2025年高考数学一轮复习：抛物线（新高考专用）（解析版）

专题27抛物线（六大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01抛物线的的定义

♦题型02抛物线的的标准方程

♦题型03抛物线的性质

♦题型04直线与抛物线

♦题型05焦点弦的综合应用

♦题型06最值问题

♦题型01抛物线的的定义

1.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.

【解析】抛物线V=12x的焦点坐标为网3,0）,

设点P5,%）到尸（3,0）的距离等于7,

则附=3+%=7,解得％=4.

故选：C.

2.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为£P（4,Y）为C上一点，则归目=（）

9

A.—B.5C.6D.4-\/2

2

【答案】B

【分析】将P（4,T）代入抛物线。的方程中解得P,由抛物线定义可求|PF|.

【解析】将P（4T）代入C,解得2=2,由抛物线的定义可知闸=4+勺5.

故选：B

3.设厂为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为:，则|AF|=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由抛物线的定义可知|”|=|AB|,再由抛物线的性质可得|AB|=g|A司+2即可求解.

【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点A作A3垂直准线于点8,

7T

过焦点F作RT垂直于于点C,由题意可知p=2,AAFx=ZFAC=-,

根据抛物线的定义|A厂|=|AB|=|AC|+|CB|

在RSAbC中，|AC|=|A司•cosgn司，又忸C=p=2,

所以|A司=|A2|=；|A司+2,

解得|AF|=4.

故选：C.

4.已知点A是抛物线C:y2=2/(p>0)上一点，若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,

则P=()

A.1,或2B.2或4C.2或8D.4或8

【答案】C

【分析】由题意得到|以|=4,乙+5=5,结合门=20工人得到方程，求出P的值.

【解析】由题意得|以|=4,4+5=5,

其中y；=2内…故2P[5-金=16,解得。=2或8,

故选：C

5.动点Af(x,y)满足方程5J(尤-+(y-2『=|3x+4y+12],则点M的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.

【解析】由5历=<+纣+叫得而下诉。今里

等式左边表示点（x,y）和点（1,2）的距离，

等式的右边表示点（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离，

整个等式表示的意义是点（X,y）到点（1,2）的距离和至IJ直线3x+4y+12=o的距离相等,

且点（1,2）不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.

故选：D.

♦题型02抛物线的的标准方程

6.已知曲线y=log2024G-3）过抛物线C:y2=〃比的焦点，则C的准线方程为（）

A.x=-—B.y=-4

4

C.x=-4D.y=~—

4

【答案】C

【分析】利用对数函数图象过定点可知（4,0）即为C的焦点，即可得出其准线方程.

【解析】易知函数y=log2024（x-3）过X轴上定点（4,0）,即为C的焦点，

故C的准线方程为x=T.

故选：C.

7.抛物线》=-工一,5>0）的准线方程是（）

a

aa.

A.y=—B.y=-^aC.y=——D.y=4a

44

【答案】A

【分析】直接法求解抛物线的准线方程.

【解析】抛物线丫=-工*2,（。>0）即/=-3，它的的准线方程为y=g

a4

故选：A.

8.设抛物线C:/=4x的焦点为尸，准线为/,点3（3,0）,C上一点A至卜的距离等于|钿|,则△4B的面

积为（）

A.2B.2A/2C.3D.3正

【答案】B

【分析】根据抛物线的几何性质，求点A的坐标，即可求三角形的面积.

【解析】如图：由题意得，尸(1,0),4至心的距离为|仞|,|4刈=必可=|/叫,

即点A在线段FB的垂直平分线上，

所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方，代入得，A(2,2A/2),

所以△儿?»面积为gx2x20=20.

故选：B

9.已知点尸(6,%)在焦点为尸的抛物线C:y2=2p尤(p>0)上，若附W，则()

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【分析】由抛物线的定义列方程可得.

【解析】抛物线C：y=2px(p>0),准线彳=-4，*6,%),

由抛物线的定义可知|P刊=6+5=5，解得。=3.

故选：A.

10.已知椭圆G：—+4=1"<2)的左右焦点分别为公，区,抛物线C°：y2=2px(p>o)的焦点

4b

与G的右焦点重合，〃为G上的点，三角形孙鸟的周长为5,则。=（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】C

【分析】利用椭圆定义结合AM耳区的周长即可求得c=；,再由焦点重合可求得P=L

【解析】根据椭圆方程可得。=2,入的周长为2a+2c=5,可得c=J；

所以G的右焦点为"&，。），抛物线Q的焦点为（省,0）,

即5=；，解得0=L

故选：c

♦题型03抛物线的性质

11.对抛物线:f=y,下列描述正确的是（）

O

A.开口向上，焦点为（0,2）B.开口向上，焦点为

C.开口向右，焦点为（2,0）D.开口向上，焦点为（0,；|

【答案】A

【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.

【解析】抛物线方程：Y=y,化成标准方程形式d=8y,可得其开口向上，焦点坐标为（0,2）.

O

故选A项.

【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.

12.已知抛物线V=2px（p>。），直线x="z与抛物线交于A（西，M）,BO2,必）两点，贝!]%+%=.

【答案】0

【分析】利用抛物线的对称性得到%=-%，从而得解.

【解析】因为抛物线丁=2px（0>0）关于x轴对称，直线x="z与x轴垂直，

故％=-%，即％+、2=°.

故答案为：0.

13.已知抛物线C:/=2x的焦点为产，若C上存在三点4鸟,舄，且歹为人片鸟△的重心，则三边中

线长之和为.

【答案】|9

【分析】先求抛物线焦点坐标，根据三角形重心坐标公式可得%+%+W=:3，由抛物线焦半径，结合三角

形重心的性质，可求三边中线长之和.

【解析】如图：

依题意尸（；,。］,设4a,%）,6（%2,%），勺（七,为），

因为尸为的重心，所以西+：+一=;,即占+々+W=|.

由抛物线的定义可知忸尸上西+：所以边鸟鸟的中线长为出

同理可得边6A和边4乙的中线长分别为区司=；仕+；］，怩q=：|5耳=：（尤2+；］.

N乙）乙乙1乙）

所以鸟三边中线长之和为Q3［（玉+%+退+23、）=59.

9

故答案为：—

14.焦点弦

直线过抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸，与抛物线交于A（&M）、5（乙,%）两点，由抛物线的定义知,

|AF|=x1+|,|BF|=%2+|,故|AB|=.

【答案】\+x2+p

【分析】略

【解析】略

♦题型04直线与抛物线

Q

15.若直线3H-3y-2=0与抛物线无交点，则左的取值范围为.

【答案】（-1』）

【分析】联立直线与抛物线方程消，得关于x的二次方程，由A<O求解上的范围即可.

Qq

【解析】由得了=白2,

3o

g

代入3fcf_3y_2=0中得二彳2_3丘+2=0,

8

Q

因为直线3区-3y-2=0与抛物线f无交点,

?9

故A=（-3左）-4X-X2=%2-9<0,

8

解得—1<^<1.

故答案为：(-1,1).

16.已知抛物线对称轴为x轴.若抛物线上的动点到直线3x+4y-12=0的最短距离为1,则该抛物线的标

准方程为

71

【答案】4-丁

【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方

程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解.

【解析】如图，若抛物线上的动点到直线版+分-12=0的最短距离为1,即抛物线的焦点在x轴的负半轴,

设抛物线方程为y2=-2px,p>0,如图，平移直线3x+4y-12=0,当直线与抛物线相切时，此时切点到直

切点到直线3x+4y-12=0的距离为平行线间的距离,

c+12

即」/——=1,得c=—7或c=—17(舍)，所以切线方程为3x+4y-7=0,

732+42

21

联立y2=—2px,得3y2-8py+14P=0,A=64/?2-168p=0,得,=一或,=0（舍）,

8

71

所以抛物线方程为V=-

4

71

故答案为：y2=---X

17.己知，顶点为。的抛物线C:无2=20y(p>O),焦点为尸，点尸是C上一点，已知4尸。尸的外接圆与C的

QJT

准线相切，且外接圆的面积为半，过点”（1,-2）作C的两条切线,切点分别为A3,则^MAB的面积为

77

【答案】y

【分析】利用三角形外心的性质结合圆的面积可确定抛物线方程，再设42坐标，结合直线与抛物线相切

及同解方程得出切点弦方程，再根据点到直线的距离公式及弦长公式计算即可.

【解析】易知尸,，■!），则APO产的外接圆圆心的纵坐标为?，

由题意得APO尸的外接圆半径为与+《=乎，故」龙［=羽，解得P=2,

424I.4）4

所以c的方程为1F，即尸上

设点401，为），直线M4的方程为了一乂=左（彳一石）,

l2

=x2

联立?4/^-x—kx:+/al-y1=0.

y=k(x-x1)+y1一

因为相切，所以公=42-腐+%=0,解得％=；%,

故直线M4的方程为y玉•兀一：%；+%,结合片=4为得y=g玉％-乂①,

设点BQ2,为），同理得直线MB的方程为y=^x2x-y2@,

1c

%=,玉+2

将代入①②得，

1。

%=5犬2+2

所以直线A3的方程为y=gx+2.

x2=4y

由＜1,得X2_2%—8=0,贝!!再+%2=2,玉工2=-8,

y=—x+2

2

故|AB|=+%2)2_4/入2=3下.

919

又易得点M到直线AS的距禺为^,所以M=1.

27

故答案为:

2

♦题型05焦点弦的综合应用

18.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线上的任一点到其焦点尸的距离比其到y轴的距离大1,过产作

直线/交抛物线于A8,以线段A3为直径的圆“交V轴于C,。，则|CE）|的最小值为.

【答案】2石

【分析】利用抛物线定义先确定抛物线方程，设点A8坐标由韦达定理可得M坐标，利用垂径定理计算弦

长，再由二次函数的性质求最值即可.

【解析】由抛物线定义可知5=1,即。=2,则焦点为尸（1,0）或-

取尸（1,0）,则抛物线方程为/=4x.

设直线A3:x=2y+1,代入y2="得/一4冲一4=0.

设/（%1，月）,8（%2，%），则必+为=4帆，%%=—4,

贝口%+%2=m（％+%）+2=4加之+2.

则以线段A5为直径的圆M的圆心1,2m）,

半径r=同=gjl+疗E_乃|=gJ1+疗•J16疗+16=2m2+2,

过M作必7，^）于点“，连接

|CD|2=（2|DH|）2=4（r2-|MH|2）=4^2m2+2）?—（2w?+=4（4m2+3）＞12,

当机=0时，|co|有最小值2VL

同理可设当取网-1,0）抛物线方程为y2=-4x时，|cq也有最小值2TL

故答案为：26

19.已知抛物线己9=2°尤5>0）上有两个不同的点48,线段AB的垂直平分线交x轴于0（4,0）点，且

的最大值为6,则2=.

【答案】2

【分析】涉及中点弦，用A8中点M的坐标以及P（点差法）表示线段的垂直平分线的斜率，结合题意

可列方程消去参数得，%=4-。，结合三角形三边关系得|4B|的最大值，进一步可列方程求出P.

【解析】设4（%,%）,8（久2，光），线段A3的中点为“（不，%），易知直线的斜率存在且不为0.

设直线的斜率为上,则一=>才一贤=2。（西一无2）,

故k=入二匹=a二=旦

占f%+%%，

设C的焦点为F,连接AF,8尸，则有|AF|+忸耳=百+赴+。=2/+。=8-，

又因为|4B|的最大值为6,

所以根据抛物线性质和三角形三边关系知，|初区/团+忸同=8-p=6,等号成立当且仅当A3为焦点弦;

故答案为：2.

20.已知抛物线C：炉=4〉的焦点为尸，过点歹作两条直线34，乙与抛物线C交于P,。两点，乙与抛

物线c交于M,N两点,若直线4与4的斜率之积为-2,则的最小值为.

【答案】144

【分析】设直线小，=履+1（左彳0）,设P（”i，yi）,Q（x2,y2）,将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与

系数的关系，结合弦长公式表示出|PQ|,同理表示出|MN|,然后化简|尸。口”用，结合基本不等式可求出其

最小值.

【解析】由题意得两直线的斜率存在且不为零，设直线jy=kx+l（k^0）,

A二"，，消去丫得d—4履-4=0.

联立方程

y=KX+1

设PQ1，%），Q（尤2而，再.多=4%，XjX2=-4,

则|PQ\=y/1+k2-，（尤］+々）2-你尤2=4（1+^2）.

2

直线4与k的斜率之积为-2,，直线4的斜率为

k

同理可得|MN|

\PQ\-\MN\=16(l+k2)(l+^]=16(5+k2+

>165+2卜*=144,

当且仅当上=±亚时取等号,

的最小值为144.

21.设。为坐标原点，直线y=-g（x-l）过抛物线C：/=2px（p>0）的焦点，且与C交于M,N两点,

/为C的准线，则（）

o

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.AZW为等腰三角形

【答案】C

【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得P,进而判断A；将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理得

出与+/=],由焦半径公式即可判断B；由M,N的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离，即可

判断C；分别求出两点的坐标，根据韦达定理即可判断D.

【解析】对于A,直线y=-百(无一1)过抛物线V=2px(p>0)的焦点，可得与=1,所以0=2,故A错误；

对于B,抛物线方程为：俨=4不与c交于两点，

直线方程代入抛物线方程可得，3尤2-10X+3=0,所以%+n=三，

所以|上叫=与+无N+P=/，故B不正确；

CCQ1

对于c,M,N的中点的横坐标为中点到抛物线的准线的距离为1+|=|='MM，

所以以"N为直径的圆与/相切，故C正确；

对于D,由B得，3X2-10X+3=0,解得x=3或x=g,

不妨设=3,0=,,则加=—26,yN=，,

JD

所以|OM|=j9+12=®,|ON|=「十平,|MN吟,

所以△沏不是等腰三角形，故D错误；

故选：C

22.已知抛物线。:y=2内(°>0)的焦点为产，过点歹的直线/与抛物线C交于A,8(A在第一象限)两点,

0为坐标原点，若|明=3忸典=9,则△Q42的面积是（）

A.372B.6C.60D.12

【答案】C

【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用|4?|=3怛同转化为y=-2%，再结合韦达定理与抛物线定

义求解即可.

【解析】设直线/：x=wiy+'|,A。:[,yi）,B（久2，、2），其中%>°，％<°.

V=2px,

联立p整理得y2-2pmy-02=0,

x=my+-^-,

其中公=4。2加2+4〃2>0恒成立,

贝I①.

因为|蝴=3忸同,BP|AF|=2|BF|,所以必=-2%>。，

2

即必=4代入①式得-卷=-p2,

22

解得乂=血°,所以%=于-=。，且%=-比0,

ZP2

因为朋=3|明=9,则忸尸|=3,所以|AF|=6,

所以由抛物线定义得药+5=|0=6,解得p=4,

则△OAB的面积

一(I-、-

5=-|OF||^-y2|=-x^x岛———p=-X2X(4A/2+2>/2)=6A/2.

222、22

故选：C.

23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点下的直线,交C于M,N两点，线段上W的中点为E,

过E作线段的中垂线交x轴于点R,过M,N两点分别作C的准线的垂线，垂足分别为A,8.线段A8的

PF

中点为P,贝1=()

ER

11

A.1B.-C.2D.-

23

【答案】A

【分析】设直线=+与抛物线联立方程组，求得瓦R的坐标，可得到|"|=怛”.进而求

出7PF?\的值•

设直线X=ty+2,y2-2pty-p2=0,

J'=2px,

(y+%=2”/、°

所以｛2则玉+%2=，(％+%)+0=2。/+P，

[yry2=-p，一一

得线段"N的中点为《七三，七及[，即+5,p,，

线段MN的中垂线方程为》=-；(>-0)+「/+勺

令y=0,得了=〃产+|^.所以尺卜"+^〃。],所以|RF|=p/+p,

又|£P|=J(MA+A®)=：(占+§+/+§]=；(%+/+P)=P，2+p,

乙乙\乙乙J乙

PF

所以|即|=但凡又RF〃EP所以四边形EP网为平行四边形，因此|所?|=|尸耳，所以

,HK

故选：A.

24.已知抛物线C:y2=2x的焦点为尸，过点尸作直线/与抛物线C交于4（町、1）,8（久2，%）两点，则说法不

正确（）

A.线段|28|长度的最小值为2

B.当直线/斜率为-1时，中点坐标为（|,1）

C.以线段48为直径的圆与直线x=-g相切

D.存在点川-；,0）,使得ZAMF=ZBMF

【答案】B

【分析】A：通过联立思想得到％%,由此可计算出现马,利用焦点弦公式以及基本不等式求解出|4B|的最

小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离

是否等于半径即可；D：代入M坐标，计算出您M+怎.的值，根据结果再进行判断.

【解析】对于A：C:/=2x的焦点坐标为尸&,0）直线/的斜率不为0,设//=冲+；,401，%）,18（＞2，%），

1

x=myT——.

联立｛2,可得y-2my-1=0,且A=4m2+1＞0,

、y2=2x

所以％%=T，所以尤其=£♦£■=（%%）-=J,,且玉＞0,%＞。，

122244

所以|AB卜玉+X2+pN2j^"+l=2,当且仅当芯=々=g时取等号，故A正确；

对于B：因为FL；"，所以犬—£=2（不—%），所以『瞪

［为=2々占一%2%+%

2

所以T=------,所以&曰=-1,即AB中点纵坐标为-1,故B错误；

对于C：抛物线的准线方程》=设48中点为T,过点AB,T向准线作垂线,

2

垂足分别为A,B',T,如下图：

由抛物线的定义可知:M=肛四±因=网±皿四="[

即|77[等于以48为直径的圆的半径长,故C正确;

X%=2yl2%=2M（£+1）+2%（才+1

g，。）时,kAM+kBM=

对于D：当M”」行而二（犬+心】）

（%+%）（2%%+2）

所以KM+^BM=

（才+*4+1）

由选项A可知：X%=T，所以2弘%+2=0,所以此时KM+%BM=。，

所以AM,8M的倾斜角互补，所以Z4AiF=N&WF,故D正确；

故选：B

【点睛】结论点睛：已知是抛物线yZ=2p£(p>0)的过焦点2的一条弦,设力(久“。爪孙乃)，则有:

2

(1)|-AB|=XJ+%2+P(2)Xj%2=,>1%=—P~-

♦题型06最值问题

25.已知下为抛物线GV=2x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线44,直线4与C交于A3两点，直

线4与C交于2E两点，则|AB|+|D©的最小值为

【答案】8

【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出|4B|,再结合垂直斜率关系得出I。耳，最后

应用基本不等式得出弦长和的最小值即可.

【解析】由题意知，直线4,的斜率都存在且不为0,

y2=2x

则直线4的斜率为;,

联立方程得1

尸+5

1

消去X得y-2fy-l=0,T^A(x1,y1),B(x2,y2),

贝I%+%=2入%%=-1.

所以=J*+1|%-y2\

=J/+l•%『-4%%

=J产+1J4L+4=2tl+2,

17

同理，用一替换/可得。同=丁+2,

t11r

所以|AB|+|OE|=21+\）+4N2X2^Z^+4=8,

当且仅当r=，，即公±1时等号成立，故目的最小值为8.

故答案为：8.

26.已知点厂为抛物线V=16y的焦点，点P为抛物线上一动点，平面内存在一点N（l,2）,使△PNF的周

长最小，则点尸的坐标为

【答案】（1，总

【分析】由题意可得要使△PNF的周长最小，即需|桥|+|尸盟最小，结合抛物线性质，可得|PF|等于点尸到

准线的距离，设尸到准线的垂足为£）,从而可得P,N,。三点共线时，|A阳+|正口最小，此时点尸的横坐标与

N点横坐标相同，再解出纵坐标即可得.

【解析】由题可知产（0,4）,因为△P2VF的周长为|而|+|即|+|尸司，

而|八不|=J（l-0）2+（2-4）2=非,所以只需|网+归用最小即可,

因为点尸在抛物线上，所以|PF|等于点P到准线y=T的距离,

设尸到准线的垂足为O,因止匕|沏|+|尸尸|=|四+|尸。|,

即P,N,O三点共线时,|阴+|因最小为6,

%2

—,即p1,

16162

02模拟精练

一、单选题

L（2024・陕西安康•模拟预测）将抛物线,二根宣加〉o）绕其顶点逆时针旋转后，其准线方程为

立工_冥［,则实数机=（）

33

11

A.-B.——C.2D.-2

44

【答案】A

【分析】利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出机=1.

4

【解析】因为抛物线y=心?（%>0）旋转后对应的准线方程为y$x一当,

且点（0,0）到直线y=?x-芈的距离为1.由知・=1，

解得相=J.

4

故选：A.

2.（2024・四川成都•模拟预测）设抛物线V=4x的焦点为尸，过抛物线上一点。作其准线的垂线，设垂足为

Q,若ZPQ尸=30°,则|PQ|=()

22月4l

A.-B.C.-D.J3

333

【答案】C

\PF\=2

【分析】由题意可得尸尸的倾斜角为120。，进而可得II]+1，计算即可.

2

【解析】作出示意图如图所示：

则抛物线的性质，可得|尸盟=|PQ|,又NPQ产=30。，

所以可得尸尸的倾斜角为120。，

则可得J尸尸l+|PQI=：|P尸1+1尸尸l=P=2,

从而II3.

2

故选：C.

3.（2024•江西•二模）直线/过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，且与C交于A,8两点，若使|钻|=2的直

线/恰有2条，则P的取值范围为（）

A.0</J<1B.0<p<2C.p>lD.p>2

【答案】A

【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定2。<2,由此可得所求范

围.

【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为（日,0）,通径长为2p,

当A3垂直于x轴时，A3两点坐标为[，士p）,

止匕时|的*=2pv2,且p>0,

即抛物线的焦点弦中，通径最短,

所以。.

故选：A.

4.（2024•广东佛山•模拟预测）已知M是抛物线尸=4尤上的一点，E是抛物线的焦点，以网为始边、FM为

终边的角ZxFM=50°,则点M的横坐标为（）

221

A.-------------B.-------------C.tan225°D.-——

1-cos50°1+cos50°tan2525°

【答案】D

【分析】过河作无轴于点N,设点M的横坐标为七,利用抛物线的定义得到I〃尸1=%+1,在RtAMVF

中，利用余弦和二倍角的余弦公式即可求解.

【解析】解：过M作轴于点N,设点Af的横坐标为尤o，

抛物线/二以，则焦点BQ,0）,准线方程为x=-L,

根据抛物线的定义得\MF\=x0+l,

在RtZXMVF中,

cosZxFM=,

\MF\x0+\

__1+cos50°_l+2cosZ25°-l_]

"X°~1-cos50°_l-(l-2sin225°)—tan2250,

故选：D.

5.（2024・全国•模拟预测）已知抛物线V=2px上不同三点A,氏C的横坐标成等差数列，尸为抛物线焦点,

贝IJ（）

A.A,民C的纵坐标成等差数列

B.A氏C到x轴的距离成等差数列

C.A,民C到原点的距离成等差数列

D.AB,C到点尸的距离成等差数列

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义，结合等差数列的定义、特殊值法逐一判断即可.

【解析】设三点A,B,C的坐标为&,乂）,仁,力），（£，%），尸]可，准线方程为x="，

因为抛物线y2=2p尤上不同三点A,民C的横坐标成等差数列，

所以有2尤2=玉+X3,于是有2尤+/—[―彳），

根据抛物线定义可以可得2怛「卜|AP|+|CP|,显然选项D正确；

当三点A,民C的坐标为（0,0）,（2,2/）,（4,2历），

因为P>0，所以2x2）=0+2^^不成立，因此选项A不正确；

因为A,民C到x轴的距离分别为0,2屈2折,P>0,

所以2x2〃=0+2而不成立，因此选项B不正确；

因为卜0|=0,忸Q|=j4+4p,|CQ|=J16+8p,p>0,

所以2xj4+4〃=0+J16+8夕不成立,因此选项C不正确；

故选：D

22

6.（2024•广东广州•模拟预测）已知椭圆E：I+与=l（q>b>0）与抛物线C：V=2px（p>0）,椭圆E与抛

ab

物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点，则椭圆E的离心率为（）

A.V2-1B,也C.直二D.垦1

222

【答案】A

【分析】根据抛物线的准线时椭圆的左焦点可求出。=与，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，

可知:+至=1，化简可得关于e方程，求解即可.

a2b2

【解析】根据题意知，抛物线C的准线经过椭圆E的左焦点可得c=5，

椭圆E与抛物线C交点的连线经过椭圆E的右焦点，所以C+至=1,

a2b2

Sc2=（22-b1,e=—

a

化简整理可得e4-6e2+l=0,

解之可得/=3-2五=（五-1）,或e2=3+2忘（舍），

所以可得e=0-L

故选：A

7.（2024・湖南益阳•一模）已知抛物线C]：V=4x,G:丁="的焦点分别为、F2,。分别为C1、

G上的点，且线段PQ平行于x轴，则下列结论错误的是（）

14

A.当|尸。|=5时，是直角三角形B.当I尸。|=§时，△鸟尸。是等腰三角形

C.存在四边形月片尸。是菱形D.存在四边形月月尸。是矩形

【答案】C

【分析】设出P，Q的坐标并求得IPQI，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案.

【解析】依题意，线段尸。平行于x轴，不妨设尸，。在第一象限，设P,t>

222

则归0==焦点耳。，0），耳（2,0）,

4oo

A选项，当|PQ|=£i=J■时，解得/=2,所以P（1,2）,Q「,2],

82I，）

则P耳，PQ,△耳尸。是直角三角形，A选项正确.

>

X

B选项‘当间d时’解得,=年

>0,

84

由于耳+耳一。，所以RQ关于直线*=2对称，而耳（2,0）,

一乙

2

所以此时△月尸。是等腰三角形.

对于CD选项，先考虑四边形G&PQ是平行四边形,

此时尸居，耳B，°耳，耳歹，|QE㈤耳闾,

所以四边形片舄PQ是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.

故选:c

8.（2024・四川雅安•三模）若抛物线C:x2=2py（0>O）的焦点为歹，直线y=3与抛物线C交于M,N两点，

|MF|=4,圆E为&WRV的外接圆，直线。尸与圆E相切于点尸，点。为圆E上任意一点，贝IJ丽•丽的取

值范围是（）

A.-||=9B.[-3,21]C.21D.[3,9]

【答案】B

【分析】借助焦半径公式计算可得P,结合外接圆的定义即可求得该外接圆方程，借助切线性质可得点P的

坐标，设出。点坐标，借助坐标表示出丽•丽，结合辅助角公式计算即可得解.

【解析】由|M司=4,可得>《=3+5=4,故p=2,贝|F（O,1）,

令丁=3,则x=±j2°x3=±2&,BPM,N分别为（±2百,3）,

令圆心坐标为（0,爪），则有（2指丁+（相-3）2=（加-1）2,解得m=5,

故圆E的半径为5-1=4,即圆E的方程为炉+（丫_5）2=16,

设P(4cose,5+4sin，)，6e[0,2?t],则有16cos?e+(5+4sinO)2=5?-4?,

43

化简得25+40sin，+16=9,BPsin^=--,则cosO=±g,

由圆的对称性，不妨设P在第一象限，即P

设Q(4cos6/,5+4sin(z),ae[0,2TT],

贝l]OP-OQ=x4cos(z+jx(5+4sina)=^cosa+sina+9

1212

=—(4costz+3sina)+9=—x5sin(a+^)+9=12sin(<2+^)+9,

廿d4

其中tan°=§,由ae[0,2兀],故sin(a+o)e[-l,l],

故亦而目-3,21].

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角函数设出尸、。的坐标，从而只用一个变量表示该点，用角

表示出丽•迎后，结合辅助角公式计算即可得.

二、多选题

9.（2024・湖南长沙•二模）已知抛物线C与抛物线/=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标是（-1,0）

B.抛物线C关于y轴对称

C.抛物线C的准线方程为x=l

D.抛物线C的焦点到准线的距离为4

【答案】AC

【分析】依题意可得抛物线C的方程为V=_4x,即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判

断即可.

【解析】因为抛物线C与抛物线V=4尤关于y轴对称，

所以抛物线C的方程为y2=-4.r,

则抛物线C的焦点坐标是（-1,0）,准线方程为x=l,故A、C正确；

抛物线C关于x轴对称，故B错误；

抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误.

故选：AC

10.（2023,浙江金华•模拟预测）已知抛物线C:y2=x，点A,8均在抛物线C上，点P（O,3）,贝lj（）

A.直线PA的斜率可能为《

B.线段以长度的最小值为行

C.若P,A,8三点共线，则存在唯一的点8,使得点A为线段PB的中点

D.若尸,48三点共线，则存在两个不同的点3,使得点A为线段总的中点

【答案】BD

【分析】根据两点斜率公式，结合一元二次方程的根可判断A,由两点距离公式，结合导数求单调性确定最

值可判断B,根据中点坐标公式，由一元二次方程根的个数可判断CD.

【解析】设4（靖,%）,3（为2，%）在抛物线上，且满足%=讨，％=方，

对于A,假如直线序的斜率可以为贝1］上转=，^=£今％2-10%+30=0，

由于A=100-120<0,则该方程无解，所以直线外的斜率不可能为A,故A错误，

对于B,|尸川=&+（3-/,记y=y］4+（3-yj2,，y，=4y3—2（3-yJ,

记g（y）=W—2（3—%）,.・.g，（％）=12y2+2>0,y=g（yJ单调递增,

42

由于，［尸=。，因此X>Ly'>0,y=y,+（3-yl）单调递增，

42

当必<1时，y<0,y=y1+（3-y1）单调递减，故当必=1时，y=y：+（3—x）2取最小值5,

因此归川4婷+（3_3）2的最小值为新，故B正确，

对于C,若P,A,B三点共线，A为线段网的中点，贝|0+%=2占,3+%=2%,

将4（靖,乂）乃（为2,必）代入抛物线方程中得

，（）2

y=x2=>2%—32=x2=2%j=>2y2—12^+9=0,A=144—4x2x9=72>0>

故2%2-12%+9=0有两个不相等的实数根，所以满足条件的点3不唯一，故