2025年高考数学一轮复习讲义：同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）

专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................6

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用......................................6

【考点2】诱导公式的应用....................................................9

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用....................................14

【分层检测】...............................................................17

【基础篇】.................................................................17

【能力篇】.................................................................25

【培优篇】.................................................................27

考试要求：

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=l,殁1壬=tanx.

cosX

2.能利用单位圆中的对称性推导出邪a,兀土a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

；知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：siR+cos2a=1.

（2）商数关系：然3=tana（a若+E,左©Z）.

cosa\j

2.三角函数的诱导公式

公式—*二三四五六

2E+兀

角兀+a~a兀-a^+ct

a（左£Z）

正弦sina—sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana-tan_a一tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

|常用结论

1.同角三角函数关系式的常用变形

（sina±cosa）2=l±2sinacosa；sina=tanct-cosa.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指胃的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称

的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

彳真题自测

一、单选题

1.（2023•全国,高考真题）设甲：sin2a+sin2/?=l,乙：sina+cos£=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

（4、cosa

2.（2021•全国•高考真题）若are[0,彳tan2a=~：—,则tantz=（）

2J2-sina

.V15口&「逐nV15

15533

2

3.（2021•全国，高考真题）若tan6=-2,则吧纱士吧也=（）

sin0+cos0

6226

A.——B.----C.D.-

5575

4.（2021•全国•高考真题）cos2^-cos21^=（

）

D.B

A.；B.BC.叵

2322

二、填空题

5.（2023•全国•高考真题）若〃x）=（x-l）2+ax+sin[x+|J为偶函数，贝巾=

三、解答题

6.（2023•全国•高考真题）在“1SC中，已知N3AC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinZABC；

⑵若。为上一点，且NB4D=90。，求八位）。的面积.

参考答案：

1.B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

JT

【详解】当sin2a+sin2/=1时，例如戊=万,夕=0但5111。+854W。，

即sir?a+sir?/=1推不出sina+cosy0=。；

当sina+cos尸=0时，sin2a+sin2£=（一cos/?）2+sin2（3=1,

即sina+cos/=0能推出sir?a+sir?分=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

2.A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=理学=孕等警，再结合已知可求得sine=J,利用同角三角函数

cos2al-2sina4

的基本关系即可求解.

cos。

【详解】•；tan2^

2—sina

八sin2a2sin。cosacosa

/.tan2a=--------=--------———=------；-----

cos2al-2sina2-sina

2sincr_1

「.cosawO解得sina

l-2sin2a2-sincr

sma

cosa=Vl-sin2a=-----tana=------

4cosa15

3

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

3.C

(分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(1=sin26+cos2e)，进行齐次化处理,

化为正切的表达式，代入tan8=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

22

sin。11+sin20sin^(sin3+cos6+2sin9cos0\z

-------------=------=sin6(sin。+cos

sin0+cos0-----------sin6+cos0

_sin<9(sin0+cos_tan26^+tan_4-2_2

sin2+cos201+tan201+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan9=-2,求出sindcos。的值,,可能还需要分象限讨论其正负，通过

齐次化处理，可以避开了这一讨论.

4.D

2222

【分析】由题意结合诱导公式可得COS3-cos=cos卷-sin；再由二倍角公式即可得解.

■、斗々刀y，曰石*2兀25兀2乃2(兀乃)2兀

【详解】由题意，COS---cos一=cos----cos------=cos—--sin2—

121212(212J1：>12

71百

=cos—=——•

62

故选：D.

5.2

【分析】利用偶函数的性质得到/-如=/住〕，从而求得4=2,

再检验即可得解.

1ZJJ

【详解】因为y=/(x)=(x-l)2+ax+sin[x+5)=(x-l)2

+QX+COSX为偶函数，定义域为R,

所以O吧,即[-别-fa+c°sHMt'1丫7171

—1HCl+COS—,

)22

则兀〃一—1]=2兀，故〃=2,

止匕时/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(-X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故/(%)为偶函数，

4

所以。=2.

故答案为：2.

6•⑴等;

唔

【分析】（1）首先由余弦定理求得边长8C的值为BC=占，然后由余弦定理可得cosB=蛀，最后由同角

14

三角函数基本关系可得sinB=叵;

14

（2）由题意可得白辿=4,则ZACD=2S-BC，据此即可求得△ADC的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a?=廿十c?—2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

222

mI/—t/+（?—Z77+4—15>/7

则=COSB=---------=-------尸=」一,

Zac2x2xV714

sinZABC=Jl-cos"=Jl-||=誓.

q—xABxADxsin90°

（2）由三角形面积公式可得言也=?----------------=4,

山。-xACxADxsin30。

2

则=9△.=gx]；x2xlxsinl20]=9

Jj、乙jA\j

电考点突破

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用

一、单选题

1.(2024.四川眉山.三模)已知ae[o,1),cos[a+.)=~a，则sina=(

12+56。12-5g1273+512君-5

-------D.--------

2626-26--26~

sin2a

2.（2024•河南三门峡•模拟预测）若tan（z=2,则的值为

cos2(2-sin2iz

444

A.C.一D.

7197

5

二、多选题

3.（2024・全国•模拟预测）已知角a的终边过点尸-2）,贝lj（）

sina-cosa

A•-----------=-1B.sin2a-3sinacos。=2

2sincr+coscr

c3*(八一1

C.cos2a=一D.tanctH—|=—

5I4；3

4.（2024•全国•模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉•邓纳姆在1994年出版的The

MathematicalUniverse一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的，无言的证明、在这样的证

明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释.很难比它更优雅了."如图所示正是

数学家所达到的“终极优雅"，该图（A8CD为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推

导出的正确选项为（）

J4DF7

A.AD=sin2xB.AB=sin2xC.DE=cos2xD.芍=cosx

3△AEF

三、填空题

5.（2024・陕西商洛•模拟预测）若。<i<5，cos[a+kj=1,则cos[a-^J=.

6.（2024・广东广州•二模）已知复数z=㊂R）的实部为0,则tan29=.

参考答案：

1.A

【分析】先根据平方关系求出sin[a+1],再根据二二[夕+5]-三结合两角差的正弦公式即可得解.

【详解】因为0，所以a+有sin[a+m)=Jl—cos2[a+g)=

7TATil.(71、71(兀、.冗

所以sina=sina+———=sina+—cos——cosa+—sin—

3)3」I3；3I3；3

V312+5A/3

~2~-26~

故选；A.

2.A

sin2a2sinacosa

【分析】由倍角公式可得根据题意结合齐次式问题分析求解.

cos2cr-sin2crcos26r-2sin2cr

sin2a_2sinacosa_2tana_44

【详解】由题意可得:

cosZa-sin2。cos26r-2sin2cifl-2tan2a1-87

故选：A.

3.BD

【分析】先根据三角函数的定义求出。的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的正切公式逐一

6

计算即可.

【详解】因为角a的终边过点P。,—2),所以「=|。尸|=6,

所以sina二一2'，cosa=^~,tana=-2,

55

sma-cosatanOL—1—2—1

对于A,-------------------------------1故A错误;

2sina+cosa2tana+l2x(-2)+1

£=2,故B正确;

对于B,sin26Z-3sincrcoscr

对于C,cos2cr=故c错误;

5

71

tana+tan—

4-2+11

对于D,tana+—故D正确.

I41—(—2)x13

1—tanoftan—

4

故选：BD.

4.ACD

【分析】利用图形结合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断各个选项.

【详解】如图，

对于A,在中，EF=sinx,AF=cosx,又/EFC=x,

则EC=sinx-sinx=sin2x,FC=sinxcosx,

在Rt^ABF中,可求得BF=sinxcosx,

所以AD=BC=BF+FC=2sin%cosx=sin2x,故A正确；

对于B,AB=cos2x9故B错误；

对于C,在RtzXADE中，因为AD=sin2x,AE=1,则DE^cosZx,故C正确；

对于D,SZARF=—xABxBF=—xcos2xxsinxcosx=-sinxcos3x,

222

S^AEF=；xA/xEF=；sinxcosx,

S-sinxcos3x

所以甘皿=1----------------=COS2X,故D正确.

NAEF—sinxcosx

2

故选：ACD.

7

54+也

6

【分析】利用平方关系求出又兀兀jr

sin"Jcosa=cos+-「利用两角差的余弦公式求解.

12

【详解】•・•()＜，苦，则

22V2

/.sina1-cos1a+《

3

兀兀兀7兀1.兀.兀兀

因止匕cos[a—~\^=costz+-=cosa+—cos—+sina+—sin—

46464

1V22A/2A/24+V2

=—X-------1---------x------=------------

32326

4+72

故答案为:

6

4

6.一

3

2cose+isin。

【分析】利用复数z二-(-8-E--R-)--的--实-部为0,求出tan。=-2,再利用二倍角公式得出结论.

1+i

2cos夕+isin。(2cos^+isin^)(l-i)2cos+sin^+(sin-2cosi

【详解】•.,复数z=(OER)的实部为0,

1+i(l+i)(「i)2

2cos，+sin，=0,「.tan，=—2.

八八2tan6-44

/.tan26>=---------=-----=-.

l-tan26»1-43

4

故答案为：—

反思提升:

sina

1.(1)利用sin2ot+cos2«=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用tana可以实现角a

cosa

的弦切互化.

asmx+bcosx

(2)形如,,,asin2x+/?sinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.

csinx+dcosx

2.注意公式的逆用及变形应用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

8

3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sintz+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子,

利用(sina土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一^二.

【考点2】诱导公式的应用

一、单选题

JT3兀

1.（23-24高三上•江苏南通•期末）已知xe0,-,sinx+cosx=---贝Utanx)

_454

A.3B.-3C.-75D.2

2.（16-17高三上・广西梧州•阶段练习）若cosg-“=-g,则cos（兀—2。）=（）

A40R472_7n_7

9999

二、多选题

3.（23-24高一上•陕西咸阳•期末）下列选项中，与sin'T］的值相等的是（）

A.2sin15°cos15°B.cos18°cos420-sin18°sin42°

tan22.5°

c.2cos215°-1

l-tan222.5°

4.（2024・海南海口■二模）已知函数〃x）=Asin（（yx+°）（其中A>0,co>0,\<p\<^的部分图象如图所

B.的图象关于点［*,（）］中心对称

C.“X）=2cos（2x-《］

D./（x）在-胃，-三上的值域为［-2』

三、填空题

5.（2024•河北邯郸・二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所

示的五角星中，以AdCD,E为顶点的多边形为正边边形，设=则

cosa+cos2cr+cos3cr+cos4cr=coscrcos2crcos36zcos4cr=

9

A

6.(2024・湖南长沙•一模)已知0为坐标原点，过A(l,0)作x轴的垂线交直线y=kx于点8,C满足OB=2BC，

过B作x轴的平行线交E：y'x于点尸(P在8的右侧)，若NOPC=3/OBA,则sin/COP=,

参考答案：

1.A

【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得tan(x+：]=3,然后利用诱导公式求解即可.

【详解】因为sinx+cosx=£S,所以近5出1%+工]=更，所以$山1》+工]=亚，

5I4j5{4j10

又wm所以x+上段],所以小+：)=卜山+：b等

所以tan[x+；）=3,

故选：A

2.D

【分析】由诱导公式可得sine=-g,结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.

兀

【详解】由cos~~a---得sina=一『

7

贝”cos（兀-2a）=-cos2a=2sin2a-\---.

故选：D.

3.ABD

【分析】求出sin[-?)的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二

倍角的余弦求值判断C；利用二倍角的正切求值判断D.

【详解】因为sin(—-[=sin]-27i+1)=sin[=g,

对于A,2sin15°cos15°=sin30°=-,故A正确；

2

对于B,cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=^,故B正确；

10

对于c,2cos215°-l=cos30°=—,故C错误;

2

2tan22.5。tan22.5°1

对于D,因为tan450==1,可得故D正确.

1-tan222.5°1-tan222.5°2

故选：ABD.

4.AC

卷一2求出9g71

【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到o=2；B选项，求出A=2,代入

3

117113兀

得到函数解析式，计算出了2sin—=1,B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整

120

体法求出函数的值域.

【详解】A选项，设的最小正周期为T,则;7£

故丁=兀，

27r

因为G>0,所以0=—=2,A正确;

71

B选项，由图象可知，A=2,/(x)=2sin(2x+^),

将仁-2）代入解析式得2sin[2x1771|+夕

=—2,

12

77r37rIT

故——+0=——+2/cii,keZ,故夕=一+2E,左wZ,

623

因为|同＜],所以夕=5

故〃x)=2sin[2x+|J,

1171137r岩,0）中心对称，B错误;

2sin—=1,故〃%）的图象不关于点

IT

c.-71]71

C选项，"X)=2sin[2x+]=2sin21-----H—=2cosf2x--^j,C正确;

62

5兀兀4兀71

D选项，XG-,2X+-G

~633T3

（2x+酢,2,可

故〃x)=2sinD错误.

故选：AC

0^/0.0625

5.

【分析】由正五角星的性质，求得NCAO=a=36。，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.

【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形，五个3角形各自角度之和180。

正五边形的内角和180°x（5—2）=180°x3=540°；每个角为学=108。,

三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180。-108。=72°,

11

三角形内角和为180。，那么三角形顶角，即五角星尖角180。-72。乂2=36。,

即ZCAD=a=36°.

cosa+cos2a+cos3a+cos4a=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos72°+cos^180°—72°)+cos80°—36°)

=cos36°+cos72°-cos72°-cos36°=0;

coscrcos2crcos36rcos4of=cos36°cos72°cosl080cosl440=(cos360cos72°)

2sin360-cos360-cos72°sin720-cos72°_sin1440_1

因为cos36°-cos72°

2sin3602sin36°4sin36°4

所以cosacos2acos3acos4a='

故答案为：0；—.

Io

6.-/0.25

【分析】由条件求出点瓦C,尸的坐标，证明=ZBCP=ZCBP,由此可得怛尸|=|CP|,列方

程求左，由此可求sinNQBA,再求sinNCO尸.

【详解】依题意不妨设人＞0,则4(1,0),

因为丽=2而，所以OC=OB+5c==左)

所以cgl”,又P仔用，

1左1

所以tanAOBA=—,tanNOPB=tanZAOP,

kkk

所以tanNOBA=tanNORB,即NOBA=NOPB,^ZOBA=a,则NO尸C=3a,ZOPB=a,

所以NB尸C=2a,所以/CBP=/BOA=CL,/.BCP=—\—a]—2a=cc,

212J2

即N3CP=NCB尸，所以忸尸|=|。尸|,

解得严=q,所以左=可,

33

71

在△COP中NCOP=兀-3。一~~a=T2a^

12

2

所以sin/COP=sinf—~2a|=cos2a=l-2sin2a=l-2x

4

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是结合三角函数，平面几何相关结论找到角NO3ANOP3,

N3CRNC3尸之间的关系.

反思提升：

（1）诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

（2）含2兀整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2兀的整数倍的三角函数式中可直接将2兀的整数倍去

掉后再进行运算.如cos（5兀-Q）=COS（兀一。）=—cosa.

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用

一、单选题

已矢口tan[1+1贝|cos12a2兀

1.（2024•福建南平•二模）()

23

3344

A.--B.C.——D.-

5455

已知aGf0,—3.(71

2.（2024・福建厦门•三模）,sin2a=—,贝|sinIcr+)

4

A非C.平4

B.D.-

255

二、多选题

3.（23-24高一上•河南三门峡•期末）下列等式正确的有（

V2

A.cosl35°=B.sinl5°cosl5°=-

24

571571

tan---Ftan——

412

C.cos74°sin14°-sin74°cos14°=D.

,5兀

21-tan——

12

4.（2023•黑龙江•模拟预测）关于函数/（x）=；cos子兀-2x］的图象和性质，下列说法正确的是（）

A.x=?是函数的一条对称轴

o

13

B.1w，Oj是函数〃尤）的一个对称中心

1371

C.将曲线y=：sin2x向左平移?个单位可得到曲线”x

2o=f（）

D.函数小）在（40的值域为-字;

三、填空题

5.（2024•福建厦门一模）若sin则cos（a-

6.（2023•河南关B州•模拟预测）已知cos（x+/J=；+sinx,贝i]sin（4x_e）=_____.

参考答案：

1.A

【分析】由同角三角函数的基本关系求出sin[a+《]=g,

再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即

可得出答案.

sin（a+工]

16兀1

（TTY1（71、2

【详解】因为tan[a+kj=i,所以『osIa+—6j'

n2[a+j+cos2（a+胃=1

S1

解得：sin2|^a+^=|,

f_2兀\r.f兀））s2卜+胃=-l—Zsin21+弓]

cos2a----=cos2a+—一兀=-c（

I3）[I」

[cl13

=-1—2x—=—

_5J5>

故选：A.

2.C

【分析】由0£（0卷]可得sin[+：]C

,再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.

【详解】由ae[。,：],则“+：,1%-则sin[a+：]>0,

—>l=2sin2fcr+—>1-1=-,

sin2cr=sin2a+---=—cos2

LI4j2jI4；I4；5

贝1]sin?[&+：）=g,由sin[a+m]>0,y衣sin（a+：卜竿^

故选：C.

3.ABD

14

【分析】利用诱导公式和三角恒等变换等知识求得正确答案.

【详解】对A,cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°=A选项正确;

2

对B,sinl50cosl50=-sin30°=-,B选项正确;

24

cos74°sin14°-sin74°cos14°=sin(14°-74°)=sin(-60°)=-sin60°=-^,C选项错误;

对C,

5兀5兀715兀715兀

tan---btan—tan兀+—+tan—tan—+tan—

412

对D,412412

r5兀.5兀1715兀

1-tan——1—tan—I-tan—tan——

12412

-若，所以D选项正确.

故选：ABD

4.ABD

【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB,利用图象平移的规

则判断选项C,结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.

［详解］依题意，0>9/(^)=|cosfy7r-2xU|cosf2x-^

*-57r.,ku.57r.15兀

2%----=ku,kGZ,x=-----1---，左£Z,当k=0日寸，x=—

4288

所以彳=芍是函数f（x）的一条对称轴，所以A选项正确；

O

（另解：因为/燃］=（cos（斗兀-2x第二COS4兀=＜，即当X=当寸，函数取得最大值，所以x=¥

Vo72^4072280

是函数/（力的一条对称轴）;

令2x—2=E+巴/£Z,%=—+—,^eZ,当k=0,x=S,

42288

所以（爷,0］是函数“X）的一个对称中心，所以B选项正确；

（另解：因为d?］=1cos（斗兀-2x?］二cos?=0,即A暂是函数的零点，所以（?,（）］是函

ko72k4o72ZokoJ

数“X）的一个对称中心）.

I(c5冗)I.f.5兀兀、I.3兀\I.

因AJt(x)=—cos2x----=-sin2x-----1—|=-sin2x----=-sin2x

V72I4J2I42j2I4J2

又将曲线y=1sin2x向左平移号个单位可得到曲线y=:sin2（尤+以=卜11口无+当，所以C选项不正

2o2（X）214）

15

确;

因为〃x）=；c°s[2x一孚卜;c°s

2xH-----6兀——cos2xH---.

4）2L4J

（7i3兀）/兀3兀]e3兀1^21

当Iz,W|^2x+—,贝!]cos（2x+ije-,l,

得函数〃x）的值域为-孝,；，所以D选项正确.

故选：ABD

3

5.--/-0.6

【分析】

应用诱导公式有cos（a-；]=cos[（a+勺-£]=sin（a+；）,即可求值.

（4J424

[详解]cos[a—；）=cos[（a+；）—^]=sin（a+:）=一|.

3

故答案为：—-

521

6.

729

【分析】应用和角余弦公式得cos（x+a=*,利用诱导公式、倍角余弦公式得sin[4x-^]=

2[2cos2（x+^）-l]2-l,即可得答案.

【详解】cos[尤+巴]=——cosx——sinx=-+sinxn—cos尤----sinx-——,所以cos（x+乌）=——，

（6）22322939

贝（jsin-聿]=cos（4x+=cos（4x+手）=2cos2（2x+g）-1

=2[2cos2（x+-）-1]2-1=2x（2x—-1）2-1=—.

3