2025年高考数学一轮复习讲义：导数的概念及运算（解析版）

专题15导数的概念及运算（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................10

【考点1】导数的运算........................................................10

【考点2】导数的几何意义....................................................14

【考点3】导数几何意义的应用................................................20

【分层检测】...............................................................25

【基础篇】.................................................................25

【能力篇】.................................................................31

【培优篇】.................................................................35

考试要求：

1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.

2.通过函数图象，理解导数的几何意义.

3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复

合函数（形如的导数.

・知识梳理

1.导数的概念

⑴如果当心一0时，平均变化率》无限趋近于一个确定的值，即总有极限，则称y=Ax）在X

=xo处可导，并把这个确定的值叫做y=/（x）在x=xo处的导数（也称瞬时变化率）,记作尸（xo）或

I.f+AJC）-f（JC）

lim—hm------------------O-

v'\x=x0,即/（X0）=ALO&r=4-0.

（2）当x=xo时，/（xo）是一个唯一确定的数，当x变化时，y=/（x）就是x的函数，我们称它为y

=/（x）的导函数（简称导数），记为了（》）（或y）,即/（x）=y=

f（x+Ax）—f（x）

lim7".

Ax—>0

2.导数的几何意义

函数y=Ax）在》=次处的导数的几何意义就是曲线y=/U）在点P（xo,函o））处的切线的斜率,相

应的切线方程为y—Kxo）=xo）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

1x）=c（c为常数）r（x）=o

,/(x)=xa(aGQ,aW0)f(x)=axai

fix)—sinx/(x)=cosX

fix)=cosXf(x)="sinx

Hx)=a”(a>0且aWl)f(x)=axlna

危尸e*

y(x)=logaX(tz>0且aWl)f(x)~xlna

/x)=lnx

2

4.导数的运算法则

若了⑴,g（x）存在，则有:

2

[/(x)土g(x)]，=[(x)±g(x)；

[AX)g(x)y=i(x)g(x)+Ax)g，(x)；

f(x)f(x)g(x)—f(x)g'(x)

IK卜收(x；F(g(Q。)；

[或切'=①.

5.复合函数的定义及其导数

(1)一般地，对于两个函数y=/(M)和M=g(x),如果通过中间变量a,y可以表示成X的函数，那

么称这个函数为函数y=/(M)与z/=g(x)的复合函数，记作y=fig(x)Y

(2)复合函数y=/(g(x))的导数和函数M=g(x)的导数间的关系为Vx'=yu'-Ux,即y对x

的导数等于y对M的导数与M对x的导数的乘积.

|常用结论

1/(X0)代表函数次X)在x=xo处的导数值；(/(xo))/是函数值兀TO)的导数，则(Axo)y=O.

「1]f(X)

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y=/(x)的导数/(x)反映了函数人x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大

小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

,真题自测

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)曲线在点I司处的切线方程为()

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=-x-\

424424

2.(2022・全国•高考真题)当X=1时，函数=+2取得最大值-2,贝U/'(2)=()

x

A.—1B.--C.gD.1

22

3.(2021•全国•高考真题)若过点(a,6)可以作曲线y=e'的两条切线，则()

A.cb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

二、多选题

4.(2022,全国・高考真题)已知函数y(x)=x3-x+i,则()

A.7(x)有两个极值点B.〃x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线>=/(无)的对称中心D.直线y=2x是曲线>=/(无)的切线

3

三、填空题

5.（2022・全国•高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

6.（2022•全国•高考真题）若曲线y=（x+a）e，有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

7.（2021・全国•高考真题）曲线y=3一在点（T-3）处的切线方程为.

8.（2021•全国•高考真题）已知函数/■。）=卜-1,％<0,々>0，函数F（x）的图象在点A（X1,/（xJ）和点

8（%，/（%））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则黑^取值范围是.

参考答案：

1.C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

【详解】设曲线y=工在点（图处的切线方程为，-好3-1），

x+1I2/2

ex

因为y=----，

x+1

ex(x+l)-e"

所以y'=

(尤+1)2

所以左=y'1=（

所以y_；=；（xT）

24、7

所以曲线广三在点O处的切线方程为y=++]

故选：C

2.B

【分析】根据题意可知〃1）=-2,/⑴=0即可解得a,b,再根据_f（x）即可解出.

【详解】因为函数定义域为（。,+功，所以依题可知，〃1）=-2,r（i）=o,而广（"=三一《，所以

b=-2,a-b=0,即。=-2,6=-2,所以尸（%）=一：+5,因此函数在（0,1）上递增，在（1,+8）上递减，

x=l时取最大值，满足题意，即有广（2）=-1+；=-;.

故选：B.

3.D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定

4

结果；

解法二：画出曲线>="的图象，根据直观即可判定点6)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线y=/上任取一点尸。,一)，对函数y="求导得y=e"

所以，曲线y=e'在点尸处的切线方程为y-d=d(xT),即y=e%+(l—t)d,

由题意可知，点(。,。)在直线丫=/》+(1—。/上，可得b=ae'+(1—=(a+l—t)e',

令『(')=(a+lT)d，则/'⑺=(«­)/.

当X。时，尸⑺>0,此时函数〃。单调递增，

当时，尸(。<0,此时函数/⑺单调递减，

所以，/⑺a"S)=e",

由题意可知，直线V=b与曲线y=/。)的图象有两个交点，则6<*/)a=e",

当/<4+1时，/(/)>0,当/>4+1时，/(r)<0,作出函数/'⑺的图象如下图所示：

由图可知，当0<6<e。时，直线y=6与曲线>="/)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=d的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作

出两条切线.由此可知0<6<e".

5

4

x

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

4.AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合AM的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的

几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3x2-l,令。得或

令((x)<0得——<x<――，

33

所以/(盼在(-*-g),(#,+00)上单调递增，(_g,专)上单调递减，所以x=土,是极值点，故A正确；

因/(一#)=1+半>0，/(¥)=1-孚>0，/(-2)=-5<0,

所以，函数外力在，0-上有一个零点，

当转正时，/(x)>/f^>0,即函数〃x)在上无零点，

3I3JI3J

综上所述，函数Ax)有一个零点，故B错误；

令Zz(x)=x3-无，该函数的定义域为R,7z(-x)=(-^)3-(-^v)=-x3+x=-h^x),

则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，

将无。)的图象向上移动一个单位得到八刈的图象，

所以点(0,D是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

6

令r（x）=3f—1=2,可得元=±1,又〃==

当切点为（1,1）时，切线方程为y=2x-1,当切点为（-M）时，切线方程为y=2尢+3,故D错误.

故选：AC.

11

5.y=一1y=—一x

ee

【分析】分x>0和尤<0两种情况，当x>0时设切点为（如山天），求出函数的导函数，即可求出切线的斜

率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出％,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（x0』n%）,求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出为,即可求出切线方程，当x<0时同理可得；

解:因为y=ln国，

当x>。时y=lnx,设切点为1,In5）,由；/=L所以所以切线方程为y—ln/o=’（无一天），

X玉）玉）

又切线过坐标原点，所以-皿％=’（一%），解得x0=e,所以切线方程为y_i='（x-e）,B|Jy=-x；

xoee

当x<0时y=ln（r）,设切点为（乱爪一%）），由y'=L所以*/=工，所以切线方程为

X再

y-ln（-x1）=—（x-xj,

又切线过坐标原点，所以-皿-%）=’（一%），解得占=-e,所以切线方程为y—1=-L（x+e）,即y=」x；

玉-ee

故答案为：y=—x；y=­x

ee

［方法二］：根据函数的对称性，数形结合

当x>0时y=lnx,设切点为（如山天），由：/=工，所以所以切线方程为y-lnx。='（x-x。），

X玉）％0

［11

又切线过坐标原点，所以Tnx°=一（一无。），解得x°=e,所以切线方程为y-1=—（》_e）,即y=-x；

xoee

因为>=1川乂是偶函数，图象为：

7

上1中1

所以当x<0时的切线，只需找到>=!》关于、/轴的对称直线?=-'尤即可.

ee

［方法三］:

因为丁=111同，

1,,1,1ZX

当x>0时y=lnx,设切点为(％,In/),由y'=—,所以yl『,=一,所以切线方程为>一也毛=一5一毛),

X玉)X。

又切线过坐标原点，所以-山与=’(-%),解得x°=e,所以切线方程为y-l=」(x-e),^y=-x；

X。ee

当x<0时y=ln(—x),设切点为(番,111(一%))，由y'=J,所以y'L1

F=一,所以切线方程为

再

y-ln(-X］)」(x-xJ,

x\

又切线过坐标原点，所以Tn(-%)='(一王)，解得占=_e,所以切线方程为y—l=±1a+e),即丁二，1不

玉—ee

故答案为：y=-x；y=--x.

ee

6.(-oo,T)_(0,+co)

【分析】设出切点横坐标%,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于/的方程，

根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】回y=(x+a)e",回y'=(x+l+a)e"

设切点为(题,％),则%=(/+a)e"，切线斜率无=(玄+1+a)e&,

切线方程为：y-(xo+a)e&=(x0+l+o)e^(x-x0),

回切线过原点，EI-5+a)e苑=5+l+a)e*(-)),

整理得：xo+axo—=0,

田切线有两条，回A=/+4a>①解得。<-4或。>0,

回。的取值范围是(y,T)(0,y),

8

故答案为：（-0°,T）（0,+co）

7.5元—y+2=0

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当尸-1时，产-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-1)5

求导得:所以y'0=5.

(x+2)2(x+2)2

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

8.(0,1)

【分析】结合导数的几何意义可得占+%=°，结合直线方程及两点间距离公式可得|4M|=^/175•㈤，

2

\BN\=yll+e^-\x2\,化简即可得解.

1—e”,x<0、—e”,%<0

【详解】由题意，=卜e—x纣则八z力

ex,x>0

所以点)和点B(x2,e^-1),kAM=-e\kBN=*,

以一e**=—1,再+兀2=0,

所以AM:y—1+ex'=_e''(x—%),M(0,e*'玉—e*1+1),

所以|AAf|=Jx；+(e*xj=Jl+e","|x)|»

同理忸N|=&7苫•国,

故答案为：（o,i）

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件国+%=。，消去一个变量后，运算即可得解.

■考点突破

【考点1】导数的运算

9

一、单选题

1.(2023・湖北,模拟预测)已知〃2>0,n>0,直线y=!X+m+1与曲线y=lnx-〃+2相切，则工+工的最

emn

小值是()

A.16B.12C.8D.4

2.(23-24高二上•江苏盐城•期末)若点尸是曲线>=炉_1!«；+1上任意一点，贝|点尸至IJ直线y=x-2的最小

距离为()

A.1B.—C.72D.

22

二、多选题

3.(2024・湖南•二模)已知函数及其导函数尸(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x).若"%)满足

〃2+3x)=〃-3x),g(x-2)的图象关于直线x=2对称，且g(0)=l,则()

A.g(x)是偶函数B.g(x)=g(x+4)

2024

c.〃尤)+〃-x)=0D.2g-=o

k=ll乙)

4.(2024•甘肃陇南•一模)已知函数/(力=三+/+办-4有3个不同的零点占,9，%,且尤也=T，则()

A.a=TB.〃x)<0的解集为(-1,2)

C.>=尤-7是曲线y=〃x)的切线D.点(TO)是曲线y=/(x)的对称中心

三、填空题

5.(23-24高三上,上海普陀,期末)函数〃力=肃>如果/(%)为奇函数，则。的取值范围为

6.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数/(%)=*3广⑴-41nx+2,贝厅(2)=.

参考答案：

1.D

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出租力的关系，再根据不等式中"1〃的整体代换即可得出答案.

【详解】对y=ln尤-〃+2求导得y=L

X

由y'=L='得无二e,贝lj'-e+m+l=lne-〃+2,即用+〃=1,

xee

-J1/\(1I、-n根、/

所以—I—=(根+〃)—I—=2H---1—>2+2=4,

mnn)mn

当且仅当根=〃=;时取等号.

故选：D.

10

2.D

【分析】求出平行于y=x-2的直线与曲线y=--inx+l相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可

得结论.

【详解】设尸(尤。,%),函数>=/-瓦+1的定义域为(0,y),求导得y'=2x-4，

当曲线y=f-lnx+l在点p处的切线平行于直线>=尤-2时，2x0--=l,

XQ

则(/-1)(2%+1)=0,而毛>0,解得%=1,于是%=a一lnl+l=2,

平行于>=尤-2的直线与曲线>=尤27nx+i相切的切点坐标为(1,2),

所以点P到直线V=X-2的最小距离即点(1,2)到直线y=x-2的距离d="尸=述.

V22

故选：D

3.ABD

【分析】推导出函数g(x)的奇偶性，设依)=/(%)+/(r),利用导数推导出函了)=/(%)+/(-力为常■

数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出g(x+2)+g(-x)=0,令x=T代值计算可判断B选项；

由/(x)+“T)=C、/(X+2)=/(T)推导可判断c选项；求出»勺)的值，结合函数的周期性可判断D

k=l2

选项.

【详解】对于A选项，因为函数g(x-2)的图象关于直线x=2对称，

则g(2—X—2)=g(2+x—2),

即g(-x)=g(x)，所以，函数g(x)为偶函数，故A正确；

对于B选项，因为〃2+3力=〃-3尤)，令t=3x,可得〃r+2)=〃T),即〃x+2)=〃r),

对等式〃x+2)=/(-x)两边求导得_f(x+2)—),即g(x-2)+g(-x)=0,

故g(x+2)+g(x)=0,所以g(x+4)=-g(尤+2)=g(尤)，故B正确；

对于C选项，因为g(x)=—(x),则/'(-x)=f(x),

令/z(x)=/(x)+f(—x),则〃(%)=/3--(5)=0,所以，%(x)为常值函数,

设Mx)=〃x)+〃-x)=C,其中C为常数，

当cwo时，y(-x)=c-/(x)^-y(x),故c错误；

11

对于Q选项，因为g（x+2）_Lg（-x）=g（x+2）+g（x）=0,所以，g（l）=O,gRKg^Uo.

g⑵+g（O）=g⑵+1=0,可得g（2）=-l,

g（1）小出=。,g⑶=g。-=g（一1）,

由g（x+2）+g（—x）=g（x+2）+g（x）=0,令尤=1,可得g（3）+g（l）=0,贝l］g（3）=0,g（4）=g（0）=l,

所以gg）+g⑴+g（|"）+g（2）+gdg（3）+gf1j+g（4）=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=0-l+0+l=0

2024（卜、8（k、

因为2024=8x253,贝U2gJ=253»>J=。，故D正确.

k=l）k=l

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断:

(1)若对任意的实数x,满足"x)=〃x+。)，则函数〃x)的周期为同；

(2)若对任意的实数x,满足〃x+b)="T+a),则函数〃x)关于直线.一对称;

(3)若对任意的实数x,满足“x+b)=—/(T+。)，则函数“力关于点［审,o］对称.

4.AC

【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得。，从而可判断AB,利用导数的几何意义可判断C,举

反例排除D.

【详解】对于A,因为/1(%)=V+*2+依-4有3个不同的零点尤，1々，工3,

所以不妨设/'(3)=(3-%)(天一々)(3一天)，

易知/■(X)展开式中的常数项为-X/2X3,故-无科2玉=-4，

又再范=王，所以一W=_4,解得无3=2,

22

所以/(X3)=〃2)=23+22+2a_4=0,解得q=T,故A正确；

对于B,因为f(%)+X2-4x-4=(尤一2)(x+2)(x+l),

令〃x)<0,即(龙一2)(x+2)(x+l)<0,

利用数轴穿根法，解得x<-2或-l<x<2,故B错误；

对于C,易得/■'(%)=3f+2x-4,

当切线斜率为1时，令尸(X)=3/+2X-4=1,解得x=-g或》=1,

12

当x=l时，/(1)=(1-2)(1+2)(1+1)--6,

止匕时切线为y+6=x-l,即y=x-7,故C正确；

对于D,因为/(一3)=(—3-2)(—3+2)(-3+1)=-10,又〃1)=一6,

所以/(一3)二/⑴,所以点(-1,0)是曲线y=f(x)的对称中心,故D错误.

故选：AC.

5.R

【分析】

求出尸(力，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.

【详解】由sinxwO可得即函数的定义域为{x|x#忧左eZ},

e〃，/、Qsinx-axcosx

则/(》)=——------'

sinx

又因为函数尸(无)为奇函数，对任意的kcZ},

,(asin(-x)-a(f)cos(-x)_asinx-oxcosx_,(、

sin(一元)sinx

对任意的实数。都满足条件，故实数。的取值范围是R.

故答案为：R

6.18-41n2

【分析】左右两侧同时求导得到广。)，求出原函数后再求/(2)即可.

【详解】由题意知尸(x)=3d-⑴_3,令x=l,

X

得广⑴=3尸⑴—4,解得尸(1)=2,

所以/(%)=2x3-41nr+2,

所以/(2)=2x23-41n2+2=18—41n2.

故答案为：18-41n2

反思提升：

1.求函数的导数票准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【考点2】导数的几何意义

13

一、单选题

1.（2024・重庆•模拟预测）lim（2+&）£=（）

■一°Ax

A.72B.12C.8D.4

2.（2024•江苏南通二模）已知曲线G：尤2+y2-4x+2y=。与曲线。2："力=/在第一象限交于点A,在A

处两条曲线的切线倾斜角分别为尸，则（）

A.[+〃=]B.3—刈=]

C.«+^=yD.|a-£|=；

二、多选题

3.（2024・河南洛阳•模拟预测）过点（3底4）向抛物线f=8y作两条切线，切点分别为4&,乂）、*程为），厂

为抛物线的焦点，则（）

A.=―6*^5B.王马=32

C.|AF|-|fiF|=49D.|AF|+|BF|=18

4.（2024・全国•模拟预测）已知函数"x）=（x-ay+6.若过原点可作函数的三条切线，则（）

A./⑺恰有2个异号极值点B.若。＞0,贝恰e（0,a3）

C./（无）恰有2个异号零点D.若〃＜0,则6e（/,o）

三、填空题

X2+2x丫v0

5.（2024•山东泰安•三模）已知函数/（x）=J一'I若曲线y=〃x）与直线＞=3恰有2个公共点，

则a的取值范围是.

6.（2024•安徽•模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸，过尸的直线/与C交于A,B两点.过A作C

的切线机及平行于x轴的直线加，过/作平行于机的直线交加于过8作C的切线〃及平行于x轴的直

Q

线”，过尸作平行于〃的直线交“'于M若|AM|TBN|=§,则点A的横坐标为.

参考答案：

1.B

【分析】令〃X）=V,根据导数的概念，可求解.

【详解】令〃力=炉，根据导数的概念，

14

lm(2+时一&-1ml3上二1ml〃2+a)-〃2)=〃2),

-AxAx->0Ax—Ax

f(x)=3d,所以/(2)=12.

故选：B.

2.A

【分析】联立曲线曲线C］与曲线C?方程求出切点4(1,1),再由圆的切线与圆心和切点连线垂直，结合两垂

直直线斜率乘积等于-1可求出在A处圆G的切线斜率，从而得出tana=；；由导数知识里在某点处的切线

方程求法可得出tan/=2,进而根据两角和与差的正切公式进行检验判断即可.

【详解】

即G：(x_2)2+(y+l)2=5,

所以曲线C1是以(2,-1)为圆心，君为半径的圆,

且|。0|=石，即曲线G过原点O,

尤〜丁4尤+2y=。，得犬+3炉一4x=on石=0,x,=l=A(l,l),

联立

y=x

11-21所以tana=4,

所以在A处圆G的切线斜率为匕=-k

ACr1-(T2，2

2

由C2：/(%)=x=>f'[x)—2x,

所以曲线C?在4处的切线斜率为勺=Nl)=2=tan£,

sin/

又tana=L1_COSP=tanP-^j>0,

2tanpsin/3cos-

所以％/40看兀TT

,所以,从而a=3-B，

2

JT

即1+£=5，故A正确，C错误,

15

4Q

注意到，b<a</3*,且tan=tan（/?-&）=------^j-=-,故B、D错误，

2l+2x-4

2

故选：A.

3.BC

【分析】设A&,%）,3（*2，%），利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦

达定理判断AB,根据焦半径公式化简求解判断CD.

【详解】设点（3行,4）为点P,抛物线的方程为r=8y,即y=,2,则了=呆，

设叔％,%）,8%，％），则切线出，的斜率分别为;

切线方程分别为y-必=（%（尤-尤2），

将P的坐标及M=J尤;,%=:只代入，并整理得片一6石占+32=0,第一6&2+32=0,

可得为，j为方程V一6后+32=0的两个实数根，

由韦达定理得占％=32,占+七=6石，故A错误，B正确；

14斗|瓯=（必+2）（为+2）=&；+卜+2）=小再%y+；[；+考）+4=小%xJ+

—+-V2）—2X]X?]+4=x32〜+1[（6A/^）〜一2x32]+4=49,故C正确；

|AJF|+忸同=了]+2+%+2=>]+»+4=@（尤；+%2）+4=18.5,故D错误.

故选：BC

4.BD

【分析】利用函数导数的符号可判断AC,设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为

利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.

【详解】因为「（尤）=3（x-a）&0（xeR）,所以/⑺在R上单调递增，故AC错误；

设过原点的函数的切线的切点为（％,%）,则切线的斜率上=『'（七）=3（%-of,

16

所以切线方程为y-%=3(%o-々)2(%-,

因为过原点(0,0),所以_[(/_/+可=3(无厂“)2(_/),

化简得2片-3以：+/=方，即方程有3个不等实数根，

令g(x)=2x3-3ox2+a3,贝！]g'(无)=6x(x-a),

当a>0时，尤<0或x>。时，g'(无)>0,0<x<q时，g'(无)<。,

所以g(x)在(-乱0),(“,+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减，

所以y=6与y=g(x)相交有三个交点需满足0<6<。3,故B正确；

同理,当“<0时，可知g(x)极大值g(a)=。,极小值为g(0)=c?3,如图,

可得°3<6<0时，y=匕与y=g(x)相交有三个交点，故D正确.

故选：BD

5.[-1,2)

【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出了(X)的图象，数形结合得到答案.

【详解】当尤<0时，，(无)=/+2x,其在(y,—l)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，且r(x)=2x+2,

17

则/'(0)=2；

当0<x<l时，/(x)=ln(l-x),《(%)=一—-<0,其在(0,1)上单调递减，且广(0)=—1.

1-X

作出“X)的图像，如图，易知”的取值范围是［-1,2).

6.3

【分析】利用导数的几何意义，求切线北〃的斜率，并利用直线的交点求点的坐标，再根据方程

Q

\AM\-\BN\=~,求点A的坐标.

【详解】设4a,%),3(々,%)，不妨设点A在第一象限，点3在第四象限，

当＞=%时，得了=%«*+1=2%+1,即

〃（2玉+1,%）

-1-1

当y=-26时，y=忑,所以点A处切线的斜率为五

所以过点F(1,0)且与直线”平行的直线为了=当>=%时，得%=1一%7^=2工2+1，即

18

N（2尤2+L%）,

所以［AM［=2玉+1-玉=玉+1,忸M=2元2+1—%2=%2+1

Q

所以—忸2=玉_々=§，（*）

2222

设直线AB:y=M%—l）,联立/=以，^kx^（2k+4）x+k=09

118

得$%2=1，犬2=—，代入（*）,得西---=~,

玉x13

化简为3%；-8%一3=0,解得：石=3,或玉=一；（舍）

所以点A的横坐标为3.

故答案为：3

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求切线的斜率，以及利用韦达定理得到玉马=L

反思提升：

1.求曲线在点P（xo,yo）处的切线，则表明尸点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用

点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x=xo.

2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不

知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程（组）求解，求出切点坐标是解题的关键.

【考点3】导数几何意义的应用

一、单选题

1.（2024・辽宁大连•一模）斜率为1的直线/与曲线>=ln（x+a）和圆/+>2=；都相切，则实数。的值为（）

A.。或2B.-2或0C.-1或0D.0或1

2.（2024•河北邢台•二模）已知函数〃x）=f+21n尤的图像在Ad,〃%）），以％,〃％））两个不同点处的切

线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

.一10c10

A.玉+%=2B.玉+/=C.工］々=2D.XyX2=

二、多选题

3.（2023,安徽芜湖•模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：

设『是函数y="X）的一个零点，任意选取％作为r的初始近似值，过点（%/（七））作曲线y=“X）的切线4,

设乙与X轴交点的横坐标为毛，并称4为『的1次近似值；过点作曲线产/（%）的切线，设4与X

轴交点的横坐标为巧，称巧为厂的2次近似值.一般地,过点（%/（%））（“CN*）作曲线丫=〃力的切线/日，

记册与x轴交点的横坐标为并称-为r的〃+1次近似值对于方程丁_*+1=0,记方程的根为乙取

初始近似值为%=T,下列说法正确的是（）

19

A.re(-2,-1)B.切线6：23%-4y+31=0

C.\x-x\>^2"

32D.斗

o+13^-1

4.(2024・江西•二模)设函数〃x)=ln(l-词("0)在处的切线与直线0%+2y—3=0平行,

则()

A.4=1

B.函数/'(X)存在极大值，不存在极小值

C.当xe(—oo,0)时，f(x)>——X2—x

D.函数g(x)=|〃尤)|+g(x-l)有三个零点

三、填空题

5.(2024•河南・二模)若两个函数/(x)=lnx+a和g(x)=g(a/eR)存在过点12,，的公切线，设切点坐

标分别为(％,/(占))，(无2,g(女))，则(%+2马)[/(玉)+2g(9)]=.

6.(2022•全国•模拟预测)已知函数/(x)=a(x+l)e”(aeR),若曲线y=在x=0处的切线与直线

x+2y=0垂直，则实数。=；若不等式/(x)-x<0有且仅有一个正整数解，则实数。的取值范围

是.

参考答案：

1.A

【分析】设直线/的方程为y=x+6,先根据直线和圆