2025年高考数学一轮复习：集合

第一章

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第1节集合

考试要求1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合间包含与

相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,

会求两个简单集合的并集、交集与补集.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系

与基本运算.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.元素与集合

⑴集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为©和a

⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合Z中任意一个元素都是集合8

中的元素,就称集合A为集合B的子集.记作A£8(或B?4).

(2)真子集：如果集合ZC-但存在元素x©瓦且x版，就称集合Z是集合3的

真子集,记作/8(或8A).

(3)相等：若ZG8,且8"则Z=A

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为。，则集

符号表示AUBAHB

合Z的补集为CUA

S3

u©

图形表示

AUBAAB

集合表示{x\x^A,或x©8}{小且口£8}{x\xU,且xq4}

4.集合的运算性质

(1)202=/,ZP0=0,A^B=B^A.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)2n(C必)=0,NU(CuA)=U,CtXCuA)=A.

［常用结论］

1.若有限集Z中有〃个元素，则Z的子集有2〃个，真子集有2〃一1个，非空子集

有2"—1个，非空真子集有2"一2个.

2.Z口=ZC8=Z=ZU8=8=C必？CuB.

3.CMZn5)=(C必)U(CuB),Ct44UB)=(C〃)n(CuB).

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){x[y=x2+l}={j^=x2+l}={(x,j>=x2+l}.()

(3)若1G&2,x},则x=—1或1.()

(4)对于任意两个集合4B,(Zn8)G(ZU5)恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)错误.空集只有一个子集.

(2)错误.{加=4+l}=R,{y\y=x2jrl}=[l,+°°),{(x,7>=<+1}是抛物线了

=x2+l上的点集.

(3)错误.当x=l时，不满足集合中元素的互异性.

2.(必修一P14习题1.3T1改编)集合Z={x|2Wx<4},B={x\3x-7^8~2x},则

4cB=.

答案{x|3<x<4}

解析易知B={Rx23},故/A5={x|3^x<4}.

3.已知集合/={加+2,2m2+m},若3G/,则加的值为.

答案一:

解析当机+2=3时，m=l,此时，m+2=2m2+m=3,故舍去；

a

当力层+机=3时，解得机=一：（机=1舍去）.

4.（必修一P9T5改编）已知集合4={邓）<%<研,B={x\l<x<2},若3"则实

数。的取值范围是.

答案［2,+8）

解析由图可知。三2.

考点突破•题型剖析

考点一集合的基本概念

例1⑴（2023•泰州调研）已知集合4={0,1,2,3,4},B={（x,y）\x^A,y&A,

x-y^A},则5中所含元素的个数为（）

A.5B.6

C.10D.15

答案D

解析因为xGZ,y^A,x—y^A,

所以分以下5种情况:

①x-y=l,有四个，(2,1),(3,2),(4,3),(1,0)；

@x-y=2,有三个,(3,1),(4,2),(2,0)；

@x-y=3,有两个，(4,1),(3,0)；

@x-y=4,有一个，（4,0）；

⑤x—y=0,有五个，(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

综上，B中所含元素的个数为15.

(2)若集合N={a—3,2a—1,a2-4},且一3GZ,则实数a=.

答案0或1

解析①当a—3=—3时，a=0,此时N={—3,—1,—4),

②当2a—1=—3时，a=-1,此时Z={-4,—3,13}舍去，

③当(22—4=—3时，<2=±1,由②可知。=一1舍去，则当。=1时，z={-2,1,

—3}，

综上，a=0或1.

感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是

其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验

集合中的元素是否满足互异性.

训练1⑴(2023•湖北九师联盟质检)已知集合/={x|(2a—x)(x—。)<0}，若2c4,

则实数。的取值范围为()

A.(—8,1)U(2,+8)B.[l,2)

C.(L2)D.[L2]

答案D

解析因为2生4所以(2a—2)(2—a)>0,解得lWaW2.

(2)(2023•石家庄联考)已知集合4={(x,y)\x2+y2=l},集合3={(x,y)\y=\x\-l},

则集合ZHB的真子集的个数为()

A.3B.4

C.7D.8

答案C

解析结合图象可知，集合znB有3个元素，所以集合znB的真子集的个数为

23—1=7.

考点二集合间的基本关系

例2(1)已知集合幺={x,2—2x—3W0},集合5={x||x—1]W3},集合C=

x+5J,则集合4B,C的关系正确的是()

A匹ZB.Z=5

C.CQBD.ZGC

答案D

解析因为/—2x—3W0,所以一1WXW3,则Z=[—1,3]；

又|x—1|W3,即一3Wx—1W3,所以一2WxW4,则8=[—2,4]；

X—4

因为WO,所以一5<xW4,

x+5

则C=(—5,4］,所以ZC5,AQC,BQC.

(2)(2022•西安二模)已知集合4="I卜―4I<；},5=司“<”<2】若8受，则实

数a的取值范围是.

答案［0,+°0)

解析由I"4I<1,得:,

4444

解得0<x<《，即2=［仇0

2

当。三1时，5=0,满足5白；

2

当时，因为5CZ,所以0Wa<1

22

综上，实数。的取值范围是［0,+-).

感悟提升1.若3三4,应分5=0和5W0两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区

间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对

参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

训练2(1)已知集合2={小2—3x+2=0},8={xWN|x2—6x<0},则满足ZCQB

的集合C的个数为()

A.4B.6

C.7D.8

答案C

解析•.1={1,2},B={1,2,3,4,5},且NCQB,

...集合C的所有可能为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,

2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.

(2)(2023•景德镇模拟)设集合M={x|—3<xV7},N={x\2~t<x<2t+l,/©R}.

若M^N=M,则实数t的取值范围为.

答案(一8,3]

解析由MUN=〃，得NGM

因为集合河={川-3<x<7},N={x\2-t<x<2t+l,PR},

当N=0时，有2—/22%+1,解得/WL

3

2t~\~1>2—t,

当NW。时，有-2%+1W7,解得

2一/三一3,

综上，实数/的取值范围为(一8,3].

考点三集合的运算

例3(lX2022•新高考I卷)若集合/={xg<4},N={x|3x却},则MAN=()

A.{x|0<x<2}B-X|J<X<2-

C.{x|3<x<16)D.h<⑹

答案D

解析因为"={讣6<4},所以/={x|0Wx<16}；

因为N={x|3x21},所以

所以MnN=「3J,故选D.

(2)(2022•全国甲卷)设全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合Z={-1,2},B

={x|x2-4x+3=0},则C必U8)=()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析集合8={1,3},所以ZU5={-1,1,2,3),所以C必U5)={—2,

0).

(3)集合”={x|2/—x—1VO},N={x|2x+tz>0},U=R.若MC(CuN)=。,则a

的取值范围是.

答案［1,+8)

解析易得〃={x|2x2—X—1<0}=卜—

\*N={x\lx+a>(}}=L2J,/.CuN=2.

由〃n(C亦)=0,则一g,得a>l.

感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究

其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是

空心.

训练3(1)(2022・浙江卷)设集合Z={1,2},B={2,4,6},则ZU5=()

A.{2}B.{1,2}

C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

答案D

解析由集合并集的定义，得ZU8={1,2,4,6).

(2)(多选)(2022・武汉二模)已知集合/={1,4,a},B={1,2,3},若ZUB={1,

2,3,4},则。的取值可以是()

A.2B.3

C.4D.5

答案AB

解析因为ZU8={1,2,3,4),

所以{1,4,a}{1,2,3,4},

所以a=2或3.

(3)(2023,沈阳联考)已知。={x|—3WxV3},/={x|—2WxV3},则图中阴影表示

的集合是

u

A

答案[—3,-2)

解析由题图可知，阴影表示的集合为集合/相对于全集。的补集，即阴影表示

的集合是CuA—｛x\—3WxV-2｝.

考点四集合的新定义问题

例4非空数集Z如果满足：①0胡；②若VxL,有则称2是“互倒集”.

X

给出以下数集：

・_2

①｛%©此/+"+1=0｝；②｛小2—6x+lW0｝；③"x''',其中是“互

倒集”的序号是.

答案②③

解析①中，｛xGR|x2+ax+1=0｝,

二次方程判别式/=屋一4,

故一2＜。＜2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；

②中，｛x|x2—6x+1^0),

即｛x|3—22WxW3+2/｝,

显然0生4

乂3+2/\、3―23，

即3-2/W&3+2也

X

故1也在集合中，符合题意；

X

③中，卜代J2xe[1)4,

易得蛆20W2；0生幺，

又!W22,

2了

故1也在集合Z中，符合题意.

感悟提升解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题

目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

训练4（2023•青岛调研）设2,B,C是非空集合，定义且且

xGC}.已知2=任b=世2+4%},B={y\y=Y+\},C={x|log2%<3},则Z0C=

答案（1，8）

解析因为A={x[y=^x2+4x}={x|x2+4x>0}={x|x<—4或x>0},

B={y\y=y+l]={y\y>l],

C={x|log2%<3}={x|0<x<8},

所以/必・。=（1,8）.

~Venn图的应用拓展视野

在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的

交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍用Card表示

有限集中元素的个数，即Card。）表示有限集幺的元素个数.

例（2020•新高考全国I卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生

喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢

足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

答案C

解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，

V^60%-x82%-x^y

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为X,

则（60%—x）+（82%—x）+x=96%,解得x=46%.

训练某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，

70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人

同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲

座，则听讲座的人数为

答案184

解析将已知条件用Venn图表示出来如图所示，所以听讲座的人数为

62+7+5+11+45+4+50=184.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.（2022•全国乙卷）设全集。={1,2,3,4,5},集合“满足C以f={1,3},则（）

A.2cMB.3£M

CA^MD.5"f

答案A

解析由题意知M={2,4,5）.

2.设集合幺={刈082（%一1）<2},5={x|x<5},贝U（）

A.A=BB.BQA

C.AQBD.Zn8=0

答案C

解析由log2（xT）<2得0<xT<4,

解得l<x<5,则2={却<》<5},

又5={x|x<5},所以NGA

3.（2023・广州模拟）已知集合2="©2|—1・;（<1},8={x|0WxW2},则ZAB的

子集个数为（）

A.2B.3

C.4D.6

答案C

解析由题意得zn8={0,1},所以其子集个数为4.

4（2022•新高考H卷）已知集合4={—1,1,2,4},4—10},则203=

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由|x—1|W1,得一iWxTWl,解得0WxW2,

所以8={x|0WxW2},所以/n8={l,2}.

5.(2023•石家庄调研)已知集合工={1,2,3,4},B={y\y=2x-3,x^A},则集

合zn5=()

A.{1}B.{1,2}

C.{1,3}D.{1,2,4}

答案C

解析由题设，5={-l,1,3,5),故/05={1,3}.

6.(2022•北京卷)已知全集。=3一3<x<3},集合2={x|—2<xWl},则CuA=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(—3,-2]U(1,3)

答案D

解析因为全集。=(—3,3),A=(-2,1],

所以C必=(—3,-2]U(1,3).

7.设集合尸={y[y=x2+l},M={x^=x2+l},则集合〃与集合尸的关系是()

A.M=PB.P^M

C.MPD.PM

答案D

解析因为尸={y[y=x2+l}=[y[y〉l},

M={x[y=x2+l}=R,所以尸M.

8.(2022•南京三模)已知R是实数集，集合/={xeZ||x|Wl},8={x|2x—1NO},

则Zn(CR5)=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.0

答案A

-1-.ko]oI

解析因为幺={-1,0,1},B=[2,J,

所以zn（cR8）={—i,o}.

9.（2023・长沙质检）设集合A={x|x<3},B={x|x2-6x+5W0},则ZnB=.

答案[b3]

解析由/—6x+5=（x—l）（x—5）W0,

解得1WXW5,即8=[1,5],

又N={x|xW3},：.A^B=[\,3].

10.（2022•厦门二模）已知集合2=[1,6],B={x\y=^c^a},若ZCB,则实数a的

取值范围是.

答案（一8,1]

解析由X—'。三0,得

所以8=[a,+°°）,

因为Z=[l,6],JLAQB,所以aWl,

所以实数。的取值范围是（一8,1].

n.若全集U=R,z={x|—1WXW6},5={x|0<x<8},则图中阴影部分所表示的

集合为.

答案{x|0<x<6}

解析由题图知阴影部分所表示的集合为Zn8={x|0<xW6}.

12.已知集合/={x[y=lg(a—x)},B={x\l<x<2},且(CR5)UN=R,则实数。的

取值范围是.

答案[2,4-o0)

解析由已知可得z=(—8,a),CR5=(—1]U[2,+°°),

V(CR8)UZ=R,：.a、2.

【B级能力提升】

13.(多选)若集合Z={Rsin2x=l},B={y\y=^+^,左©Z},则下列结论正确的是

A.4UB=BB.CRBQCRA

C.AHB=0D.CRZGCRB

答案AB

々力।.c1、.小=E+4Lx=4hi+^^EZ

解析^={x|sin2x=l}=r'4J=r'4J

y[y=^+p左卜上;2^,左ez

B=

4/兀+兀2E+兀

x\x,左©Z

显然集合44

所以NG8,则NU8=5成立，所以A正确.

CRBQCRZ成立，所以B正确，D错误.

AC\B=A,所以C错误.

14.（多选X2023•福州联考）已知全集。={0,I,2,3,4,5,6,7},集合4={xWN|x

<5},B={\,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{0,2,4}B.{2,4}

C.An（CuB）D.（C必）n（c出）

答案AC

解析由图可知阴影部分所表示的集合为zn（c中），故c正确；

因为/={xGN|x<5}={0,I,2,3,4},CuB={0,2,4,6）,

所以zn（c的）={0,2,4},故A正确.

15.已知集合N={x|l<xV3},B={x\2m<x<