2025高考数学复习必刷题：隐圆问题（学生版）

第62讲隐圆问题

必考题型全归纳

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

例L（2024•天津北辰・高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A,B,C,D

满足|。川=|。8|=|£>。|=2,DA-DB=DB-DC=DC-DA=-2,动点尸，M满足|AP|=1,

PM=MC，则IBM『的最大值为（）

.37+673„37+2庖„4349

.-----------1J.-------------L.

4444

例2.（2024•全国•高一阶段练习）已知。,。是单位向量，a.b=O,若向量c满足

\c-a+b\=l,则|c-6|的取值范围是（）

A.[72-1,5/2+1]B.[1,V2+1]C.[0,2]D.[0-1,6+1]

例3.（2024•全国•高三专题练习）已知单位向量£与向量6=（0,2）垂直，若向量;满足

\a+b+c\=l,则1的取值范围为（）

A.[1,^-1]B.[与，与1C.[75-1,75+1]D.|铝,3

变式1.（2024.湖北武汉.高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆

（彳-0）2+"-0）2=8上总存在两个点到原点的距离为四,则实数。的取值范围是（）

A.（—3,3）B.（-1,1）

C.（-3,1）D.（-3,—l）U（l,3）

变式2.（2024.新疆和田•高二期中）如果圆（x-cz）2+（y-1）2=1上总存在两个点到原

点的距离为2,则实数a的取值范围是（)

A.（-2V2,0）o（0,2>/2）B.卜2/20)

C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,1)

变式3.（2024・新疆•高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A,B,

C,£＞满足|£＞4|=|。8|=|£＞。|=2,DABC=DBAC=DCAB=O,动点P,拉满足

IAP|=1,PM=MC＞则18M『的最大值为

变式4.（2024・安徽池州•高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点。与A、

B、（:满足|。*=|£）8|=|£）口，DADB=DBDC=DCDA=-8^动点尸、以满足

AP=2，PM=MC＞则IBM『的最大值为.

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

例4.（2024・四川广元.高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOv中，

尸（2,2）,。（-4,0）为两个定点，动点/在直线x=-1上，动点N满足NO2+NQ2=16,则

\PM+PN\的最小值为

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知A,8,C,。四点共面，BC=2,AB2+AC2=20,

CD=3CA＞贝！118。|的最大值为.

例6.（2024•浙江金华•高二校联考期末）已知圆C:（x+iy+（y-2）2=l,点A（—l,0）,

8（1，。）.设P是圆C上的动点，令4=|以「+解「，则d的最小值为.

变式5.（2024.高二课时练习）正方形A8CD与点尸在同一平面内，已知该正方形的边长为

1,且则|尸刈的取值范围为.

变式6.（2024・上海闵行.高二校考期末）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点尸在△

UUUULUUU

ABC所在的平面内，且|PA『+|尸8F+|PC|2=a（"为常数），满足条件的点尸有无数个，

则实数。的取值范围是.

B

变式7.（2024.全国•高三专题练习）如图，AABC是边长为1的正三角形，点P在AABC所

在的平面内，且|尸4『+阿F+|PC『=a（a为常数），下列结论中正确的是

A.当0<。<1时，满足条件的点尸有且只有一个

B.当。=1时，满足条件的点尸有三个

C.当“>1时，满足条件的点尸有无数个

D.当。为任意正实数时，满足条件的点总是有限个

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°

例7.（2024・湖北武汉•高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆

C:（x-l）2+（y-3）2=10和点M（5j）,若圆C上存在两点4,8使得例，修，则实数f的取

值范围是.

例8.（2024.江苏南京•金陵中学校考模拟预测）已知圆C：（x—1）2+。-4）2=10和点

M（5,。，若圆C上存在两点A,B,使得则实数f的取值范围是

例9.（2024・高二课时练习）设加eR,过定点A的动直线〃a->=。和过定点B的动直线

》+“）；-4〃7-3=0交于点尸，贝！||R4|+|P@的取值范围是（）

A.[后2⑸B.[275,5]

C.[5,50]D.[5,10]

变式8.（2024•陕西西安•高二西安市铁一中学校考期末）设〃zeR,过定点A的动直线

无+my=。和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点尸（羽y）,则|PA|-|Pfi|的最大值是

（）

A.75B.V10C.5D.10

变式9.（2024•高二课时练习）设meR,过定点A的动直线x+畋=0和过定点8的动直

线〃a-y-机+3=0交于点P（尤,y）,贝!||尸+|尸8『的值为（）

A.5B.10C.叵D.V17

2

变式10.（2024•全国•高三校联考阶段练习）设〃zeR,动直线乙：x+my=0过定点A,动

直线4：皿一1加+3=0过定点8,且4，'交于点尸（x,y）,则|网+|冏的最大值是

（）

A.710B.275C.5D.10

变式11.（2024・全国•高三专题练习）设向量a,b,C满足|。|=也|=1,a-b=^,

（a-c）-（&-c）=0,贝ljlc|的最小值是（）

A.B.C.6D.1

22

变式12.（2024•全国•高三专题练习）已知点41-加，0）,B（l+m,O）,若圆C：

/+/_8了一8>+31=0上存在一点尸，使得PAL依，则实数加的最大值是（）

A.4B.5C.6D.7

变式13.（2024•江西宜春•高一江西省万载中学校考期末）已知°,6是平面内两个互相垂

直的单位向量，若向量c满足（"c>（2b-c）=0,则向的最大值是（）

A.V2B.2C.5/5口.日

变式14.（2024.全国•高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量

c满足（a-c）（b-c）=0,则，的最大值是（）

A.1B.2

C.72D.立

2

变式15.（2024•湖北武汉•高二校联考期中）已知°和6是平面内两个单位向量，且

若向量c满足（"。＞仅-。）=0,则。的最大值是（）

A.走+1B.避土1C.72D.73

22

变式16.（2024.黑龙江哈尔滨.高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a,b是平面

内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（。-。）•仅-2c）=0,则同的最大值是（）

A.72B.9C.也D.仓

225

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

例10.（2024・全国•高一专题练习）设向量£,b,c满足同=忖=1,a-b=~,

（a-c,b-c）=60°,贝!||c|的最大值等于.

例11.（2024・全国•高三专题练习）在边长为8正方形ABCD中，点刈为BC的中点，N是

AD上一点，&DN=3NA,若对于常数加，在正方形ABQ）的边上恰有6个不同的点P，

UUUU1UUU

使得PM•PN=m，则实数加的取值范围为.

例12.（2024•全国•高三专题练习）在平面四边形ABCD中，连接对角线BD,已知

CD=9,BD=16,ZBDC=90°，sinA=1,则对角线AC的最大值为（）

A.27B.16C.10D.25

变式17.（2024・全国•高考真题）设向量兄仇c满足|a|=网=2,a.b=—2,

（a-c,b-c）=60°9则，的最大值等于

A.4B.2C.0D.1

变式18.（2024・全国•高三专题练习）在平面内，设A、5为两个不同的定点,动点尸满足：

尸4依=左2（%为实常数），则动点尸的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.不能确定

变式19.（2024.全国.高三专题练习）如图，梯形ABCD中，AB//CD,A5=2,

CD=4,8c=A£>=逐,E和尸分别为与BC的中点，对于常数九，在梯形ABCD的四

条边上恰好有8个不同的点尸，使得=2成立，则实数彳的取值范围是

D-f)

变式20.（2024.江苏.高一专题练习）已知正方形ABCD的边长为4,点E,尸分别为

AD,2C的中点，如果对于常数几，在正方形A3CO的四条边上，有且只有8个不同的点

P,使得PE•尸尸=彳成立，那么九的取值范围是（）

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,4]D.（0,4）

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值

例13.（2024.四川宜宾.高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊

著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻

而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他

\MQ\

的研究成果之一.指的是：己知动点时与两定点2P的距离之比濯="%那

\MP\

么点〃的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点〃的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为

x2+y2=l,其中，定点。为x轴上一点，定点尸的坐标为卜若点3。，1），则

31Mpi+|MB|的最小值为（）

A.710B.而C.V15D.V17

例14.（2024•江西赣州•统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿

基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯

圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,8的距离之比为

2（A>0,A^l）,那么点Af的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系

中，圆。:/+产=1、点+则和点«o,£）,加为圆O上的动点，则21M4|-|MB|的

最大值为（）

A.-B.叵C.-D.正

2222

例15.（2024・湖南张家界•高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、

阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究

成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的

是：己知动点以与两定点A,8的距离之比为>0,2*1）,那么点H的轨迹就是阿波

罗尼斯圆.如动点M与两定点A］，0；3（5,0）的距离之比为|时的阿波罗尼斯圆为

x2+y2=9.下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆0:炉+丁=4上的动点”和

定点A（-LO）,3（1,1）,则2|阿+|MB|的最小值为（）

A.2+710B.V21C.V26D.V29

变式21.（2024•广东东莞・高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B,满足

普=几（2#1）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命

\P8\

名为阿波罗尼斯圆，称点4B是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关

于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点

在圆内，另一点在圆外，系数几只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知AQ。），

PA1

8（4,0）,0（0,3）,若动点P满足隹=彳，则21Pq+|尸耳的最小值是________.

rD2

变式22.（2024・上海•高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲

线论》中有一个著名的几何问题：在平