2025届八省适应性联考模拟演练考试（二）数学试卷（含答案）

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八省适应性联考模拟演练考试（二）

数学试题

命题：四川省新高考教研联盟试题研究中心

审题：四川省新高考教研联盟试题研究中心

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个答案符合要求。

1.已知i为虚数单位，复数Z满足（l+i）Z=|l+i|2,则复数z的虚部为

A.-iB.-1C.iD.1

2.设x＞。，y＞。，不等式升打毒2。恒成立,则实数〃的最小值是

A.-2B.2C.1D.-4

3.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品。其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个

石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的最大盛水量为

A.687rcm3B.1527rcm3C.20V107rcni3D.2047rcm3

4.给出下列命题：

①若空间向量乙9满足日不＜0,则d与另的夹角为钝角；

②空间任意两个单位向量必相等；

③对于非零向量房若五•于=石•旬则五=9；

④若值b,引为空间的一个基底，则｛五+b,b+c,c+可构成空间的另一个基底.

其中说法正确的个数为

数学试卷第1页（共4页）

A.0B.1C.2D.3

5.设△4BC的内角4、B、。的对边分别是a,b,c,tan>l=f，且8为钝角.sinA+sinC的取值范围

b

A.除三B.4申C.职］D.(0帝

6.Fi，尸2是分别是双曲线条一卷=l(a>0,b>0)的左、右焦点，户为双曲线右支上的一点，11M与

三边所在的直线都相切，切点为A,B,C,若|P8|=a,则双曲线的离心率为

A.V2B.2C.V3D.3

7.设0<b<a<4b,m>0,若三个数与Va2+b2—ab,mVHF能组成一个三角形的三条边长，则实

数。的取值范围是

A.哼-B.(1,V3)c.哼-a2］D.(V3,2)

8.用C(4)表示非空集合4中的元素个数，定义的T露公%［若4="，*B={T|(/

—L(A),C^A)<—

+a>)•(/+ax+2)=0},且4*Q1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S则C(S等于

A.1B.3C.5D.7

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得。分。

9.下列说法正确的是

A.“工>J”是“a<b”的充分不必要条件

ab

B.AnB=0.是A=。的必耍不充分条件

C.若a,b,c&R,则”如2>儿2”的充要条件是“a>b”

D.若a,beR,则+b2^0”是«|a|+|h|丰0”的充要条件

10.已知四棱锥P-4BCD,底面4BCD为矩形，侧面PCD_L平面4BC0,BC=2y/3,CD=PC=PD=2①.若

点M为PC的中点，则下列说法正确的为

A.BM1平面PCOB.PA〃平面MB。

C.四棱锥M—ABCD外接球的表面积为18nD.四棱锥M-ABC。的体积为12

11.芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能

检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行

抽样检验.记Z表示事件”某芯片通过智能检测系统筛选”，6表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进

生产工艺后，这款芯片的某项质量指标f服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取〃个，这〃个芯片中

恰有R个的质量指标f位于区间(5.35,5.55),则下列说法正确的是(参考数据:-a<f0.6826,

数学试卷第2页(共4页)

PQ-3。＜S式〃+3。)电0.9974)

A.P(B)>P(B|A)

B.PQ4|B)>P(丽

C.P(5.35<f<5.55)«0.84

D.P(m=45)取得最大值时，〃的估计值为54

三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分。

12.如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心。到水平地面的距离为60米，最上端的点记为。，现在摩

天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过1。分

钟点。距离地面(▲)米

13.在平面直角坐标系才如中，方程mQ2+y2+2y+1)=(%—2y4-3>表示椭圆，则"的取值范围为(▲)

14.△4BC中，3siiM+4sinB+18sinC的最大值为(▲)

四.解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤。

15(13分)

如图,在三棱柱"BC—AB'C'中,AB=BC=AC=AA'=A'C=1,AB=*

(1)求BO的长；

(2)若M为4戌的中点，求二面角B-AM-C的余弦值.

16(15分)

在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表

(已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元)：

消费金额(单位：百元)[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

频数2035251055

数学试卷第3页(共4页)

(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z(单位：元)近似地服从正态分布NQ"2),其

中〃近似为样本平均数x(每组数据取区间的中点值，660).现从该市任取20名大学生，记其中网络外

卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X,求X的数学期望；

(2)4市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的

饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、

第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币(已知硬币出现正、反面的概率都是去其中

Po=1)，若掷出正面,将棋子向前移动一格(从k到k+1),若掷出反面，则将棋子向前移动两格(从k到k+2).

重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停

在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.

①设棋子移到第格的概率为求证：当时，是等比数列；

n(2―Pn_J

②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.

参考数据：若随机变量f服从正态分布NQ,/),贝IJPQ-。<SV〃+O=0.6827,P(g-2a<e<g+

2o)=0.9545,PQz-3<T<f</z+3a)=0.9973.

17(15分)

已知点M(-3rn,0)(m>0),N、P两点分别在y轴、x轴上运动，且满足丽,丽=0,HP=^PQ.

(1)求Q的轨迹方程；

(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值.

18(17分)

已知函数/(%)=(%—a)cosx-sinx+a,aeR.

Q)若a=0时，求的所有单调区间；

⑵若9(%)=在瑞力荷在区间［0,叼上的最大值为1,求a的范围.

19(17分)

设(1+2x)k=a。+%%+a2/++…+以/(kN2,keN*).

(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8,求左的值；

(2)设上=号±(neN*),R各项系数的，的，a2,…，以互不相同.现把这％+1个不同系数随机排

成一个三角形数阵:第1列1个数，第2列2个数，…，第〃列〃个数.设4是第1列中的最小数，其中1<i<n,

且记的概率为求证：p2而二r

neN*.0>t2>t3>…>tnn>41几k).

(3)设TieN*且Ti24,集合M={1,2,3,…,n}的所有3个元素的子集记为4,42,…,A或，记取为乙(i=

以015

L2,…，髭)中最小元素与最大元素之和，求哈身的值。

C2015

数学试卷第4页(共4页)

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八省适应性联考模拟演练考试（二）

数学参考答案

题号12345678910

答案BDBBABCBBDBD

题号11

答案BC

12.3513.(5,+oo)14.苧

15(1)取4c的中点0,连接。8,0A'.

■.■A'C=AA',AB=BC,ACLOA',ACLOB.

又。4n0B=0,0A',OBu平面。AB,.MCI平面OA'B,

又4Bu平面。AB,.••4CJ.4B...........................................3分

vA'C'//ACA'C1A'B

^A'C=1,A'B=l，-.BC'=Jl+合乎................................5分

（2）如图，以。为坐标原点，040B所在直线，过。且与平面4BC垂直的直线分别为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，如图

C'

则易得A&0,0),B(O,4o),C(—屈=(—：,今0),AC=(—1,0,0).....6分

设MQi，%,Zi)，Zi>0,由M为4B'的中点，可得祈=白旃=工通=(一；,四,0),则

22\44/

&(与+1力一乎，zj,

3+丁+(yi-v)+zi=；91=_i

由“'B=44'=1，AC=1，可得.11+(yi-Y)+Zi=1>解得,%=0,

、3

、&+：)+(%-7+Z1=1Z】4

答案第1页，共6页

...M(\,0,»,4,(0,_抬)..................................................................................8分

设平面ABM的法向量为底=(x2fy2,Z2)f

则像*

令％2=V3,可得汨=(V3,1,V3).....................................................................................10分

设平面2CM的法向量为荻=。3，丫3/3),

则住•元=0―“3=0

即+潴=0

in；■AM=0

则巧=Z3=0,可得通=(0,1,0)....................................................................................12分

赃os(耳磅=符篇=专=9，

易知二面角B-AM-C为锐二面角，

；•二面角B-AM-C的余弦值为了...........................................13分

16.(1)元=250x0.2+750x0.35+1250x0.25+1750x0.1+2250x0.05+2750

x0.05=1050,

因为Z服从正态分布N(1050,66为),所以P(390<Z<2370)=P(jx-a<Z<n+2a)=

0.9545—0.6827

0.9545-=0.8186.

2

所以X〜8(20,0.8186),

所以X的数学期望为E(X)=20x0.8186=16.372....................................................5分

(2)①棋子开始在笫0格为必然事件，P。=1.

笫一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为3即Pl=;.

棋子移到第"(2<n<59)格的情况是下列两利1,而且也只有两种:

棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为^Pn_2；

棋子先到笫n-l格，又掷出正面，其概率为:Pn_i，

所以4=^Pn-2+^Pn-l......................................................分

即％-PnT=~\(Pn-1-Pn-2)，且居一Po=-

答案第2页，共6页

所以当1VMW59时，数列｛2一Pn_J是首项Pi—Po=—2公比为一:的等比数列.•…10分

3n

②由①知P1_l=_；，P2_PI=(一§2,P3-P2=(-l),^-Pn_1=(-1)，

以上各式相加，得匕一1=(_：)+(_§(—0，

所以&=1+(-]+(-§+-+(-0"=|[1-(~0n+1(,n=0,1,2,-,59)...12分

所以闯关成功的概率为Ps9=—(-J6,=g[l—GY。],

闯关失败的概率为P60=衿8="他-(-旷]=他+GY".

6

P59-P60=|[l-G)°]-t[l+的=中-a]>0.....................15分

所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.

17(1)设点Q(x,y),因为而=g所，且点N在y轴上，所以N(O,-3

又M(-3m,0),则而=(3犯一》而=(%•，

由而•NQ=3mx-\y2=0,二y2=4mx,

故点Q的轨迹方程为y2=4mx...................................................5分

(2)设该正方形为4BCD,其在y2=4mx上的三个顶点为4(乙,%)、B(x2,y2)^C(x3,y3).

不妨设a,B在x轴的下方(包括x轴)，且旷3No2丫2>%，

则与=奈*2=第，=3=今，..................................................6分

丫2-3=喘一霜

设直线48的斜率为匕贝小

二俚一遐)'

33—丫2=k\4m4mJ

所以％=等一丫2，73=-4mk-y2,故%+为=等<0，故k<0.

5L\AB\=\BC\,所以Jl+.5-％)=VTTI然y3一旷2)，......................8分

:.丫2-%=一卜。3~丫2)，将当，丫3用力表示，

47nA:2+4m

得丫2-等+丫2=-k(-4mk-2y2),二为=2(_k+1*>

故1ABi=\BC\=Vl+fc2(y-yz)=4m............................10分

3”受：)Z

号=(一k)+3?2,当且仅当忆=一1时等号成立'

答案第3页，共6页

又2(，1+_(一1+1)2=(1+a2(J,当且仅当卜=一1时等号成立，.......11分

结合一k+l>0,故号n],当且仅当k=一1时等号成立，

故|BC|247nx2x^=4肪n,当且仅当k=一1时等号成立，..................13分

所以正方形面积立垣=32m2,当k=一1时取最小值...........................15分

18(1)当a=0时，y(x)=xcosr-sinx,f'(x)=-xsinx.

当*《[2kn,2fcn+ir],々€2且220时,ff(x)<0；

当工€[2/nr+n,2/ni+2TT],k£Z且kNO时，/'(%)>0;

[2/ar,2/ni+ir]关于原点对称为[-2kli-ir,-2/cn],

\2kn+71,2/cn+2ir]关于原点对称为[-2/m-2n,-2k.it-TT],

•・？(%)定义域为R，K/(x)+/(-%)=0,・\/(x)是奇函数，

・・・加r)在关于原点对称的区间上单调性相同，

；♦/(%)的减区间是[2E,2E+ir],[-2fcn—-2kn],kwZ且A>0；

/(%)的增区间是[2/nr+Tr,2/nr+2ir],[-2kit-2ir,-2kn-ir],keZ且々>0...............6分

(2)ff(x)=(a-x)sinx,xG[0,n].

(i)当a40时，，％w(0,n)时，a-x<0,sin%>0,.,.广(%)V0,/(%)单调递减.......8分

此时f。)</(0)=0,而Q-a)2+|a-sina|>0,：,g(x)=0°，此时不合

题意：

(ii)当0<a<n时，x变化时尸(x)、f(x)变化如下表:

X(0,a)a(初)

f'(x)+0—

/(X)/极大值

答案第4页，共6页

此时f(x)在[O/ir]上最大值为/(x)max=f(a)=CL-sina.......................................10分

而y=(%-a)?+|a-sina|在(0,。)单调递减，在(。，兀)单调递增，

2

A[(x—a)+|a-sina|]min=|a-sina|,

易证y=x—sinx在上单调递增，.........................................11分

故歹=》一siiu20—sin0=0,即在[0,ir]上，迂sinx,

2

故OVQVir时,\a-sina|=a-sina,A[(x-a)+|a-sina|]min=a-sina,

又g(a)=於器=1,故当％=以时，g(»取最大值L

...0VaV符合题意；.........................................13分

(出)当。=11时，g(%)=(/；?+#f(x)=(x-7r)cosx-sinx4-n,/z(x)=(*ir-x)sinx,

xG(0,-n:),IT—%>O,sinx>0,・"'(%)>0,f(%)单调递增,

2

f(x)max=fS)=九，[(X-n)2+^]min=(H-II)+H=IT,

・・・0。)工3=1，且当％=兀时.，g(X)=1,符合题意..............................14分

(iv)当a>ir时，・・・％6(0中)时，・・・a-%>0,sinx>0,・・・尸。)>0,/(%)单调递增，

此时f(x)max="①=2a-K,

y=(%一a)2+|a-sinal在[0,n]上单调递减，

22

[(x-a)+|a-sina|]min=(TT-a)+a-sina,故g。)《(…。二田

又g(n)=汨而f

2a-n

要使有最大值，则1,...................................................................15分

g(x)(ir-a)2+a-sina

整理得(ir-a)2-a-sina+ir=0,

设九(x)=(IT—x)2—x—sinx+n,x>n.

则》(x)=2(%—u)—1—cosx,令?n(%)=hr(x),

则MQ)=2+sinx>0,・・・》(%)单调递增，

・•・4(%)>本⑺=0,・••九Q)单调递增,

：.h(x)>/i(n)=0,故九Q)=0在(m+8)内无解,

即一岁—。1，故a〉n不合题意；.......................................16分

(n-a)z+a-sma

综上，ae(O,ir]..............................................................................17分

答案第5页，共6页

19.(1)因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8,即筌

Ck28

所以绛=三，即一--=-,所以修一9