2025届高考数学专项复习：圆锥曲线中的新定义问题（含答案）

2025届高考数学专项复习创新性新题型-圆锥曲

线中的新定义问题

图雄曲铁中的新定义同敢

新定义题目简介

题型特点

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的

定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要

求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

解题策略

求解“新定义”题目，主要分如下几步：

（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；

（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；

（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接

按照法则计算即可;若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除,注意新

定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻

易放弃。

V/

一、单选题

【题目■已知曲线「的对称中心为O,若对于r上的任意一点A,都存在「上两点B,使得O为/XABC的

重心，则称曲线r为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”;②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则（）

A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①②都是假命题D.①②都是真命题

^■3数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e="（其中。=名口）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄

金椭圆方程为W+£=l,（a>b>0）,若以原点O为圆心，短轴长为直径作O为黄金椭圆上除顶点

arb2

外任意一点，过P作。。的两条切线，切点分别为4B，直线AB与工,夕轴分别交于MN两点,则法产

\ON\2

A.---B.u>C.—u>D.---

coco

【题目区小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之

积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上

法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老

师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设月（-1,0）、月（1,0）是平面直角坐标系xOy内的两个定

点，满足|P网HPEI=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论:①曲线。既是轴对称图形，又

是中心对称图形;②动点P的横坐标的取值范围是［—遍,述］；③QP|的取值范围是［1,遍］;④月月的

面积的最大值为1.其中正确结论的个数为(

A.1B.2C.3D.4

题目⑷在平面直角坐标系中，定义d{A,B)=max{|a;1—®2|,|yi—y2|}为两点4%%)，及电,纺)的“切比雪夫

距离”，并对于点P与直线Z上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P与直线/间的“切比雪夫距离”，记作

d(P,Z),给定下列四个命题：

加：对于任意的三点A,B,C,总有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若点P(3,1),直线Z:2c—沙—1=0,则d(P,Z)=弓；

P3：满足d(O,M)=C(C>0)的点河的轨迹为正方形；

口：若点E(—c,O),£(c,0),则满足|d(P出)一d(P,£)|=2a(2c>2a>0)的点河的轨迹与直线y=为常

数)有且仅有2个公共点;则其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

「题目可定义:若直线Z将多边形分为两部分，且使得多边形在，两侧的顶点到直线Z的距离之和相等，则称Z

为多边形的一条“等线”.已知双曲线—4=l(a，b为常数)和其左右焦点E,月，P为。上的一动

ab

点，过P作。的切线分别交两条渐近线于点A,已知四边形AEB鸟与三角形P月月有相同的“等线”Z.

则对于下列四个结论：

①\PA\=\PB\；

②等线Z必过多边形的重心；

③，始终与岑—普-=1相切；

ab~

④，的斜率为定值且与a,6有关.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

二、多选题

题目引古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线.后经研究发现:当圆锥轴截

面的顶角为2a时，用一个与旋转轴所成角为6的平面/(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥

曲线)的离心率为e=〃.比如，当a=6时，e=L即截得的曲线是抛物线.如图，在空间直角坐标系

COS。

Oxyz中放置一个圆锥,顶点S(0,0,2),M(0,1,1),底面圆。的半径为2,直径AB,GD分别在①，9轴上，则

A.已知点N(0,0,1),则过点河,N的平面截该圆锥得的截口曲线为圆

B.平面M4B截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分

C.若E(—2,0),F(2,2,0),则平面截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分

D.若平面7截该圆锥得的截口曲线为离心率是方的双曲线的一部分，则平面7不经过原点。

题目0法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学,推动了空间解析几何

学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆。:冬+4=l(a>

ab

6>0)的“蒙日圆”的方程为/+才=a?+/,已知椭圆C的长轴长为4,离心率为e=^,P为蒙日圆上任一

点,则以下说法正确的是()

4过点P作椭圆。的两条切线24,PB,则有2,PB.

B.过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点4BQ为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值kOP-kAB^-^-.

C.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为AB,则S4ApB的取值范围住，明•

D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则S^OB的最大值为V3.

题目回小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之

积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上

法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老

师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设月(-1,0)、^(1,0)是平面直角坐标系xOy内的两个定

点，满足「用HP网=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()

A.曲线。既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P的横坐标的取值范围是［-

C.\OP\的取值范围是［1,2］D.△PEE的面积的最大值为1

题目回如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所成的角为过4的平面与圆锥的轴所成的角为6(0>a),该

平面截这个圆锥所得的截面为椭圆,椭圆的长轴为4A2,短轴为BA,长半轴长为a，短半轴长为6,椭圆的

中心为N,再以BB为弦且垂直于PO的圆截面,记该圆与直线PA,交于&,与直线PA2交于&，则下列说

法正确的是()

A.当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆

B.|NGHNa=a2sin("a)sin("a)

cosa

C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=空底

COSdf

D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率6=吗

sinp

题目叵〕2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线

22

C：国"+|引”=1.其中星形线E：=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是

()

A.右关于沙轴对称B.E上的点到。轴、沙轴的距离之积不超过春

O

C.E上的点到原点距离的最小值为)D.曲线E所围成图形的面积小于2

4

题目QT)曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线名+4=

一a2b2

l(a>0,6>0)上点P(g，9o)处的曲率半径公式为R=，则下列说法正确的是)

A.对于半径为五的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R

B.椭圆4+4=l(a>6>0)上一点处的曲率半径的最大值为a

a2b2

C.椭圆£+%=l(a>6>0)上一点处的曲率半径的最小值为今

D.对于椭圆5+婿=上点(｝，%)处的曲率半径随着a的增大而减小

三、填空题

［题目12］在平面直角坐标系中，定义d(A,_B)=同―/2I+I%—仍|为点人(为1，%)到点_B(62,g2)的“折线距

离”.点。是坐标原点，点P在圆/+#=1上，点。在直线2力+"一2斯=0上.在这个定义下，给出下

列结论：

①若点P的横坐标为一号，则d(O,P)=3②d(O,P)的最大值是V2

55

③d(O,Q)的最小值是2；④d(Q,P)的最小值是乎

其中，所有正确结论的序号是.

题目应卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：—+与=1(,>—2),O为坐标原点，点A

(1,0),点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.

①卵圆。关于Z轴对称

②卵圆上不存在两点关于直线C=/对称

③线段FO长度的取值范围是［1,2］

④△O4P的面积最大值为1

¥tQTl城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角

拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=山一沟+\yi-y2\为两点。(刈,%)、Q3,纺)之间

的“出租车距离

给出下列四个结论:①若点0(0,0),点4(1,2),则d(O,A)=3；

②到点。(0,0)的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是兀；

③若点力(1,2),点B是抛物线/=，上的动点，则d(4B)的最小值是1：

④若点力(1,2),点B是圆/+才=1上的动点，则d(AB)的最大值是3+2.

其中，所有正确结论的序号是.

「题目I15〕已知点41,-1).若曲线G上存在两点B、。,使△ABC为正三角形，则称G为9型曲线,给定下

列四条曲线：

①沙=c+3(—3WcW0)；②夕=；

③y=J2-a?；@y——(a：<0).

其中，属于甲型曲线的是(写出序号即可)

题目CassinE卵形线是由法国天文家Jecm-_Domin，queCassin/(1625—17⑵引入的.卵形线的定义

是：线上的任何点到两个固定点S、,S2的距离的乘积等于常数b2.b是正常数，设8,S2的距离为2a,如果a

<b,就得到一个没有自交点的卵形线;如果a=6,就得到一个双纽线;如果a>b,就得到两个卵形线.若

5x(-1,0),52(1,0).动点P满足|PSJ•IPS2I=1.则动点P的轨迹C的方程为；若4和A是轨迹C

与①轴交点中距离最远的两点，则△AR4'面积的最大值为.

四、解答题

［题目|17)在平面直角坐标系xOy中，对于直线l-.ax+by+c=0和点国0,%),以狈纺)，记〃=

(<13；1+%1+<：)((13；2+%2+。),若〃<0,则称点吕，B被直线，分离，若曲线C与直线Z没有公共点,且曲线C

上存在点H,吕被直线I分隔，则称直线Z为曲线C的一条分隔线.

(1)求证:点—(1,2),B(—1,0)被直线x+y—1—O分隔；

(2)若直线y=m是曲线"—4才=1的分隔线,求实数k的取值范围；

(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到9轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线

中,有且仅有一条直线是E的分隔线.

题目□可设直线功=9侬)，曲线S：?/=F3).若直线，与曲线S同时满足下列两个条件:①直线，与曲线S

相切且至少有两个切点;②对任意①CR都有g(x)>F(x).则称直线，为曲线S的“上夹线”.

(1)已知函数/(2)=x—2sinc.求证：y=x+2为曲线/(2)的‘'上夹线"；

(2)观察下图：

题目U已知椭圆。：考■+M=l(a>b>0)的左右焦点分别为国的

a2b2

⑴设P为椭圆。上除左右顶点外的任意一点，设NRPE=。，证明：SAPF幽=/ta吟；

(2)若椭圆C'的标准方程为冬+g=k优>0),则我们称。和C'为“相似椭圆”.已知r和。为“相似椭

滔b

圆”，且r的长轴长是c的半长轴长的V2倍.“为r上的动点,过点初作r的切线交。于A,B两点，N为

。上异于A,B的一点,且满足说=共演+〃砺，问A2+”是否为定值？若为定值,求出该定值;若不为

定值,请说明理由.

题目叵在平面直角坐标系xOy中,对于点_?(如%)、直线l-.ax+她+c=0,我们称3==。+厮”为点p

Va+b

(%,jo)至！J直线/:。/+如+。=0的方向距离.

(1)设双曲线今一才=1上的任意一点P(/,g)到直线l1:x—2y=0,勾：力+2g=0的方向距离分别为必必，

求必必的值；

(2)设点后(—力0)、网力,0)、到直线l:xcosa+2?/sin(7—2=0的方向距离分别为〃I,小,试问是否存在实数，

对任意的。都有力〃2=1成立？说明理由；

22

(3)已知直线/:小/一g+九=0和椭圆与+号=l(Q>b>。),设椭圆石的两个焦点R、月到直线Z的方向

ab

距离分别为4、不满足心力>&2,且直线z与①轴的交点为4与？/轴的交点为B,试比较|/B|的长与a+6

的大小.

题目叵⑴设椭圆G：名+£=1与双曲线G：9°2—孚=1有相同的焦点后、段朋■是椭圆G与双曲线

ab"o

G的公共点，且△MEE的周长为6,求椭圆G的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线

弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；

⑵如图，已知“盾圆。”的方程为才=优;7:L一，设“盾圆。”上的任意一点初到F(1,O)的距离

1―12(劣一V/W4

为必，M■到直线l-.x=3的距离为d2,求证：&+d2为定值；

0、3：IX

I

⑶由抛物线弧用：娟=MoWc.）与第⑴小题椭圆弧星：瓦：，■+K=1信&C）所合成的封闭曲

线为“盾圆E”,设过点F（1,O）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，恒刈=n，|FB|=T2,且乙4母=&（0&。

&兀）,试用cosa表示/1,并求”■的取值范围.

/2

22

题目亘已知椭圆。:3+彳=1（。>6>0）的焦点和上顶点分别为兄、后、6，定义：/\及巡为椭圆。的

ab-

“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角

形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点F（遍,0）是椭圆G：4+*=1的一个焦点，且G上任意一点

ab

到它的两焦点的距离之和为4

（1）若椭圆G与椭圆G相似，且G与G的相似比为2：1,求椭圆。2的方程.

（2）已知点（nmWO）是椭圆G上的任意一点，若点Q是直线y与抛物线/异于原点

mn

的交点，证明：点Q一定在双曲线4a?—4才=1上.

（3）已知直线l:y=x+l,与椭圆G相似且短半轴长为b的椭圆为G,，是否存在正方形ABCD,（设其面积

为S）,使得A、C在直线Z上，B、D在曲线G,上？若存在，求出函数S=/（b）的解析式及定义域;若不存

在,请说明理由.

版目区已知抛物线「：/=%,P（羯%）为抛物线「上的点,若直线I经过点P且斜率为口,则称直线I为

点P的''特征直线".设ah、①2为方程/一ar+b=0（a,feER）的两个实根，记r（a,6）=山卜了.

（1）求点A（2,l）的“特征直线”，的方程；

（2）已知点G在抛物线「上，点G的“特征直线”与双曲线与一才=1经过二、四象限的渐近线垂直，且与y

轴的交于点H,点Q（a,b）为线段GH上的点.求证：r（a,b）=2；

（3）己知。是抛物线「上异于原点的两个不同的点，点。、D的“特征直线”分别为。、如直线小。相交

于点M（a,b），且与g轴分别交于点E、F.求证:点W在线段CE上的充要条件为r（a,b）=苧（其中如为

点。的横坐标）.

（8他曲线中的新st*同题

K/

新定义题目简介

“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的

定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要

求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

求解“新定义”题目，主要分如下几步：

（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；

⑵对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；

（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接

按照法则计算即可;若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除,注意新

定义题目一般在高考试卷的压轴位置,往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻

易放弃。

、/

一、单i4a

题目F已知曲线r的对称中心为。，若对于r上的任意一点入，都存在「上两点B，。，使得。为△48。的

重心,则称曲线「为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”;②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则（）

A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①②都是假命题D.①②都是真命题

【答案】B

【分析】设出椭圆、双曲线方程及点ABC的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点4的坐标求出直线

方程,再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.

【详解】椭圆是“自稳定曲线”.

22

设椭圆方程为3+3=1（Q2WkQ2>0,匕2>。）,令4%%）,则匕2鬲+Q2加_a2b2,设双叫,%）,。（力2,纺），

Qb

BC

由O是△ABC的重心，知二°。，直线过点必―等,一用,

十班—一队'22/

1

当为=0时，若4(a,0),直线y=一方与椭圆有两个交点B,C,符合题意,

若A(—a,0),直线y=£与椭圆有两个交点符合题意,

则当％=0,即A(土a,0)时，存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点O,

同理，当g=0,即4(0,±b)时，存在两点B,C,使得△ABC的重心为原点

4+a2g；=a2b2

2

当看以r0时,年舄+a2g：=a2b2,两式相减得/(电一电)(0+g)+a®-沙2)(必+仍)=0,

直线及7的斜率空畋=—用，方程为沙+?=—用卜+与)，即夕=—孕/一三，

2v2

力1一力2a'yo2ayQ2，ay02yo

22

(_bX0b22

由a2no2go消去"并整理得：力2+g#+/-----—0,

UV+aV=a2b24b

2--

A—XQ—a+当/=—与若+~~^yl—卷%>0,即直线BC与椭圆交于两点，且O是△4BC的重心,

bb-bb

即当xoyo20时，对于点A,在椭圆上都存在两点BC,使得。为△ABC的重心，

综上，椭圆上任意点A,在椭圆上都存在两点B,C,使得O为△ABC重心，①为真命题;

双曲线不是“自稳定曲线

由对称性，不妨令双曲线方程为工Y—%=1(?71>0.口>0),令4(3,s),则九出一^^二小?九2,设

mn

(t,2$2),

假设O是△ABC的重心，则H,直线过点(—《,一《)，

(Si+s2=—s'227

当s=0时，直线力=—与或直线x=与与双曲线=1都不相交，因此sW0,

22mn

nmrrtl22

[2^_f2_22，两式相减得n(ti-12)(^i+幻—m(«i—s2)(si4-s2)—0,

[7?/t)2斤^S?—TYl>Tb

直线B。的斜率子子=空，方程为沙+得=卒卜+!)，即"=空'+4，

力1一力2ms2ms'%ms2s

(n?tIn222

2

由《后s2s消去"并整理得：/+垃+...-s=0

lnV-mV=m2n24"

ZV=——a?—耳§2=邛$2—。§2=—告邛^〈。，即直线^^与双曲线不相交，

nnn-n

所以不存在双曲线，其上点力及某两点B,C,O为AABC的重心，②是假命题.

故选：B

【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端

点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.

If0数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=。(其中”=容口)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄

22

金椭圆方程为多+?七=1,(a>b>0),若以原点O为圆心，短轴长为直径作。QP为黄金椭圆上除顶点

a/H

外任意一点，过P作。。的两条切线，切点分别为43,直线AB与轴分别交于M,N两点，则

\OM\2

H—()

\ON\2I)

A.-B.u>C.一(i)D.——

a>a>

【答案】A

【分析】根据题意O、4P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为P(g,%),从而得出四点所在圆

的方程为双/一g)+n(y—y。)=0,利用两圆方程之差求得切点B所在直线方程，进而求得A/、N两点

坐标即可解决本题.

【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为P(g,仅))，则该圆的方程为：x(x—xo)+y(y—y0)=0,

22

将两圆方程：/+才=b?与x—xox+y—yoy=0相减，得切点所在直线方程为

+9物=",解得7Vf(£,0),,因为岑+%■=1,所以

万a?_5a?_/曷+。戴_a2&2=口2=1=2=1

\OM\2+一耳十4—b4—/―/―—75-1—3,

城3/0

故选：A

题目区小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之

积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上

法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老

师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设E(-1,0)、月(1,0)是平面直角坐标系cOv内的两个定

点，满足|PE卜炉周=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论:①曲线。既是轴对称图形，又

是中心对称图形;②动点P的横坐标的取值范围是［―四,6］；③|OP|的取值范围是［1,，^］；④APE月的

面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】设P(/,y),由题设可得曲线。为(X2—I)2+2靖(d+1)+y4=4,将(x,y)>(—x,y)>(—z,—y)代入即

可判断①;令£=才>0,由/(t)=t2+2(02+i)t+谬一i)2一4在［o,+oo)上有解,结合二次函数性质求P

的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得|。砰=/+/=24不7—1,进而求范围判断③；由基本不等

式、余弦定理确定NRPE范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.

【详解】令PQ,沙)，则y/(x+l)2+y2-y/(x—l)2+y2=2,

所以［Q+l)2+才］［Q—Ip+才］=4,则(/—1)2+2“2(/+1)+/=4,

将(x,y)>(―c,y)、(―,，一0)代入上述方程后，均有(X2—I)?+2y2(x2+1)+y4=4,

所以曲线。既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；

令土=才>0,则/+2(/+l)t+(/-1)2-4=o,

对于/(力)=t2+2(x2+l)t+(X2—I),—4,对称轴为x=—(rc2+1)<0,

所以/⑶在［0,+8)上递增，要使/⑶=0在［0,+8)上有解，只需/(0)=(/—1)2-4&0,

所以一14/-142,即0W/43,可得一遍WrcW通，②正确；

由QP|"=，+才，由f(t)=0中，△=4(/+1)2-4(,2_ip+16=16(/+1),

所以t=才=一I，'+=2，7n—(/+1)>0,其中负值舍去，

!

综上，。刊=2；2+/=2G匚|'-1,又042；243,即14;1；2+144,

所以lOPfe［1,3］,则|OP|G［1,四］,③正确；

由|P同+|P月>2加丽西=22,仅当|P耳|=|P耳|=2时等号成立，

△P月月的面积S=y|F^||F^|sinZ^P^=sin/RP西,

r-/ppp庐后产+5附一囱研、n.„O/ppp<-00°

而C0S/-FJPF2=---------1-----------1------->0,所以0VAFiPFi<90,

2\PFi\\PF2\

所以△9瓦用的面积的最大值为1,④正确.

综上，正确结论的个数为4个.

故选：D

【点睛】关键点点睛:②③通过换元t=构造/⑻=)+2(，+坟+32-1)2—4,利用根的分布求P

的横坐标、QP|的取值范围.

题目④在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|a;1—®2|,|yi—y2|}为两点4%%)，及电,统)的“切比雪夫

距离”，并对于点P与直线Z上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P与直线Z间的“切比雪夫距离”,记作

d(P,Z),给定下列四个命题：

Pi：对于任意的三点A,B,C,总有d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

的：若点P(3,1),直线Z:2c—沙—1=0,则d(P,Z)=弓；

P3：满足式。")=。(。>0)的点M的轨迹为正方形；

Pa：若点用(一c,0),£(c,0),则满足|d(P出)一d(P,£)|=2a(2c>2a>0)的点M的轨迹与直线y=为常

数)有且仅有2个公共点;则其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】①讨论力，B,C三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点Q是直线y—2x—l上一点，且Q(c,2c—1),可得d(P,Q)—max{|c—3|,|2—2剑},讨论—3],

|2-2⑹的大小，可得距离d,再由函数的性质，可得最小值；

③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

④讨论P在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

【详解】①对任意三点4B、C,若它们共线，设4出，物)、BE，例)，

结合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),d(A,B)

为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则d(C,A)+d(C,B)=d(A,B);

若B,。或A,。对调，可得d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若4,B,。不共线，且三角形中。为锐角或钝角，由矩形CMNK敢矩形BMNK,

d(C,⑷+d(C,⑹>d(A,⑹；

则对任意的三点4石，。,都有d(C,A)+d(。，⑹>d(A,B);故①正确；

设点Q是直线g=2力一1上一点，且QQ,2/-1),

可得d(P,Q)=max{|力一3|,|2—26|},

由\x-3|>|2—2ex\,解得一1&n&,即有d(P,Q)=\x-3|,

o

当力=.时，取得最小值.；

OO

由\x-31Vl2—2x\,解得x>日或xV—1,即有d(_P,Q)=|2T—2|,

d(P,Q)的范围是(3,+oo)U(!,+8)=(+8),无最值,

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为

故②正确：

③由题意，到原点的''切比雪夫距离”等于。的点设为(①夕)，则max{|矶㈤}=C,

若\y\>闻，则㈤=。;若\y\<同,则|;c|=C,故所求轨迹是正方形，则③正确;

④定点E(—c,0)、月(c,0),动点PQ,y)

满足\d(P,耳)—d(P,月)|=2a(2c>2a>0),

可得P不y轴上，P在线段用其间成立，

可得a;+c—(c—c)=2a,解得a:=a,

由对称性可得①=—a也成立，即有两点P满足条件；

若P在第一象限内，满足|d(P,却—d(P,E)|=2a,

即为c+c—y—2a,为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.

故④正确；

综上可得，真命题的个数为4个，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵

坐标之差绝对值中的最大值;理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.

题目回定义:若直线Z将多边形分为两部分，且使得多边形在Z两侧的顶点到直线Z的距离之和相等，则称%

为多边形的一条“等线”.已知双曲线-吗=l(a，b为常数)和其左右焦点凡另，P为。上的一动

ab

点，过P作。的切线分别交两条渐近线于点4B,已知四边形上铲鸟与三角形刊的有相同的“等线”Z.

则对于下列四个结论：

①|阿=\PB\；

②等线Z必过多边形的重心；

③，始终与螺—¥=i相切；

ab

④Z的斜率为定值且与a,6有关.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【答案】。

【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P(x0,yo)的切线方程，再与渐近线方程联立可求出4B的横坐

标，然后与g比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心

的定义可知四边形AFrBF，其重心H必在△ARE与重心连线上，也必在AAF^B与△?!理8重心连

线上,△PRE重心设为G,则/即为直线G8,然后由重心的性质可证得GH//AB,从而可得结论.

【详解】解:①:设P(g,%),当y0>0时，设y>0,则由号—叟f=1,得£二包而匚浸,

aba

所以式=一^^,所以切线的斜率为k=—励，,

avx2—a2ay/x1—a2

所以切线方程为v—%=第23-g),

XQ-a

22________

2222

因为点F(rc0,yo)在双曲线上，所以多—华=1,得y/x1-a=华y。,bx1—a^yl—ab,

所以g—窝=b?(/-g)=与-%)，

a•卡yoay°

222

所以0yoy-ayl=bxQx-bxl,

222222

所以bxox—ayQy=bx1—ayl=ab，所以叁生—叟字=1,

ab

同理可求出当认<0时的切线方程为叁学一邛=1,

ab

当为=0时，双曲线的切线方程为2；=±&，满足等—衅=1,

ab

所以过P点切线方程为警一等=1,

ab

渐近线方程为y=±-x

联立两直线方程得力4=----------,x=-----

空_/Bxo_,yo_

abab

故有，4+=22"°，=2g,故l-R4|=\PB\

g%

a2~b2

②:设多边形顶点坐标为②,%)，其中i=1,2,3…八

设“等线”方程为"一kc—6=0,则。,少)到等线的距离为：&=履二］◎一引

y/1+k2

又因为等线将顶点分为上下两部分，则有

VJ_V^yi-kxj-b

乙九部分一乙飞苫

yi—kXi—b

上k下部分一工一二点，

Z4上部分=》d下

部分

从而之国三丝二1二0

占Vi+fc2

1_72_[_n_

整理得一汇%=k•一汇为+b

即等线/必过该多边形重心.

③④:考察AFEE重心，设P（g,%）,则重心G（y-y）.对于四边形448尸,其重心H必在A4里与

△3号乂重心连线上，也必在与A4的B重心连线上，则Z即为直线GH.

设A4EE与ABEE重心分别为E,F,则普=尊=E，所以EF〃AB,

EAFB2

因为G为△PEE的重心，所以邛=综,所以EG〃AB,

EAGP

所以E,EG三点共线，

因为H在即上，所以GH〃AB,过G信玲），

因为直线AB为华一誓=1,所以直线AB的斜率为卜=空・空，

ab