2025届高考数学复习《平面解析几何综合问题》练习（附答案）

2025届高考数学复习压轴小题专项（平面解析几何综合问题）好题练习

一、单选题

22

1.（2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知片，耳是双曲线C三-与=1的左、右焦点，尸,。

ab1

为双曲线C上两点，满足片尸〃与0,且|EQ|=|与尸］=3|耳尸则双曲线C的离心率为（）

22

2.（2023•江苏南通•模拟预测）已知椭圆C：芯+}=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,以月为圆

心的圆与X轴交于耳，B两点,与y轴正半轴交于点A,线段N4与C交于点若忸与c的焦距的比值

为叵,则C的离心率为（）

3

A.更二1B.1A/3+1口不~1

224,2

3.（2023•江苏镇江・扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线"：x+wy-3加-1=0与自

〃7X-y-3m+l=O相交于点M,线段48是圆C：(x+1)2+(j/+l)2=4的一条动弦，且|48卜，^AMA-MB

的最小值为（）

A.6-472B.3-V2C.5+VID.75-1

4.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）已知向量万=（x+l,石+y）,B=（x-l,6-y）,满足21彼的动点〃（x,y）的

轨迹为£,经过点N（2,0）的直线/与£有且只有一个公共点A,点P在圆/+（y-20）2=l上，则/P的最

小值为（）.

A.3-2&B.72-1

C.2拒-2D.1

22

5.（2023-江苏苏州・苏州中学校考模拟预测）已知椭圆］+==1e>6>0））的焦点为耳，F2,P是椭圆

上一点，且2两.阳=|闻川恒若△片的内切圆的半径/满足户勾=3rsin4月尸，则日产（其

中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）

73V10「屈n2V2I

Dn.-------C.-----U.-------

1077

6.（2023春•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线Lx?-/=4的左，右焦点分别为不工,

过用作垂直于x轴的直线交双曲线于42两点，口/耳用口叫耳口耳的内切圆圆心分别为日,。2，。3,则

口。02。3的面积是（）

A.672-8B.6V2-4C.8-472D.6-472

22

7.（2023•江苏南京•南京市第五高级中学校考二模）已知耳，月分别是双曲线「十方=1（。>01>0）的

左、右焦点，过耳的直线分别交双曲线左、右两支于42两点，点C在x轴上，CB=3F^,BF2平分NF&C,

则双曲线「的离心率为（）

A.V7B.V5C.V3D.V2

8.（2023•江苏南通•二模）已知B,B分别是双曲线C：6>0）的左、右焦点，点尸在双曲

2222

线上，PF,1PF2,圆O：x+y=^a+b）,直线尸B与圆。相交于，，8两点，直线PB与圆。相交于

M,N两点.若四边形©W2N的面积为9/,则C的离心率为（）

A.-B.-C.@D,

4525

22

9.（2023秋•江苏南京•高三南京市第一中学校考阶段练习）已知双曲线-方=l（a>0,6>0）的左、右

焦点分别为耳，F],P是双曲线E上一点，PFhB，/4隼的平分线与无轴交于点0,22=：,则

、4PF位J

双曲线E的离心率为（）

C.用

A.V2B.2D.V3

2

22

10.（2023•江苏盐城・盐城中学校考三模）已知A、5是椭圆,方=1（。>6>0）与双曲线

22

鼻-白=1（。>0,6>0）的公共顶点，P是双曲线上一点，PA,交椭圆于M,N.若ACV过椭圆的焦点9,

且tanN4MB=-3,则双曲线的离心率为（）

D.当

A.2C.V2

11.（2023春・江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学

习内容是“探究函数y=x+工的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数y=2x+^的图象绕

XX

原点顺时针旋转得到焦点位于无轴上的双曲线C,则该双曲线C的离心率是（）

A.—J八B.C.10-475D.710-475

22

二、多选题

12.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）圆柱高为1,下底面圆。的直径N8长为2,8片是圆柱。旦的一

条母线，点R0分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）.

A.若P4+PB=3,则尸点的轨迹为圆

B.若直线。尸与直线。4成45。，则尸的轨迹是抛物线的一部分

C.存在唯一的一组点尸,0,使得/尸，尸。

D./尸+「。+0月的取值范围是［旧,26+班］

13.（2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）若点尸是棱长为2的正方体-44G。表面上的动点，

点M是棱44的中点，则（）

A.当点P在底面48CD内运动时，三棱锥P-GRM的体积为定值§

B.当/PLDM时，线段/P长度的最大值为4

C.当直线NP与平面/BCD所成的角为45。时，点P的轨迹长度为4亚+乃

D.直线。“被正方体"3CD-4与GA的外接球所截得的线段的长度为g

14.（2023秋・江苏泰州•高三统考期末）过圆O：/+丁=8内一点网1,6）作两条互相垂直的弦Ag,CD,

得到四边形NO8C,则（）

A.H目的最小值为4

B.当［48|=2班时，］。回=2疗

C.四边形/D8C面积的最大值为16

D.衣.丽为定值

15.（2023春・江苏南通•高三校考开学考试）已知过抛物线C:/=4x焦点厂的直线/交C于48两点，交C

的准线于点其中B点在线段上，O为坐标原点，设直线/的斜率为左，则（）

A.当左=1时，以4=8B.当％=2后时，忸叫=|/却

C.存在上使得N/O8=90°D.存在上使得乙108=120。

16.（2023春•江苏南京•高三南京师大附中校考开学考试）已知经过点尸（2,4）的圆C的圆心坐标为（0,f）（?

为整数），且与直线/：屈-了=0相切，直线小：办+了+2a=0与圆C相交于/、8两点，下列说法正确

的是（）

A.圆C的标准方程为/+（了一叶=9

B.若尸/1PB,则实数。的值为-2

C.若|/8|=2血，贝。直线〃?的方程为x7+2=0或7x7+14=0

D.弦48的中点M的轨迹方程为（x+1）2+（V-2『=5

17.（2023春・江苏南京•高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线G：»=e',抛物线。2：/=©，

P（x「,处）为曲线G上一动点，。（%，%）为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的

公切线，则以下说法正确的有（）.

A.直线/：了=尤+1是曲线G和C2的公切线；

B.曲线G和的公切线有且仅有一条；

C.|尸。|+无2最小值为&-1;

D.当P0//X轴时，口。|最小值为W工.

18.（2023秋・江苏南京•高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线1-4=1的左、右焦点分别是片，月，点尸

169

在双曲线的右支上，则（）

A.若直线2片的斜率为左，则阀e

B.使得△尸与名为等腰三角形的点P有且仅有四个

,144

C.点尸到两条渐近线的距离乘积为石

D.已知点0（7知）,则内尸|+|尸。|的最小值为5

19.（2023春・江苏南通•高三校考开学考试）在平面直角坐标系》帆中，P是直线/：x+y+2=0上一点（除

去与无轴的交点），过P作抛物线c：¥=2》的两条切线，切点分别为N,B,直线为，尸8与X轴分别交于

点、M,N,则（）

A,直线过定点（一1,2）B.的最小值为石

C./MW为锐角D.次.砺最小值为一1

20.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为凡直线/与C交于/（国,必），

8（%,%）两点，其中点/在第一象限，点M是的中点，作"N垂直于准线，垂足为N,则下列结论正

确的是（）

A.若直线/经过焦点尸，且刀.无=-12,则。=2

B.若疝?=3而，则直线/的倾斜角为g

C.若以为直径的圆“经过焦点尸，则篇的最小值为四

D.若以48为直径作圆则圆M与准线相切

22

21.（2023•江苏徐州•江苏省沛县中学校考模拟预测）己知。为坐标原点，椭圆C：・+匕=l（a>2行）.过点

a8

”（亚,1）作斜率分别为弓和一日的两条直线4,4,其中4与c交于尸，。两点，4与C交于邑7两点，且

OP^2OM>则（）

A.C的离心率为正B.\ST\=6

2

1111..............................

C\^+\MQ\=\MS\+\MT\D-尸，O，S，7四点共圆

22.（2023秋・江苏南通•高三统考阶段练习）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，

它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，"（-2,0）,

N（2,0）,动点尸满足|PMHPN|=5,则下列结论正确的是（）

A.点尸的横坐标的取值范围是卜石，石］

B.|。目的取值范围是［1,3］

C.□PAW面积的最大值为：

2

D.|月囱+|尸川的取值范围是［2有,5］

22

23.（2023•江苏•高三专题练习）设椭圆C：5+方=1（。>6>0）,矶08），/（%,"）为椭圆C上一点，加40,

点民/关于无轴对称，直线E4劭分别与x轴交于两点，则（）

A.H目的最大值为V7万

B.直线E4EB的斜率乘积为定值

C.若V轴上存在点尸，使得NMPO=NPNO,则尸的坐标为（0,。）或（0,-。）

D.直线/N过定点

24.（2023春•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）设直线/与抛物线j?=4x相交于4,8两点，与

圆（x-5）2+y2=，2&>0）相切于点物％,%）,且加•为N8的中点.（）

A.当为=1时，的斜率为2B,当%=2时，|/却=8

C.当厂=5时，符合条件的直线/有两条D.当厂=3时，符合条件的直线/有四条

25.（2023•江苏盐城•校考三模）画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条

垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

C：5+V=1.4,月分别为椭圆的左、右焦点，直线/的方程为X+虚>-3=0,M为椭圆C的蒙日圆上一动

点，M4,MB分别与椭圆相切于48两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.椭圆C的蒙日圆方程为无2+/=3

B.记点A到直线/的距离为d,则d-|盟|的最小值为竽

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6

D.口/Q5的面积的最小值为|,最大值为正

32

26.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知双曲线C:x2-1=1的左，右焦点分别为耳，用，点尸是双曲线

C的右支上一点，过点尸的直线/与双曲线C的两条渐近线交于M,N,则（）

A.尸外-2卮2的最小值为8

B.若直线/经过月，且与双曲线C交于另一点°,则户。|的最小值为6

C.|尸7讣户闻叶为定值

D.若直线/与双曲线C相切，则点/，N的纵坐标之积为-3

27.（2023•江苏•统考模拟预测）椭圆曲线/+即=x3+6x2+s+d是代数几何中一类重要的研究对象.关于

椭圆曲线「：y2-2y=x3+mx-3,下列结论正确的是（）

A.曲线r关于点（0,-3）对称

B.曲线「关于直线y=l对称

C.当加=-3时，曲线r上点的横坐标的取值范围为［2,+C0）

D.若曲线「上存在位于.v轴左侧的点，则mW-3

28.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考三模）已知抛物线C:x?=2y的焦点为尸，准线为/,直线>=区+以

与C相交于48两点，M为的中点，则（）

A.若巾=2,则4402=90°

B.若3AuuFm=1UFULB，则直线的斜率为也包1

21

C.口08尸不可能是正三角形

D.当48=4时，点M至心的距离的最小值为2

29.（2023秋•江苏南通•高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点尸是抛物线C：的焦

点，点尸是C上异于原点。的动点，过点尸且与C相切的直线/与〉轴交于点。，设抛物线C的准线为机，

PHLm,“为垂足，贝|（）

A.当点P的坐标为（2,1）时，直线/的方程为x-y-l=0

B.设拉（2,2）,则必⑷+归可的最小值为4

C.\PQf-4\OQ\-\HQ\

D.NFPH=2NFPQ

30.（2023•江苏淮安•江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆

C:（x-2m-1）2+（j-m-1）2=4/n2（加W0）,则下列说法正确的是（）

A.存在圆C经过原点

B.存在圆C,其所有点均在第一象限

C.存在定直线/,被圆C截得的弦长为定值

D.所有动圆。仅存在唯一一条公切线

三、填空题

22

31.（2023秋・江苏•高三淮阴中学校联考开学考试）设椭圆7：1r+芫=1（〃>2右）的右焦点为尸，过点尸（U）

的直线/与椭圆交于点4B,M为48的中点，使得|四|是|同、眼|的等比中项，则a的最小整数值为一

32.（2023•江苏淮安•江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）抛物线「/=2刀（p>0）的焦点为尸，过尸的

直线交「于48两点，「在48两点处的切线交于点州（1,-则弦的长为.

22

33.（2023秋•江苏淮安•高三统考开学考试）椭圆0：三+二=15>6>0）的左、右焦点分别为大，耳，上顶

ab

点为4直线4片与椭圆C交于另一点瓦若乙4£8=120。，则椭圆C的离心率为.

34.（2023•江苏徐州•江苏省沛县中学校考模拟预测）已知直线2x-y-2=0与双曲线C：乂2-/=1交于点

/（xQi），2（%，%）/（x3，%）为C上一点，且看<三<三,“<%<%，则的面积最大值为.

35.（2023秋•江苏南京・高三南京外国语学校校考阶段练习）已知点/（1,2）在抛物线/=2px上，过点工作

圆（X-2）2+「=2的两条切线分别交抛物线于3,C两点，则直线BC的方程为.

36.（2023秋•江苏南通•高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-8x=0,过点

的动直线/与圆C交于点M,N,若△〃（好的面积最大值为4百，则上的最大值为.

m

37.（2023•江苏•统考二模）已知抛物线C：x?=4y的焦点为尸，过动点P的两条直线4,4均与C相切，

设的斜率分别为左，Q若（耳-1）（心-1）=-2,则怛尸|的最小值为.

38.（2023•江苏苏州•校联考三模）己知双曲线C:「-匕=1（°>0）,过其右焦点尸的直线/与双曲线C交于

A、B两点,已知|/8|=16,若这样的直线/有4条，则实数。的取值范围是.

22/T

39.（2023春・江苏南通•高三校考开学考试）已知椭圆C:=+方=l（a>6>0）的离心率为券，F是左焦点,

过厂且倾斜角为45。的直线交C于点/，反设分别是/尸和AF的中点，。为坐标原点，若<W+0N=U，

则口OMN的面积为.

四、双空题

40.（2023•江苏南通・统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P在圆Cf+（y-2）2=2上运动，点0

在函数/'（x）=lnx-"2的图象上运动，写出一条经过原点。且与圆C相切的直线方程为；若存在点P,

。满足OP，。。，则实数。的取值范围是.

参考答案

一、单选题

22

1.（2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知片，耳是双曲线C三-与=1的左、右焦点，尸,。

ab2

为双曲线。上两点，满足片尸〃玛。，且优。二优尸|=3闺尸则双曲线C的离心率为（）

AVToRV5rVi5nVTo

A.---D.C.---D.---

5232

【答案】D

【详细分析】根据双曲线的定义和性质详细分析可得，=。，进而可得/用尸'。=/片和=90。，结合勾股定

理运算求解.

【过程详解】延长。片与双曲线交于点P,

因为可尸〃5P,根据对称性可知国尸|=\F2P'\,

设?尸[=|耳P]=f,则内尸卜内5=3/,

可得用刊-麻尸|=2/=24,即t=a,

所以|PQ|=4/=4a,则|0耳|=|。❷|+2a=5a,闺尸|=|工尸|=3a,

即|尸'。『+|耳=口耳「，可知NFFQ=NF\PF[=90°,

在片鸟中，由勾股定理得囚尸f+|耳尸'「=阳引'，

即/+（3。）2=4°2,解得e=£=巫.

v7a2

故选：D.

【名师点评】方法名师点评：1.双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定。，6,c的等量关系或不等关系，然后把6

用。，c代换，求e=£的值;

a

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

22

2.（2023•江苏南通•模拟预测）已知椭圆C：]+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳、F2,以月为圆

心的圆与X轴交于耳，B两点，与y轴正半轴交于点A,线段/片与C交于点若忸与C的焦距的比值

为叵，则c的离心率为（）

3

C>+1V7-1

A.B.；D.

22.42

【答案】D

【详细分析】先求出以玛为圆心的圆的方程，求出/（0,gc）,5（3c,0）,求出直线片/的方程后结合距离公

式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.

【过程详解】

设椭圆的半焦距为c,因为以名为圆心的圆过耳，故该圆的半径为2c,

故其方程为：=4小

令x=0,则y=±J3c,结合A在了轴正半轴上，故

令歹=0,贝=或x=3c,故5（3。,0）.

故卜电=~~—=V3,故直线FXA:y=V3x+Gc.

因为A在V轴的正半轴上，片在入轴的负半轴上，故加＜0,

nu\bM\=-----x2c=---------c，

1133

22c

故(3c-冽)2+(J5m+Qc)=-^―c,整理得到：4m=^~

故冽=—gc,故y=2^£,

整理得到：4e4-16e2+9=0,故e=^二^

2

故选：D.

【名师点评】思路名师点评：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方

程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.

3.（2023•江苏镇江・扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线/"x+zwy-35-1=0与8

mx-y-3机+1=0相交于点线段N8是圆C：（x+l），+（了+1『=4的一条动弦，且k同=20，贝!|疝.荻

的最小值为（）

A.6-4亚B.3-V2C.5+出D.75-1

【答案】A

【详细分析】根据直线所过定点和/14知庇•赤=0，由此得M轨迹是以G（2,2）为圆心，夜为半径的

圆（不含点（3,3））,由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得|。回,|“必皿，结合向量数量积的运

算律求得疝.标最小值.

【过程详解】由圆的方程知：圆心C（T,T）,半径厂=2；

由/]:x+7町-3%-1=0得：（x-l）+〃?（y-3）=0,，恒过定点E（l,3）；

由/2：s-y-3zn+l=0得:w(x-3)+(l-y)=0,飞恒过定点尸(3,1)；

由直线4,4方程可知：4即施•痂=0,

设"（X/）,贝g砺=（1一％3—＞）,/=（3—匹1一切，

二加砺=（1-x）（3-x）+（3-了）（1-了）=0,整理得：（X-2）2+（J；-2）2=2,

即点M的轨迹是以G（2,2）为圆心，0为半径的圆，又直线4斜率存在，

；.N点轨迹不包含（3,3）；

若点。为弦N8的中点，则疝+砺=2而5，位置关系如图：

连接CD,由|/a=26知：叩=«_(由『=i,

贝I]\MD\mm=\MC\mm-|CD|=|CG|-V2-1=J(2+l『+(2+11-四-1=2&-1,

:.MA-MB={MD+DA^-^MD+DB^=MD+{j5A+J)ByMD+DA-"DB=MD-2,=6-^41

(当M在(1,1)处取等号)，

的最小值为6-40.

故选：A.

4.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）已知向量1=（x+l,石+y）3=（x-l,右-y）,满足。B的动点加。，回的

轨迹为E,经过点N（2,0）的直线/与£有且只有一个公共点A,点尸在圆一+3-2后）2=1上，则4尸的最

小值为（）.

A.3-272B.V2-1

C.272-2D.1

【答案】A

【详细分析】先求出轨迹E的方程，再利用直线/与E有且只有一个公共点A,求出点A的坐标，从而得解.

【过程详解】ma1b，可得(x+l)(x-l)+(行+“(仆_y)=0,

化简得为动点/(xj)的轨迹E的方程为：仁-二=1,

44

设经过点N(2,0)的直线/为：y=k(x-2),(可判断斜率存在)

y=k^x-2)

联立方程/%2,得(公■］卜2.4〃X+4Q2-1)=0①，

----------=1

144

由于直线/与£有且只有一个公共点A,

2

所以左2=1,或D=16/-16(『-1)=0,

得左=±1,或左=土正，

2

因为圆/+(夕-2后产=1,圆心(0,2后)，

所以当点A在x轴上方时AP较小，以下只讨论点A在x轴上方的情况,

当左=±1时，代入①式，得x=0,

再代入双曲线方程可得40，土2),

当4(0,2)时，点A在圆/+(y-2夜了=1内，

可得AP的最小值为1-(2&-2)=3-2及；

当6=±正时，代入①式，得x=-2,

2

再代入双曲线方程可得则/(-2,?2夜)，

当N(-2,2&)时，点A在圆/+(>一=1夕卜，

可得/P的最小值为8+2>1=1；

贝UAP的最小值为3-2血.

故选：A

【名师点评】方法名师点评：求轨迹方程的常见方法有：

①直接法，设出动点的坐标(尤/),根据题意列出关于X/的等式即可;

②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；

③参数法，把x/分别用第三个变量表示，消去参数即可；

Xo=g(x)

④逆代法，将代入/伉,%)=0.

%=〃(x)

22

5.（2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）已知椭圆］+==1（">6>0））的焦点为耳，F2,P是椭圆

上一点，且2两.7^=1西］J而若△大尸工的内切圆的半径r满足户£|=3rsin”£尸，则日产（其

中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）

AV10R3>/10「阴八2A/21

101077

【答案】B

14o

【详细分析】由已知即向量数量积定义可得COS/片尸玛=2,应用余弦定理求得|中||班|二§〃，根据等

C42

面积法可得一遥T再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号

成立条件.

【过程详解】由题设2所•成=彳句斗|,卜。54；尸名=|两'配故cos/片/”=；,

7T

又4Pge［0,兀），则/月尸乙=§,

|因『+|9『一|下月『（|P玛+|珊|）2-2|尸印IMH用工『

由余弦定理知:cosZFPF=

t22|「印此|2|坨||桃|

=4(4一°2)_]=4/_i=J_

=?

^2\PFl\\PF2\~2\PFl\\PF2\~2

A1Fy

22

所以I尸印I俱|=-b,而时％=-\PF.\\PF2\sinZFtPF2=^-b,

JNJ

因为△£时的内切圆的半径/，故与与明=尸耳|+1尸层|+1耳乙I)=(a+c»,

所以(a+c)r=XL>2,贝”=9L,

33(a+c)

|^|_2c_\PFt\_3；-

由I尸耳|=3rsm/耳与尸，即sin4尸尸sin^sin4再P，

i

所以臣一华，整理得7e?+4e-3=(7e-3)(e+l)=0且0<e<l,

a+cJ3

所以e=］3，

999ri

/+21e_』+9_—二八口a_35,当且仅当a=3时等号成立，

7b-7〃2-2-一2后一2回~10

所以目标式最小值为亚.

10

故选：B

6.（2023春•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线C:/-/=4的左，右焦点分别为耳,耳，

过用作垂直于x轴的直线交双曲线于42两点，口口的内切圆圆心分别为a,Q,Q，则

AFXF2BFXF2^FXAB

□。02。3的面积是（）

A.672-8B.6拒-4C.8-472D.6-472

【答案】A

【详细分析】由题意画出图，由己知求出。的值，找出42的坐标，由口/耳片口期用口4N3的内切圆圆心

分别为a,o2,q,进行详细分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出口。。?。的底和高，利用三角形

的面积公式计算即可.

【过程详解】由题意如图所示：

由双曲线C:X2-/=4,知/=/=4,

所以c?=a2+b~=8，

所以乙（2在0）,|4月|=2c=4收

所以过外作垂直于x轴的直线为x=20，

代入C中，解出/（2上,2）,8（2五-2）,

由题知山纳为，□胡匕的内切圆的半径相等,

且M同=怛用，□，□两可的内切圆圆心《,。2

AFXF2

的连线垂直于X轴于点尸，

设为厂，在八4月工中，由等面积法得：

g（H娼+3用+|片用）.一；比用.以国

由双曲线的定义可知：|/月|-|4闾=2。=4

由|/6|=2,所以|"；|=6,

所以g（6+2+4后卜・=；x4亚x2,

解得：，=产=3…=2四-2，

因为片月为□片的44片8的角平分线，

所以。3一定在片外上，即X轴上，令圆。3半径为尺，

在口/片8中，由等面积法得：

；（以耳|+忸叫+W即.R=；但0卜|/8|,

又回=|附=加4+|皿「="4⑹工?=6

所以gx（6+6+4>R=；x4行x4,

所以R=0，

所以|尸阊」=2&-2,

\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=42-（2y/2-^=2-42,

所以s^。2a=；|on||qp|=；x2rx|ap|

=rx|O,P|=（2V2-2）x（2-V2）=6V2-8,

故选：A.

22

7.（2023•江苏南京•南京市第五高级中学校考二模）已知耳，片分别是双曲线口号-%=l（a>0,，>0）的

左、右焦点，过耳的直线分别交双曲线左、右两支于48两点，点C在x轴上，。=3项，BF］平令NRBC,

则双曲线「的离心率为（）

A.aB.加C.V3D.V2

【答案】A

【详细分析］根据赤=3后可知C5〃工N,再根据角平分线定理得到忸凰，忸C|的关系，再根据双曲线定义

分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

设剧=2c,则旧C|=4c,设=则忸刷=3乙＞邳=2/.

因为因平分由角平分线定理可知，饕二凿二壬二4，

BC因4c2

所以忸C|=2忸耳|=6f,所以|/闾=：忸。=2/,

由双曲线定义知|/闾-|4片|=2a,即2"％=2a,t=2a,①

又由画||叫=2a^\BF2\=3t-2a=2t,

所以|陷|=同=阊=2/,即AABF2是等边三角形，

所以ZF2BC=ZABF2=60°.

在口片中，由余弦定理知cosZF,BF2=：忸一闾

一-M2.阿卜3忸可k

即14户+9"户一牝4「2，化简得“2=船2,

22,2t,3t

把①代入上式得e=£=近，所以离心率为，.

a

故选：A.

8.（2023•江苏南通•二模）已知入，入分别是双曲线C：乌-马=1（。＞0,方＞0）的左、右焦点，点尸在双曲

ab

线上，PFJPB，圆。：/+/号(/+/),直线叨与圆。相交于1,8两点，直线上与圆。相交于

M,N两点.若四边形的面积为9/，则。的离心率为()

A.-B.-C.@D.马叵

4525

【答案】D

2222

【详细分析】设|尸耳|=〃，|尸用=加，有〃-〃7=2°,n+m^4c,mn^2b,由弦长公式可得

1Q

四边形的面积为1/台””用，解得c?=gl>2,可

求双曲线的离心率.

【过程详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示,

Q%

圆o：x2+/=^(«2+fe2),圆心为0(0,0),半径为方，

222

设|尸耳|=〃，|尸闾=加，点P在双曲线上，PFiLPF2,则有〃-加=2%n+m=4c,可得m几=2b?,

1M

过。作MN的垂线，垂足为。，。为耳名的中点，则|0必=半产片1=5，|MN卜2

同理,

四边形⑷四N的面积为g,斗|儿的=；x2

81c4(m2+w29c2m2n2

则有力“2则c

[IT什+-1r

.而、缶cV82A/TO

的罔心率e=_='=-------

aV55

故选：D

22

9.（2023秋•江苏南京•高三南京市第一中学校考阶段练习）已知双曲线E:二-々=1（°>0,6>0）的左、右

ab

S5

焦点分别为耳，F2,P是双曲线E上一点，尸匕，片工，/耳空的平分线与X轴交于点。，髭也=可，则

^/\PF2QJ

双曲线£的离心率为（）

A.V2B.2C.在D.V3

2

【答案】B

【详细分析】根据题意详细分析可得艘=J,利用正弦定理结合角平分线可得昌=骐=9,再根据

F

\1Q\3\F2Q\3

双曲线的定义结合通径详细分析运算即可.

c-\PFA-\F.Q\5

【过程详解】PFH则”也=彳---------“侍人。|3

3

2KI-M

PF,sin//勿|P£|sin/尸0K

分别在口尸。片，口尸因中，由正弦定理可得：—7

相sinNQPFi'优。「sinN0叫

­,•P0平分4尸鸟，可得NQPH=NQPB，