2025届高考数学复习：函数模型及其应用（附答案）

2025届高考数学复习：优质好题专题（函数模型及其应用）练习

一、单选题

1.（2024高三上•广东深圳•期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该

产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本0（x）万元.其中

x2+10x,0<x<40

0（x）=（10000，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71x+----------945,x>40

、x

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.875万元D.900万元

2.（2024・浙江・二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120。的等腰梯形

（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面

积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参考数

据：6*1.732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

3.（2024高三下•北京•开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少

50%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）

（参考数据：lg2«0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

4.（2024・全国）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业

取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解

决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，

位于地月连线的延长线上.设地球质量为AG,月球质量为AG,地月距离为R4点到月球的距离为厂，根

据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满足方程：苍J+牛=（火+0条.

（A+r）rR

设a==,由于。的值很小，因此在近似计算中：、:“33,贝”的近似值为

R（1+ay

1

5.（2024・全国）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由

于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500

份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

6.（2024•河南郑州•模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、

保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量4（单位：L/min）计算公式为q=K/7市和保护对象的水雾喷

S-W

头数量N计算公式为N=——计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流

q

量系数（其值由喷头制造商提供），s为保护对象的保护面积，平为保护对象的设计喷雾强度（单位：

L/min.m2）.水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的

数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为14nl2,

保护对象的设计喷雾强度少为20L/min.m,时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：后a1.87）

（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

7.（2024・四川成都•三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果

物体的初始温度是4,环境温度是E，则经过fmin物体的温度。将满足其中人是一个

随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有9（TC的物体，若放在的空气中冷却，经过lOmin物体

的温度为5（TC,则若使物体的温度为2（FC,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

8.（2024・福建福州•模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标,

银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：

-0.9680+Ax

,

万元）的Logistic,模型：尸（》）=［上一。.968。+底已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.

若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：ln3“1.0986,

2

In2«0.6931）

A.4.65万元B.5.63万元C.6.40万元D.10.00万元

9.（2024•江苏南通•模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某

造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良

工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/n?,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为

3

2.21g/m,第"次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型

〃eN*）,其中“为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，〃为首次改

良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，”为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过

0.25g/n?时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考

数据：lg2«0.30,lg3«0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

10.（2024•江西•二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草

莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依

次分为4个等级，其等级无（尤=1,2,3,4）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关

系式＞若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，贝”

级草莓的市场销售单价最接近（）（参考数据：殍1.26,退“1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

11.（2024・重庆•模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲

醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08mg/n?,二类建筑O.lmg/n?.二类建筑室内甲醛浓度小于等于

O.lmg/n?为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境

下时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25mg/n?,4周后室内甲醛浓度为0.36mg/m3,且室内甲醛浓度P⑺（单

位：mg/n?）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式夕⑺=e"+J则该

教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A.5周B.6周C.7周D.8周

12.（2024•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅

楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本了（单位：万元）的数据整理

成如图所示的散点图：

3

每平米平均建筑成本/万元

20-

15-

10-.

5-・

•・

010203040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用了和楼层数X的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

13.（2024•全国）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小

数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录表的数据%满足£=5+lgP.已知某同学视力的五

分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（狗al.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

14.（2024高二•全国•课后作业）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为Li=5.06x

—0.151和L2=2X,其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润

为

A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51

15.（2024高三上•北京东城・开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微

生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化

碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化

碳的浓度为了%,且y随时间f（单位：分钟）的变化规律可以用函数＞=0.05+加*（XeR）描述，则该教室

内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间/（单位：分钟）的最小整数值为（）

（参考数据ln2«0.693,In3e1.098）

A.5B.7C.9D.10

16.（2024•四川）某食品的保鲜时间了（单位:小时）与储藏温度x（单位:。C）满足函数关系昨eS（e=2.718…

为自然对数的底数，左涉为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22。（2的保鲜时间是48小时，

则该食品在33。（2的保鲜时间是

A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时

17.（2024・四川成都•模拟预测）某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过/天后，

4

用户人数P。）。加小，其中左和%均为常数.已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2

万名至少经过的天数为（）（天数按整数算，取lg2=0.30）.

A.20B.21C.22D.23

18.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）英光定量尸CR是一种通过化学物质的英光信号，对在PCR扩增

进程中成指数级增加的靶标ON4进行实时监测的方法.在尸CR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阀值时，

DN4的数量X与扩增次数“满足lgX,="lg（l+p）+lgX。，其中X。为。N4的初始数量，〃为扩增效率.已知

某被测标本/W扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率P约为（）（参考数据：

10^«2.154,10^»1.778）

A.56.2%B.77.8%C.115.4%D.118.4%

19.（2024・湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为P,第二年的增长率为9,则该市这两

年生产总值的年平均增长率为

Ap+q口5+D（q+i）-i

22

C.屈D.7（/7+1）（^+1）-1

20.（2024高一上•青海西宁•期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件

加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理为：发送方由明文一密文（加

密）,接收方由密文一明文.现在加密密钥为y=履',如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“工”,

256

则解密后得到的明文是（）

A.-B.—C.2D.一

248

21.（2024高一上•全国•课后作业）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备

用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.953.003.945.106.12

y0.971.591.982.352.61

22.（2024高一•全国•课后作业）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是＜=力卜）=4》,

f3(x)=log3x,A（x）=2\如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是（）

5

X

A.<(x)=fB.f2(x)=4xC.f}(x)=log3xD.f4(x)=2

二、多选题

23.（2024・辽宁大连•三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型:

其中正实数X。』分别为甲、乙两方初始实力，，为比赛时间;

（。分别为甲、乙两方f时刻的实力；正实数6分别为甲对乙、乙对甲的比赛效果系数.规定当甲、乙两

方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为T.则下列结论正确的是（）

A.若工＞毛且a=6,贝

B.若Xo＞玉且贝”7=;NF~y-

c.若加＞2,则甲比赛胜利

Yoa

D.若冬＞、P，则甲比赛胜利

YoVa

24.（2024高一上•山东德州•阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象,

假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）

A.野生水葫芦的面积每月增长量相等

B.野生水葫芦从9m②蔓延到36mz历时超过1个月

C.设野生水葫芦蔓延到9m°,20m2,40m?所需的时间分别为％,%，则有。+与＜2%

D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均

速度

6

25.（2024高一上•山东德州•期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度

是4（单位：℃）,环境温度是4（单位：℃）,其中%＞，、则经过f分钟后物体的温度。将满足

d+（%-4）9”（左eR且后＞0）.现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究

红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值卜220.7,1113。1.1）

A.若〃3）=40℃,则〃6）=20℃

B.若左=$，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟

C.5分钟后物体的温度是4（TC,左约为0.22

D.红茶温度从80（下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多

26.（2024•广东•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状

态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测

得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间/（单位：分）之间满足函

数关系＞=/（/）,其中兴=尺（尺为常数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全进入车

JV7

库了，则下列说法正确的是（）

A-；

A-R=e4

B.公皿

4

C.排气12分钟后，人可以安全进入车库

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

27.（2024•全国）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=20x1g二，

Po

其中常数A（4＞0）是听觉下限阈值，。是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为则（）.

7

A.px>p2B.夕2>1023

C.夕3=100夕oD.PiV100夕2

三、填空题

28.（2024高三•全国•专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）

5'-20＜x＜l

变化的规律近似满足表达式/（》）=3flY《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾

—­—X＞1

15⑴

驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车.（精确到1小时）

29.（2024•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值

钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x,

x+j^+z=100,

歹，z,则＜1当z=81时，x=，y=.

5x+3y+§z=100,

30.（2024•北京朝阳•一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化

_A%sinh^Va^?j

无⑺=Xocosh

遵循兰彻斯特模型:其中正实数X。，%分别为红、蓝两方初始

y[t^=Yocosh

兵力，，为战斗时间；无«）,分别为红、蓝两方，时刻的兵力;正实数。，6分别为红方对蓝方、蓝方对

红方的战斗效果系数；coshx=W;和51曲8=4二分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝

两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T.给出下列四个

结论：

①若冗＞七且°=人则X（/）＞M0（OV/WT）；

②若4＞为且则T='ln

a

③若乎＞2,则红方获得战斗演习胜利；

Yoa

④若冬则红方获得战斗演习胜利.

YQVa

其中所有正确结论的序号是

31.（2024高二上•广东深圳•期末）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条

8

长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段

分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过〃次这样的操作后，去掉的

所有线段的长度总和大于9色9，则〃的最小值为.（参考数据：lg2合0.301,1g3go.477）

------------------第1次操作

————第2次操作

------------------第3次操作

・・・・・・・・・・・•

32.（2024高三上•湖南常德•阶段练习）研究发现，某昆虫释放信息素/秒后，在距释放处x米的地方测得

的信息素浓度y满足lny=-；lnL：f+a,其中左为非零常数；已知释放i秒后，在距释放处2米的地

方测得信息素浓度为加，则释放信息素4秒后，距释放处的米的位置，信息素浓度为5.

33.（2024高三下•江苏南京•开学考试）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面

软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探

测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨

道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为地月距离为凡J

点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程：花”'+牛=（尺+〃）暮.设。，

由于a的值很小，因此在近似计算中,“3a3,则r的近似值为_______.

（1+a）

34.（2024•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格

依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果

的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.

35.（2024高三上•福建龙岩•阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音

时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.

已知听到的声强/与标准声强4（4约为10*,单位：w/n?）之比的常用对数称作声强的声强级，记作£

（单位：贝尔），即2=lg：.取贝尔的/。倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度了

（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度X（单位：米）之间满足关系式y=x+10,若甲游客大喝一声的声

强大约相当于100个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差

为.

9

36.（2024高三下•北京海淀•阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，

即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，

科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率3与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即

B=oT\b为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本

实验结果为例，B为纵坐标，以厂为横坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实

验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式.

37.（2024高三下•河南平顶山•阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务

中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm,宽为10cm的矩

形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长

度的取值范围是cm.

四、解答题

38.（2024高三•全国•对口高考）如图是下水道的一种横截面，上部为半圆，下部为矩形，若矩形下底边长

为2x,此横截面面积为乃周长为/（常量），求：

（与x之间的函数表达式V=及其定义域；

⑵/（x）的最大值.

39.（2024•江苏）如图，建立平面直角坐标系xoy,尤轴在地平面上，了轴垂直于地平面，单位长度为1千

米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程＞=履-（（1+左2）/（左＞0）表示的曲线上，其中左与

发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

10

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标。不超过多少时,

炮弹可以击中它？请说明理由.

40.（2024高三上•江西赣州•阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿

水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场

价V（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表.

上市时间X/天2632

市场价V/元1486073

⑴根据上表数据，从①y=@+6（。30）,②y=0gz,x（a*0,6>0/X1）,③y=or+2（a>0,b>0）中选取一

xx

个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析

式；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.

41.（2024・湖北）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），

其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2nl的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费

用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.设修建此矩形场地围墙的总

费用为y

（1）将y表示为x的函数;

（II）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

42.（2024高三上•黑龙江哈尔滨•开学考试）今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。自福建南部沿海登陆

以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥

石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，

11

部分公路、桥梁发生不同程度水毁。哈尔滨五常市某农场已发现有400m2的农田遭遇洪涝，每平方米农田受

灾造成直接损失400元,且渗水面积将以每天10m2的速度扩散.灾情发生后,某公司立即组织人力进行救援，

每位救援人员每天可抢修农田5m2,劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴.

若安排x名人员参与抢修，需要f天完成抢修工作，渗水造成总损失为V元（总损失=因渗水造成的直接损失

+各项支出费用）.

（1）写出了关于尤的函数解析式；

（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失.

43.（2024•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方

米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（xN10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48X（单位：元）.为了使

楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用黑器）

44.（024高三•黑龙江）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特

色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量少（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：

5（X2+3）,0<X<2

W{x}=<5Ox_/=,肥料成本投入为lOx元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已

---,2<xW5

、l+x

知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为/（》）（单位：元）

（1）写单株利润“X）（元）关于施用肥料尤（千克）的关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

45.（2024高一上•四川成都・期中）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y

是这种新材料的含量x（单位：克）的函数.研究过程中的部分数据如下表：

X（单位：克）02610

j_

y-488

9

已知当X27时，T=W,其中用为常数.当0Wx<7时，了和x的关系为以下三种函数模型中的一个:

①^=办2+反+。；②y=h优（a>0且；③>=（a〉0且4W1）；其中左，〃也C均为常数.

⑴选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；

（2）求该新材料的含量X为多少克时，产品的性能达到最大.

12

参考答案

一、单选题

1.（2024高三上・广东深圳•期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该

产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本0（x）万元淇中

x2+10x,0<x<40

。（”=10000，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每

71x+----------945,x>40

年利润的最大值为（）

A.720万元B.800万元

C.8乃万元D.900万元

【答案】C

【详细分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的

最大值.

70x-（x2+10x+25）,0<x<40

【过程详解】该企业每年利润为/（》）=（10000、

70x-71x+----------945+25,x>40

当0vx440时，/(x)=-x2+60x-25=-(x-30)2+875

在x=30时，/（x）取得最大值875；

当x>4。时，小）=92。-"，卜92。-产=720

（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，/（x）取得最大值720；

由875>720,可得该企业每年利润的最大值为875.

故选：C

2.（2024•浙江•二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120。的等腰梯形

（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面

积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参考数

1

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【答案】B

【详细分析】如图设横截面为等腰梯形MCD,BELCD于E,求出资金3万元都用完时,48+BC+N。,

设3C=x,再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.

【过程详解】如图设横截面为等腰梯形48cD,BELCD于,E,/BAD=/ABC=120。,

要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，

贝IJ100x（48+8。+皿xl00=30000,解得48+30+3=3米，

设J3C=x,则N8=3-2X,BE=#X,CE=9X,故C»=3—X,且0<X<|,

梯形ABCD的面积3=（3-2X+37）X[X=吗,

当x=l时，s111ax=亚，

4

此时BE=迫a0.87,

2

即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为0.87米.

故选：B.

3.（2024高三下•北京•开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少

50%,若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤（）

（参考数据：lg2z0.3010）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】D

【详细分析】设出未知数，列出不等式，结合指数和对数运算法则计算出答案.

【过程详解】设经过〃（〃eN）次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，

则（1-50%）”<5%,即m

2

不等式两边取常用对数得：«lg2>lg2+l,解得：”>毕?土4.3,

1g2

故至少需要过滤5次.

故选：D

4.(2024•全国)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业

取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解

决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，

位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为地月距离为上4点到月球的距离为r,根

MMM

据牛顿运动定律和万有引力定律，〃满足方程：证午+?=氏+玲蕾.

设a=2,由于夕的值很小，因此在近似计算中以n3〃,则厂的近似值为

R(1+«)

【答案】D

【详细分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立］的方程，解方程、近似计

算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变

形及运算求解能力的考查.

【过程详解】由得—aR

R

因为证了+产

所以『+*=(1+

火(1+a)aR

即誓=-2[(I+①一=05：3优;至X34,

Mx(1+a)(1+a)

解得a4猴

所以…J赢艮

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式

3

子的变形出错.

5.（2024•全国）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由

于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500

份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【详细分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【过程详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900,

等=18,故至少需要志愿者18名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

6.（2024•河南郑州•模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、

保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为q=K/瓶和保护对象的水雾喷

S-W

头数量N计算公式为N=——计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa）,K为水雾喷头的流

q

量系数（其值由喷头制造商提供），s为保护对象的保护面积，沙为保护对象的设计喷雾强度（单位：

L/min.m2）.水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的

数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa,水雾喷头的流量系数K为24.96,保护对象的保护面积S为Mm?,

保护对象的设计喷雾强度少为20L/min-m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：百不a1.87）

()

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】C

【详细分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.

【过程详解】依题意，P=0.35MPa,K-24.96,S=14m2,W=20L/min-m2,

S-W14x20280

由夕=长＞/］而,N=2丝，得"=~6,

qKs/lOP~24.96x67~24.96x1.87

所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.

故选：C

4

7.（2024•四川成都•三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果

物体的初始温度是4,环境温度是〃，则经过fmin物体的温度。将满足。=%+（4-4）/,，其中人是一个

随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有9（TC的物体，若放在10。＜2的空气中冷却，经过lOmin物体

的温度为5（rc,则若使物体的温度为2（rc,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【详细分析】首先根据。=4+（4-q）e”及物体经过lOmin物体的温度为50℃得出左的值，再求出。=20时

f的值即可.

【过程详解】由题意得用=90,4=10,。=50,”10代入，

50=10+（90-IO）-】映，即

所以后=\ln2,

所以8=%+（4_4）//2，

由题意得4=90,4=10,。=20代入，

ri，1C—in21

即20=10+（90_10）晨而"~，侍e=-,

即一工In2=ln、=-31n2,解得f=30,

108

即若使物体的温度为20（,需要冷却30min,

故选：C.

8.（2024•福建福州•模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标,

银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：

—0.9680+Ax

万元）的Logistic,模型：P（x）=09680+A，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.

若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：ln3«1.0986,

In2«0.6931）

A.4.65万元B.5.63万元C.6.40万元D.10.00万元

【答案】A

【详细分析】先根据题中数据代入计算函数P（'）中参数左的值，然后计算尸（%）=40%时％的值即可.

5

-0.9680+8左i

【过程详解】由题意尸(8)=M皿=5。％三

「。.968。+8*=1即_0.9680+8左=0,得左=0.121,所以

e-0.9680+0.121x

尸(乃=

]+©-0.9680+0.⑵x

6-0.9680+0.121%

令尸(x)==40%=-

।^-0.9680+0.12l.v5

得5e-69680+0.⑵X-09680+0121x

_2(]+e-

得e-0.9680+0.121X2

3

2

得-0.9680+0.125=吗

In2-In3+0.9680

得工二---------------«4.65

0.121

故选：A.

9.(2024•江苏南通•模拟预测)为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某

造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良

工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/n?,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数