《直线的方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】

《直线的方程》教学设计第一课时教学目标教学目标1、理解直线与方程的关系．提升学生的数学抽象素养；2、理解点斜式方程和斜截式方程的推导，并能明确其适用条件．提高逻辑推理数学素养；3、知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义.提高数学运算素养．教学重难点教学重难点教学重点：利用点斜式方程和斜截式方程解决相关问题；教学难点：直线与方程的关系、点斜式方程和斜截式方程的推导．课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第78-81页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习直线的方程第一课时直线的点斜式方程与斜截式方程（2）在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的．从一次函数引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题．在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手．在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程．充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础．发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.探索新知1、探究新知问题2：设是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的是否唯一，如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标应满足什么条件?（1）已知的斜率不存在（2）已知的斜率不存在且过点（3）已知的斜率为（4）已知的斜率为且过点师生活动：在教师的指导下共同归纳总结问题．预设的答案：满足条件（1）的直线有无数条，单满足条件（2）的直线是唯一的，此时若P（x，y）为直线上的点，则必有，另外，任意横坐标为-2的点，一定都在直线上．满足条件(3)的直线，只要倾斜角为60°即可，因此也有无数条，但满足条件(4)的直线是唯一的，如图所示，此时若P(x，y)为直线上不同于B的点，则，，化简可得，容易验证，B(1，2)的坐标也能使上式成立，因此直线上的点都使得上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，则要么P(x，y)就是点B(1，2)，要么，也就是说，点P一定在直线上．教师讲解：一般地，如果直线上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在直线上，则称F(x，y)=0为直线的方程，而直线称为方程F(x，y)=0的直线，为了简单起见，“直线”也可说成“直线F(x，y)=0”，并且记作:F(x，y)=0．设计意图：通过问题思考，引导学生发现，通过斜率和一个点可确定一条直线，开门见山，引出学习的课题．（板书：直线的方程）问题3：想一想：二次函数y=(x-1)2的图像的:对称轴为x=1，其中的x=1表示的是什么？预设的答案：x=1表示的是直线x=1.设计意图：有利于学生把旧知识纳入新的知识体系中，从新知的角度重新审视已经学习过的相关知识点，帮助学生完成知识结构体系．教师讲解：从前面的实例也可以看出，在平面直角坐标系中，如果已知是直线上一点，而且知道的斜率信息，就可以写出直线的方程:

(1)如果直线的斜率不存在，则直线的方程为

(2)如果直线的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线上不同于的点，则，即，化简可得①，而且的坐标也能使上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，则要么P(x，y)就是点，要么，也就是说，点P一定在直线上，从而①就是直线的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程．

直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知是直线上一点，而且的斜率为k，则直线的一个方向向量为

另一方面，设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线上的充要条件是与共线，又因为，所以．设计意图：利用直线的方向向量推导了直线的点斜式方程.方向向量的运用，避免了对斜率存在与否的讨论，简化了思维和推导过程，让学生体会到了向量这一工具在解决问题时的优势.这样的设计，能为学生以后积极寻求多种方法解决问题提供思路、引导方向，培养学生的发散性思维，同时也及时巩固了上一小节刚刚学习过的知识，有利于提高学生对知识的应用意识．问题4：请同学们思考求动点轨迹方程的思路是什么？师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：(1)设动点的坐标为(x，y)；

(2)分析动点的几何特征；

(3)用坐标表示动点的几何特征，并进行必要的化简变形；

(4)说明得到的坐标关系符合直线的方程的定义．设计意图：让学生了解求方程的步骤，以便与后面的学习相呼应，培养学生的创新能力．教师讲解：一般地，当直线既不是x轴也不是y轴时:若与x轴的交点为，

则称在x轴上的截距为;若与y轴的交点为，则称在y轴上的截距为.一条直线在y轴上的截距简称为截距.因此，如果已知直线的斜率为k，截距为，则意味着这条直线过了这个点，从而可知直线的方程为，化简可得．方程②由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程．问题5：从直线的斜截式方程，可知直线的斜率和截距与斜率公式及截距的定义的关系是什么？师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：若是直线上两个不同的点，则第二式减去第一式可得，因此当时有，从而k就是直线的斜率.在方程中，令x=0得y=b，因此直线与y轴的交点为，这就是说，b为直线的截距(即直线在y轴上的截距)．设计意图：引导学生根据点斜式方程探索得出斜截式方程，更方便的看出直线的斜率和截距．问题6：直线方程的斜截式与一次函数的表达式有什么联系与区别？师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：(1)k≠0时，斜截式方程就是一次函数的解析式；

（2）斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，即斜率不存在的直线只能用表示;一次

函数解析式既不能表示垂直于x轴的直线，也不能表示垂直于y轴的直线.设计意图：让学生从直线的角度去重新认识一次函数，理解直线的方程的斜截式和一次函数表达式之间的联系与区别．三、初步应用例1已知直线经过点P，且的斜率为k，分别根据下列条件求直线的方程:

(1)；（2）师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：解(1)根据已知可得直线的点斜式方程为

，化简得.(2)根据已知可得直线的点斜式方程为化简得设计意图：帮助学生巩固直线点斜式方程的认识，同事引出有关截距的概念，为引出斜截式方程做好了铺垫.例2：已知直线经过点P(-2，3)，且的倾斜角为45°，求直线的方程，并求直线的截距．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为直线的斜率k=tan45°=1，所以可知直线的方程为

，即y=x+5.因此直线的截距为5．设计意图：引导学生思考利用已知条件和已经知道的两种方程形式如何求解直线的方程，让学生从具体实例中体会出一般思路和方法．四、归纳小结，布置作业问题7：（1）直线的方程和方程的直线的概念是什么？（2）什么是直线的点斜式方程？斜截式方程？（3）什么是直线的斜截式方程？斜截式方程中的截距的概念是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）一般地，如果直线上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在直线上，则称F(x，y)=0为直线的方程，而直线称为方程F(x，y)=0的直线．（2）如果直线的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线上不同于的点，则，即，化简可得①，而且的坐标也能使上式成立;另外，如果x，y能使得上式成立，则要么P(x，y)就是点，要么，也就是说，点P定在直线上，从而①就是直线的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程．（3）一般地，当直线既不是x轴也不是y轴时:若与x轴的交点为，

则称在x轴上的截距为;若与y轴的交点为，则称在y轴上的截距为.一条直线在y轴上的截距简称为截距.因此，如果已知直线的斜率为k，截距为，则意味着这条直线过了这个点，从而可知直线的方程为，化简可得．方程②由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确斜率概念的有关知识．布置作业：教科书第85页练习A1，2，3题五、目标检测设计1过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝eq\r(3)(x－3) B．y－2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)C．y－2＝eq\r(3)(x＋3) D．y＋2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)设计意图：考查学生对倾斜角求斜率并求直线方程的方法．2.直线y－2＝eq\r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋eq\r(3)C．120°，2＋eq\r(5) D．120°，2设计意图：考查学生对点斜式求方程的简单应用．3．直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．设计意图：考查学生对点斜式求方程的的方法．参考答案：1．C[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝eq\r