2025年高考数学一轮复习讲义：利用导数研究不等式恒（能）成立问题（原卷版）

专题18利用导数研究不等式恒（能）成立问题（新高考专用）

目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................2

【考点1】分离参数法求参数范围2

【考点2】分类讨论法求参数范围..............................................4

【考点3】双变量的恒（能）成立问题.............................................5

【分层检测】................................................................6

【基础篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................7

【培优篇】..................................................................8

真题自测

一、解答题

QinX（jr

1.（2023•全国，高考真题）已知函数/（x）=ox———0,-

cos尤12.

⑴当a=8时，讨论〃x）的单调性；

（2）若〃x）<sin2x恒成立，求a的取值范围.

2.（2023•全国•高考真题）己知函数〃x）=a（e*+a）-x.

⑴讨论〃尤）的单调性；

3

⑵证明：当a>0时，/（x）>21ntz+-.

3.（2023•全国•高考真题）（1）证明：当Ovx<l时，尤-尤2<sinx<x;

（2）已知函数〃x）=cosar-ln（l-x2）,若彳=。是/⑺的极大值点，求a的取值范围.

4.（2022•全国•高考真题）已知函数/⑴=xe«-e1

⑴当a=l时，讨论了（幻的单调性；

（2）当x>0时，/W<-1,求。的取值范围；

111,,,、

（3）设〃eN*,证明：/2+/,++/,>ln（"+1）.

V1+1V22+2yjn2+n

5.（2022■全国■高考真题）已知函数=——lnx+x-a.

⑴若〃工）20,求a的取值范围;

（2）证明：若/（X）有两个零点占,马，贝1占马<1.

■考点突破

【考点1】分离参数法求参数范围

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数十）="一#+犷-xlnx在1,2上存在单调递减区间，则实数。的

取值范围为（）

（2e-ll/ci

A.-oo,——B.S，2]

（2e-l\/小

C.D.（-00,2）

二、多选题

2.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知函数"x）=e*-1+炉-依，则下列结论中正确的是（）

A.当a=0时，曲线y=〃x）在（0,0）处的切线方程为y=x

B./（尤）在卜1』上的最大值与最小值之和为0

2

C.若f(x)在R上为增函数，则。的取值范围为(e,2]

D.“X)在R上至多有3个零点

三、填空题

3.(2024•江西•模拟预测)已知关于x的不等式2e*-2xhrc-m＞0在6,+℃]上恒成立，则实数小的取值范

围是.

四、解答题

k

4.(23-24高二下•江苏•期中)设函数/(x)=lnx+—,k.

x

⑴若曲线y=/(x)在点(e〃e))处的切线与直线x=2垂直，求人的值：(其中e为自然对数的底数)；

⑵在(1)的条件下求/'(x)的单调区间和极小值：

⑶若g(x)=/(x)T在(0，a)上存在增区间，求左的取值范围.

5.(23-24高二下•江苏苏州•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+加-3x(aeR).

⑴若函数〃尤)在x=l处取到极值，求实数。的值；

⑵若a=1,对于任意网,马e[1,10],当王＜%时，不等式/(%)-4％)＞一(；；占)恒成立，求实数m的取值范

围.

6.(23-24高三下•四川巴中•阶段练习)函数八])=%3+5(1_〃)%2_3以；

⑴当〃=2时，讨论函数〃力的单调性；

⑵/(l)=M，"〃n龙-马4f在xe(l,+◎恒成立，求整数机的最大值.

2x

反思提升：

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)42兀0恒成立Q。N«X)max；

aWy(x)恒成立QaWy(x)min;

a能成立Qa，火x)min;

aW«x)能成立=aW«X)max.

【考点2]分类讨论法求参数范围

一、单选题

3

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=",若不等式恒成立，则实数。的取

（x-2）ex--,x＜0%

值范围为（）

A.（』3）B.（6eT,+oo）

C.（6e-2,3）D.（-co,6e-2）

二、多选题

2.（2024・江西•二模）若/-巴＞aln尤-a恒成立，则实数。的取值可以是（）

尤

A.0B.e「2C.ee+1D./

三、填空题

3.（2024・上海虹口•二模）已知关于x的不等式（血-履）12-（%+3卜+4]40对任意无«0,内）均成立，则

实数上的取值范围为.

四、解答题

4.（2024・吉林长春•模拟预测）已知4.1,函数/（x）=（xdnx-x"+l.

⑴当。=1时，求外力的最小值；

（2）若x＞l时，〃x）＜0恒成立，求。的取值范围.

5.（2024•陕西渭南•二模）已知函数/（x）=ln（x+l）-?nr,g（x）=cos?nr-l,其中meR.

⑴讨论的单调性；

⑵若/（x）+g（x）W0恒成立，求相.

6.（2024•浙江绍兴•二模）已知函数/（x）=q■-x+asinx.

⑴当a=2时，求曲线y=/（x）在点（0,〃0））处的切线方程；

⑵当X«O,兀）时，〃尤）＞0,求实数。的取值范围.

反思提升：

根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数

分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一

个值或一段内的函数值不满足题意即可.

【考点3】双变量的恒（能）成立问题

一、单选题

X|

1.（2024•河南郑州・三模）设&尤2e（0,+°°）,J.e+lnx2=1,贝l]（）

4

A.若玉=%，则不egg）B.若%七=1，则%存在且不唯一

C.再+巧>1D.玉+lax2>0

二、多选题

cosx,x<0

2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）设函数/（》）=尤0，下面四个结论中正确的是（）

—7,X>0

A.函数在（0,1）上单调递增

B.函数y=/（x）-x有且只有一个零点

C.函数的值域为卜1,目

D.对任意两个不相等的正实数为,三，若〃占]/仁），则者+为2<2

三、填空题

3.（2023・山西临汾•模拟预测）已知/■>（）,而（皿找-足小+疗+制时内勿此”行恒成立，贝!]/=.

四、解答题

4.（2024•重庆•模拟预测）函数〃x）=lnx

⑴讨论〃x）的单调性；

（2）若函数〃尤）有两个极值点百声，曲线y=〃尤）上两点（占〃%）），（尤2〃%））连线斜率记为上求证:

⑶盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个

小球编号各不相同的概率为p，求证：P<±.

e

5.（2024•河南商丘•模拟预测）已知函数〃尤）的定义域为（。,+"）,其导函数

2

7（%）=2x-\---2々（々£R）J⑴=1-2〃.

⑴求曲线y=f（x）在点（1,/。））处的切线/的方程，并判断/是否经过一个定点；

（2）若骂满足。<不（尤2,且/'&）=尸（当）=0,求2〃%）-/（々）的取值范围.

6.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=ax-?,a>0.

⑴若存在零点，求。的取值范围；

2

⑵若A，々为的零点，且玉</，证明：a（xl+x2）>2.

反思提升：

5

含参不等式能成立问题（有解问题）可转化为恒成立问题解决，常见的转化有:

(1)VX1£M,3X2£N,火光l)>g(%2)«y(X)min>g(%)min.

(2)VxiGM,V%2£N,火%l)>g(%2)^/(x)min>g(%)max.

(3)3X1£M,3X2£N,火工l)>g(X2)=^3)max>g(X)min.

(4)3X1£M,V%2£N,J(xi)>g(x2)«^(x)max>g(x)max.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•陕西・模拟预测）Vxe[l,2],有°nt21nA-一恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.[e,+oo）B.[1,+co）C.■|,+cojD.[2e,+co）

2.（23-24高二下•安徽芜湖•期中）已知函数/（x）=3xTlnx存在两个零点，则实数f的取值范围为（）

A.B.卜巴"C.（3e,-H»）D.（^o,3e）

3.（22-23高二上•山东荷泽•期末）己知函数/（"="-攻次与函数g（x）=e-l的图像上恰有两对关于x轴

对称的点，则实数。的取值范围为（）

A.（-a>,l-e]B.1一C.（-oo,l-e）D.（一

4.（2024•云南昆明•模拟预测）已知函数〃元）=（尤f（e，+a）在区间（-1,1）上单调递增，则a的最小值为（）

-1-2

A.eB.eC.eD./

二、多选题

5.（23-24高三上•新疆伊犁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.3XGR,2yoB.VXGR,x+—>2

x

C.3XGR,lnx=—D.VXGR,e%-l>x

x

3

6.（22-23高二下•甘肃定西•阶段练习）若函数/（尤）=%3+万九2—6%+Q有三个零点，则实数〃的可能取值是

（）

A.-10B.-9C.2D.3

7.（2023•全国•模拟预测）设函数〃%）=（x+l）ln（x+l）（尤>0）,若/（%）1恒成立,则满足条件的

正整数/可以是（）

A.1B.2C.3D.4

6

三、填空题

8.(23-24高二下•天津滨海新•阶段练习)已知函数/(x)=x2-21nx,若关于尤的不等式f(x)-机20在口,e］上

恒成立，则实数加的取值范围是.

9.(20-21高二下•河北石家庄•期末)已知函数〃x)=2x+a,g(x)=liu-2x,如果对任意的4,%eg,2,

都有〃3Vg(%)成立，则实数a的取值范围是.

10.(23-24高二上•陕西榆林•期末)已知函数/'(%)=ae=x2是R上的增函数，贝U“的最小值为.

四、解答题

11.(23-24高三上•河南,阶段练习)已知函数〃x)=lnx+2<2x(“wR).

⑴当a=-l时，求函数〃x)的单调区间；

(2)若g(x)=/(》)—2d,不等式g(x)NT在［1,+s)上存在实数解，求实数”的取值范围.

12.(21-22高三上•安徽滁州•阶段练习)已知函数f(x)=f(九〃eR),在x=l处取得极小值2.

x+n

⑴求函数的解析式；

(2)求函数的极值；

⑶设函数g(x)=/_2ax+a,若对于任意玉eR,总存在/,使得g(%)W/a),求实数a的取值

范围.

【能力篇】

一、单选题

b

1.(2024高三•全国•专题练习)函数/(%)=3-2依-6+人20对任意;^11成立，则1的最小值为()

5

A.4B.3C.-D.2

2

二、多选题

2.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数/(司=(。+1户-天遥(可=-/+(4-2)%-1,则下列结论正确

的是()

A.存在aeR,使得的图象与x轴相切

B.存在aeR,使得f(x)有极大值

C.若°>一1,则〃x)>g(x)

D.若-3<a<-1,则关于x的方程〃x)=ga)有且仅有3个不等的实根

三、填空题

7

3.(2022高三上•河南•专题练习)已知/(x)=,+jlnx+J-2x,左耳2,口)，若曲线y=/(元)上总存在不同

的两点A&,必),B®,%),使曲线y=/(x)在AB两点处的切线互相平行，则不飞的取