻-|M剧=2.

(D求E的方程；

⑵设点M在坐标轴上，直线/与E交于异于M的48两点，且点“在以线段AB为直径的

圆上，过“作MCLAB,垂足为C,是否存在点D,使得|CE>|为定值？若存在，求出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为双曲线的离心率为石，所以0=9=出，即,=耳，

a

又町-|西=2,所以2a=2,则a=l,所以c=中,

因为〃=02-/,所以°=77^7=J(逐了一俨=2,

2

故双曲线E的方程为尤2一乙=1.

4

(2)因为M点满足|摩|—|5|=2>。，

2

所以点M在双曲线％2-2L=l的左支上，又因为点M在坐标轴上，则”(T0),

设4（石,/）,5（工2，%）,当A3的斜率存在时，设A5的方程为>=区+加，

2

122_/V_]

联立方程彳-T-,整理得（4-严）/一2切a-QT?+4）=0,则4一/NO,

y=kx+m

2222

A=（-2切z）2_4（4-Zr）[-（/7i+4）]>0,BPm+4-k>0,

%1,药+N=-二¥，因为M在以线段A3为直径的圆上，所以小，姐，

4-左24-k2

贝IJ症.砺=0，又SS=a+Ly）,MB={x2+\,y1）,

则MA-MB=（石+1）（%2+1）+%%=&+D（%2+1）+（何+机）（辰2+㈤=0,

2

所以（左2+1）石工2+（km+1）（再+x2）+m+1=0,

BP（左2+1）（————y-）+（km+1）-+m2+1=0，整理得3m2+2km—5k2=0，

4-k4-k

即（相-幻（3相+5左）=0,解得根=左或根=—号，经检验均满足加+4-k2>o,

当机=左时，直线A5的方程为丁=伙％+D,则直线A5过点M,不合题意，舍去；

当相=一方时，直线A5的方程为〉=%（%-1）,则直线A5恒过定点。（;0）,符合题意.

当A5的斜率不存在时，瓶=（玉+1,%）,砺=（西+1,—%）,

2c

疯•丽=（%+1>-y；=0,又工；_e_=1,解得玉=-1（舍去）或与=§,

所以直线AB方程为x=|,则直线AB恒过定点2（1,0）.

综上，直线A3恒过定点。弓,0）.

因为MCJ_AB,所以A/CQ是以MQ为斜边的直角三角形，

即点C在以为直径的圆上，则点。为该圆的圆心即斜边MQ的中点，

5114

又”（TO）,e（-,0）,所以CD为该圆的半径,即|C0=]|M2I=§,

14

故存在点使得为定值父

22

变式3.（2024・山西大同.统考模拟预测）已知椭圆^:左+方=1（〃>6>0）的离心率为

交，且直线是抛物线。2：/=©的一条切线.

2一

⑴求椭圆G的方程；

⑵过点s］。，-；］的动直线L交椭圆G于A，8两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个

定点T,使得以A3为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理

由.

【解析】（1）由12=以得》+（»—4）彳+廿=。

直线y=x+》是抛物线C2：y2=4尤的一条切线.所以A=0nb=l

e=±=显na=正，所以椭圆C1：《+丁=1

a22

（2）

当直线L与x轴平行时，以为直径的圆方程为/+,+J=仁）

当直线L与>轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=l

所以两圆的交点为点（0,1）猜想：所求的点T为点（0,1）.

证明如下.当直线L与x轴垂直时，以A5为直径的圆过点（0,1）

当直线L与X轴不垂直时，可设直线L为：>=日-g

7112k

y=kx——X.+x=-----------

312?

,2得左丘设*々，％)贝卜18P+9

由，(182+9*-12-16=0,

-16

—+/=1

[2

则为•无=(%,%-1>5,%-1)=%迎+5-1)(为一1)=%々+(何一；一

E2T再+尤2)+^=(1+阴盛，-》迪1%+£=0

所以玄，无，即以A3为直径的圆过点(0,1)

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T.

22

变式4.(2024.江苏扬州•统考模拟预测)已知椭圆C:三+2=1(4>6>0)的左顶点为A,

ab

过右焦点F且平行于V轴的弦PQ=AF=3.

⑴求△APQ的内心坐标；

⑵是否存在定点D，使过点。的直线/交C于M,N,交PQ于点R,且满足

MRND=MDRN^若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)a2=b2+c2,-----=a+c=3a=2,b=yf3,c=l

a

・•・椭圆C的标准方程为X+父=1,

43

不妨取尸则4尸=乎，尸尸=十

因为△AP。中，AP=AQ,所以△AP。的内心在x轴，设直线PT平分尸。，交x轴于

ATAPAT所以AT=*$-,则

T,则T为△"Q的内心，且近而=石=二E

V5+1

734

(2)•.•椭圆和弦尸。均关于x轴上下对称.若存在定点D,则点。必在x轴上.•.设。9。)

当直线/斜率存在时，设方程为，=a5。”(4%),刈々,%)，直线方程与椭圆方程联立

y=k(x-t)

d，

[43

消去y得(442+3)Y—8k2tx+4(k2t2-3)=0,

22

则△=48伊+3-kt）>0,X]+々,xtx2=噌；

^TrC十D4/C十DJ①

丁点R的横坐标为1,M、R、N、。均在直线/上，MRND=MDRN

一.（1+左2）（1_%）«_/）=（1+左2）«_西）（々—1）

/.2,一（1+0（玉+%）+2玉%-0「•2,一（1+0"’+2x—~~-------二0，整理得才=4,

4k+34k+3

因为点。在椭圆外，则直线/的斜率必存在.•♦.存在定点。（4,0）满足题意

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

例4.（2024•山东泰安・统考模拟预测）已知为。坐标原点,

A（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,D（2,l）,OE=WA,DF=ADA,0<2<1,CE和BF交点为P.

⑴求点尸的轨迹G；

⑵直线y=x+皿加W0）和曲线G交与M,N两点，试判断是否存在定点。使左M/NO=；?

如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.

【解析】（1）设点尸（x,y）,E（xE,yE）,F（xF,yF）,

■.■OE=WA，即（4,%）=4（2,0）,

点坐标为（240）,

■,DF=ADA,即（x尸一2,力-1）=2（0,_1）,

.一点坐标为（2,1-4,

,根据两点坐标可得，

直线CE方程为：y=^-x-1,

2Z

Q

直线8尸方程为：y=--x+l,

两式移项相乘得：丁-

4

整理得上+9=1,

4

二P点的轨迹为以（石,0）,（-括,0）为焦点，长轴长为4的椭圆,

即其方程为G:'+y2=l.

（2）假设存在定点G,

设点G坐标为5,%）,”（玉,外）,'（%,%）,

y=x+m

联立方程组,/消>得5d+8mx+4/-4=0,

——+y=1

[4

直线与椭圆交于两点，

A=64m2—80（机之一]）>。即一如"<m<有,

8m

J+Lg

4m2—4

「kMQkNQ=1，

...Wl'of"1

x0-x1x0-x24

（不一3）（%一w）=。，

,4(%f-m)(y0-x2-m)-(x0f)(「f)=0,

整理得:

2

4y；-4(x,+々+2m)为+4XJX2+4m(玉+x2)+4m+(%+/)/-^x2=0,

128

4y；一龙；一^^一《加（尤o+%）=。，对”?片。恒成立,

12

「.Xo+%=O,得4尤_/；_《=0,

_一2有

••x0=-%=±^­，

所以存在定点。，坐标为

例5.（2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点4（-2,0）,B（2,0）,

3

尸(x,y)是异于A，B的动点，%,L分别是直线AP,阱的斜率，且满足加•％=-：.

(1)求动点尸的轨迹方程；

⑵在线段A3上是否存在定点E,使得过点E的直线交P的轨迹于M,N两点，且对直线

x=4上任意一点Q,都有直线QM,QE,QV的斜率成等差数列.若存在，求出定点E,

若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意》・>="•'c=-I，即土+上~=1,

x-2x+2443

22

又直线AP,BP的斜率存在，所以点尸的轨迹方程为一+J=1(kO).

43

(2)若存在这样的定点，不妨设为E(f,O),令Q(4,〃)，M(xv%),N(X2,%),

直线MN的方程为x=7犯+%

fx=my+t,c°

j3尤2+4y2=12(3w+4)，+6mfy+3r-12=0,

由韦达定理得：%+%=1?'"［，=A=36m2f2_z2_>o,

34+43m+44(3m+4)(3?12)

“kQM丁+0kQN~—Ok，

4_x,4_x74—t

对任意〃成立，所以■

由之+言=。得，

-4(%+%)+%(牝2+')+%(加乂+0="-4)(%+%)+2机身%=°，

所以(f-4)(-6fin)+2m(3r2-12)=0,

24〃»-24〃z=0对任意机成立，t-l,经检验，符合题意,

所以，存在为1，0)满足题意.

22

例6.(2024.吉林・吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C:=-*=l(a>0,/7>0)的右焦点产

ab

为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点。

(1)求C的方程.

(2)在x轴上是否存在定点M,过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线/,当/与C交于

两点时，直线AF,3厂的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说

明理由.

b

【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为>=±9心

a

圆/与直线工勺切于点呜，竽‘所以代入得先冬

①

275

设尸(C,0)(C>0),直线尸。有斜率心°,则/小2=-1,即/-x2=-l,②

a。°

3

Xc2=a2+b2@

由①②③解得c=3,a=2,b=非,

22

所以双曲线C的方程为土-匕=1.

45

(2)假设存在满足条件的定点M&0),因为直线/不与坐标轴垂直,

故设/的方程为X=7犯+《邓7。),4(%,%),8(%2，％)・

x=my+t,

由dy2消去X整理得（5加—4）/+iom？+5产—20=0,

----------=1,

145

5m2一4w0,口

则即4-丁，（*）

A>0,

5/w2+12-4>0,

1Omt

5m2-4

且

51-20

%%=

5疗一4

因为尸(3,0),所以直线AF,B尸的斜率为如=—三,脸=上小

-A-iD4,D

设3/+怎,=〃7为定值)，即9+上、=4,

Xj-3X2-5

即用(4一3)+%(%一3)=4(4—3)(马一3),

即%（"以+（—3）+%（〃明+/-3）=2（〃明+/-3）（;佻+f-3）,

整理得（2机—急层）％%+（1-勿”）（1—3）（乂+%）—“I—3）~=0,

5?-201Omt

所以(2〃z-力叫x——-—---（--1-—2〃z）（f—3）x-加-3f=0,

5m2-45m2-4

所以;I（5/一30r+20）1+1o⑶_勺相=52（r-3>疗-42（r-3）2.

因为/以为定值，且上式对任意〃z恒成立，

A(5r2-30f+20)=52(r-3)2,

所以10—0,

-4/1(/-3)2=0,

4

解得/=§"=o.

将r=:代入(*)式解得机＜-|或加且机力土半.

综上，存在满足条件的定点陪q

变式5.(2024.湖北荆州.高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为

x2+y2-8/71X-(6m+2)j+6m+1=0(meR,m0),椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

(1)证明圆C恒过一定点并求此定点M的坐标；

(2)判断直线4x+3y-3=。与圆C的位置关系，并证明你的结论；

(3)当相=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M,求此时椭圆方

程；在无轴上是否存在两定点A,8使得对椭圆上任意一点。(异于长轴端点)，直线

QA,Q8的斜率之积为定值？若存在，求出A,B坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)圆C的方程可化为：(x2+/-2y+l)-〃z(8x+6y-6)=。，

X2+y2-2y+l=0x=0

,解得,所以圆。过定点MQI).

8x+6y—6=0?y=i

(2)圆。的方程可化为：(x—4m产+卜―(3根+1)『=25加2,

|4-4m+3-(3m+l)-3|251ml

圆心到直线/的距离为弓==51m|=r,

A/42+325

所以直线与圆c相切.

(3)当m=2时，圆C方程为(x—8y+(y—7『=100,圆心为(8,7),半径为10,

与直线x=(8-10),即x=-2相切，所以椭圆的左准线为x=-2,

--=2〃=J2

又椭圆过点”(0,1),则6=1,所以c,解得，

,,Z?=l?

b-Li

所以椭圆方程为］+^=1.

在椭圆上任取一点Q(x,y)(yx。)，设定点A(s,o),B(r,0),

则G____4_1一万一,对xe(-血,0)恒成立,

QAQBx-sx-t(x-s)(x-1)

所以—/Y+1=kx2—k(s+t)x+kst对xG(—^2,怛成乂9

(11f,_1

k—__k——k——

222

所以,人(s+/)=0,故＜s=y[2或＜s=—0,

米/=1t=—yflt=V2

所以.一也0),8(也0)或者A(点,0),B(-V2,o).

22

变式6.(2024.河北.高三校联考阶段练习)已知椭圆C：会+方=l(a>b>0)的左、右焦

点分别为耳，尸2,焦距为2,实轴长为4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设过点耳不与尤轴重合的直线/与椭圆C相交于E,D两点，试问在*轴上是否存在

一个点M,使得直线ME,MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为焦距为2,长轴长为4,

即2c=2,2〃=4,

解得c=1,。=2,

所以。2=/一02=3,

22

所以椭圆C的方程为工+匕=1.

43

(2)由(1)知片(-1,0),设点石(不，一),D(X2,%)，0),

因为直线/不与x轴重合,

所以设直线/的方程为1=町-1,

x=ny—l

联立1炉2,得(3〃2+4)J_6〃y-9=0,

——+—=1

143

所以/=(―+36(3*+4)>0,

6n9

所以X+%=3/+4'弘为一3"+4，

9n26n2,12n2-4

又占马=("M-1)(〃％—1)=-"(M+%)+1=—i——+1=---；----

3/+43/+43n2+4

/、c6犷58

%)-2=诉-2=_「

直线ME,MD的斜率分别为与°=」^,

xx-mx2-m

所以乙E.kMD=」——工=--中--=------"2

%-jnx2-m-m)(x2-m)yxy2-m{xx4-x2)+m

-9

3"+4

12n2-4,-8.-12n2+4+8m+3m2n2+4m2

——-------—--------)+m2

3/+43/+4

___________9________

--（3m2-12＞2+4（m+l）2，

要使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值，直线3苏-12=0,解得机=±2,

991

当租=2时，存在点M2,。），使得讨％=-（3/_]2）/+4（m+l）L-,

99

当机=一2时，存在点M（-2,0），使得kME-kMD=-（3加_12）/+4（机+1）：=一"

综上，在x轴上存在点M,使得ME,MD的斜率之积恒为定值，

当点M的坐标为（2,0）时，直线ME,MD的斜率之积为定值-!，

4

9

当点M的坐标为（-2,0）时，直线ME,MD的斜率之积为定值-一.

4

变式7.（2024・吉林长春・高三长春外国语学校校考开学考试）己知椭圆

C:^+方=1（。＞6＞0）的离心率为（，及、入分别是椭圆的左、右焦点，尸是椭圆上一

点，且△尸片耳的周长是6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/经过椭圆的右焦点入且与C交于不同的两点N,试问：在x轴上是否

存在点。，使得直线。用与直线。N的斜率的和为定值？若存在，请求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

【解析】（1）由椭圆的定义知△尸月瓦的周长为2a+2。，所以2〃+2c=6,

221

又因为椭圆C：W+方=1（。＞匕＞0）的离心率e=（=5,

所以〃=2c,联立解得a=2,c=l,

所以Z?=yja2—c2=y/3，

22

所求椭圆方程为±+±=1.

43

（2）若存在满足条件的点Q&O）.

22

当直线/的斜率上存在时，设y=Mx—1），联立?+（=：1,

1肖y得（3+4左2）*2—8左?x+442—12=0.

设N（%,%），则XI+X2=£^,%々=

,,，-M%-（国一1）5一（+4（凡一1）（国一（

・QMQNx「t（石一/）（%2-。

8/一248-2（1+。

2点］入2—%（1+，）（再+/）+2kk3+4左23+4k2+'

玉X2—%（玉+工2）+/442—128左22

3+4-2-3+4—2

8左2—24—8公（1+/）+2（3+4左2）64«—4）

4左2-12-8公,+/（3+4左2）4（f-l）*2^*42+3（r-4））

，要使对任意实数3为定值，则只有1=4,止匕时，kQM+kQN=0.

当直线/与x轴垂直时，若f=4,也有％M+%N=0.

故在x轴上存在点。（4,0）,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.

变式8.（2。24.全国.高三专题练习）设椭圆4+*96＞。）的离心率是当,过点

P（0,l）的动直线L于椭圆相交于A3两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截得

弦长为2后.

（I）求E的方程；

（II）在y上是否存在与点尸不同的定点Q,使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在,

求。的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】（I）由已知可得，椭圆经过点（士"1）

21

/+记1

因此，＜f=T‘解得"2,应，

a2=b2+c2

22

所以椭圆E方程为土+匕=1;

42

（II）设。点的坐标为（。，%）,

当直线L与无轴垂直时，直线QA与QB的倾斜角均为90。，满足题意,

此时%©R,且%*1;

当直线力的斜率存在时，可设直线L的方程为、=履+1,人（和％），

y=kx+\

联立＜x2y2，得（1+2左之卜2+46_2=0,

丁工一

其判别式△＞（）,

4廿2

:'X'+X2=~^iie,V2=-i72F,

・・・直线QAQ8的倾斜角互补，

AQA+kQB=0,

・%一%।%f=o,

xix2，

区1+1一篇优一%C

即—-----+———=0,

X]x2

整理得2kxlx2+（1—%乂%+%2）=。，

把药代入得2）=0,

L十乙KAI/长

所以为=2,即。（0,2）,

综上所述存在与点尸不同的定点。（。，2）满足题意.

题型三：存在点使两角度相等

例7.（2024•新疆阿勒泰.统考三模）已知椭圆G：二+寸=1（。＞1）的左右焦点分别为

a-

耳F2,A,3分别为椭圆G的上，下顶点，工到直线A耳的距离为

⑴求椭圆G的方程；

⑵直线X=X。与椭圆G交于不同的两点C,。，直线ACA£＞分别交X轴于尸，。两点.问：y

轴上是否存在点R,使得NORP+NORQ=]?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明

理由.

【解析】（1）△4£巴中由面积公式得出=6.2c,

即届=24'/—1,得片=4,

椭圆方程为2—Fy2=1；

4-

（2）如图，

假设存在点R使得NORP+NORQ=W，设尺（。,加）,

IT

・・•ZORP+ZORQ=ZORQ=/OPR,即tanNOHQ=tanZOPR,

•.O泼Q=市OR，即IOR『9=|.o刊NOQ,|,

直线x=x°与椭圆G交于不同的两点c。，易知C，。关于尤对称，

设C（5，％），则。（玄，一%）（%H±l，为H°），

由（1）知4（0.1）,直线AC的方程是y=翌二、+1,令y=0得辱=一』7

xo%—1

,y+1x

直线AD方程n是+令尸0得天=—n,

-%%+1

_片

由|OR『=|O制O0,得病

又C«,%）在椭圆上,所以学+¥=1,即手=1",

/.m2*4=4,即加=±2.

所以存在点尺（0,±2）,使得NORP+NORQ=］成立.

22

例8.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：A+2=1（°>10）经过点A（-2,0）且两个

焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.

（1）求椭圆C的方程和离心率；

（2）设尸，Q为椭圆c上不同的两个点，直线9与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点

F,且尸、0、。三点共线.其中。为坐标原点.问：X轴上是否存在点“，使得

ZAME=NEFM?若存在,求点M的坐标，若不存在，说明理由.

【解析】（1）依题意可得。=2,92cx26=4,又°2="一/，解得6=c=0，

所以椭圆方程为工+片=1,则离心率6=£=包

42a2

（2）因为P、0、。三点共线，根据椭圆的对称性可知尸、。关于。点对称,

设点P（%,%）,则Q（—4-另乂石w±2）,

所以直线24的方程为>={7（%+2）,直线A。的方程为了=二^（%+2）,

石+Z—玉+Z

假设存在M使Z4ME=NE™,ZMOE=ZFOM=90°,

所以NOMF=NOEM,XZOEM+AOME=90°,所以/OME+/OMF=90。,

即ME_LMF,所以砒.砺=0，

设贝1］砺=,砺二「见一，

所以班•赤=相2+(-2M即21T=0,

(—%+2)(玉+2)4—石

又手+?=1,所以x：+2y：=4,所以1一2=。，解得加=±0,

所以M（土形,0）.

例9.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知点A是圆C:（x-l）2+y2=i6上的任意一点，点

F（-l,0）,线段AF的垂直平分线交AC于点P.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）若过点G（3,0）且斜率不为。的直线/交（1）中轨迹E于/、N两点，。为坐标原点，

点8（2,0）.问：龙轴上是否存在定点T,使得NMTO=NN7B恒成立.若存在，请求出点T

的坐标，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由圆C:（X—1）2+V=16,可得圆心坐标为C（l,0）,半径7=4,

如图所示，线段转的垂直平分线交AC于点P,

所以|「目+|PC|=|刚+|尸。=4＞怛。=2,

根据椭圆的定义可知点尸的轨迹是以尸,C为焦点的椭圆，且2“=4,2c=