2025年高考数学一轮复习讲义：用样本估计总体（原卷版）

专题56用样本估计总体（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................5

【考点1】百分位数的估计....................................................5

【考点2】总体集中趋势的估计.................................................7

【考点3］总体离散程度的估计................................................9

【分层检测】...............................................................11

【基础篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................15

考试要求：

1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第p百分位数.

2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.

.知识梳理

L总体百分位数的估计

(1)第P百分位数的定义

一般地，一组数据的第2百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有睡的数据小于或

等于这个值，且至少有(100—p)%的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步,计算，=.Xp%.

第3步，若，不是整数，而大于，的比邻整数为/,则第p百分位数为第2项数据；若，・是整数，

则第p百分位数为第i项与第(计1)项数据的平均数.

2.样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把〃个数据按大小顺序排列，处于最空间位置的一个数据(或最中间两个数据的平

均数)叫做这组数据的中位数.

⑶平均数：把'…+劭称为0,。2,…，诙这〃个数的平均数.

(4)标准差与方差：设一组数据XI,X2,X3,…，X”的平均数为"则这组数据的标准差和方差

分别是s=

[%(XI—X)2+(X2—X)2H------H(X"一关)2],

1一一-

2-2

s=~[(X1-x)2+(X2-x)2H----1-(xnX)].

|常用结论

1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系

⑴最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

⑶平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小

长方形底边中点的横坐标之和.

2.平均数、方差的公式推广

(1)若数据xi,xi,…，我的平均数为x,那么"ixi+a,mx2-\-a,mx3~\-a,…，如:的平均数

2

是mx-\-a.

（2）若数据％1,X2,,,,,小的方差为心,那么

①数据％I+Q,xi+a,…，而+。的方差也为V；

②数据0X1,aX2,…，〃元〃的方差为。2s2.

*真题自测

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的

亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

2.（2022.全国•高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽

取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和

讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%....................................................................■0

90%-------♦-------------------------------------------米----------------------

树85%

每80%*讲座前

田75%-----------------------------------------------------------------------------------*-----------------------------------------------------•讲座后

70%..............................*'

65%------*....................

60%t-.............*..........................................................

0--------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1—

U12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

3

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

二、多选题

3.（2023•全国•高考真题）有一组样本数据玉,程…，％，其中七是最小值，%是最大值，贝U（）

A.々，七，4内的平均数等于和尤2，1*6的平均数

B.尤2，尤3，*4，尤5的中位数等于尤1，尤2「“，%的中位数

C.%2，%3，为4，%的标准差不小于为，工2，”，，工6的标准差

D.%,无3,尤4，尤5的极差不大于石，无2,…，毛的极差

三、解答题

4.（2024・上海•高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单

果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

5.（2022•全国•高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

4

考点突破

【考点1】百分位数的估计

一、单选题

1.（2025•黑龙江大庆•一模）法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举

行开幕式."奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不

是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女

生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到

高的顺序排列，得到下表中的样本数据：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

则下列说法错误的是（）

A.男生样本数据的25%分位数是86

B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数

C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变

D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变

2.（2024•河南郑州•模拟预测）已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72,78,

80,81,83,86,88,90,则这组数据的第75百分位数是（）

A.86B.87C.88D.90

二、多选题

3.（2023•江苏连云港•模拟预测）某学校共有2000名男生，为了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查

了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本的众数为67.5B.样本的80%分位数为72.5

C.样本的平均值为66D.该校男生中体重低于604的学生大约为150人

4.（2024・广东佛山•模拟预测）某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分,

其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后25%的学生划定为不及格，把成绩位于前

5

25%的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（）

A.本次测试及格分数线的估计值为60分B.本次测试优秀分数线的估计值为75分

C.本次测试分数中位数的估计值为70分D.本次测试分数的平均数小于中位数

、填空题

5.（2024・上海•模拟预测）某同学高三以来成绩依次为110,93,92,93,88,86,则这组数据的第40百分

位数为.

6.（2024•云南曲靖二模）抽样统计得到某班8名女生的身高分别为160,155,157,155.5,154,158,155,162,则

这8名女生身高的第75百分位数是.

反思提升：

计算一组数据的第p百分位数的步骤

遍三按从小到大排列原始数据]

计算i=nxp%]

若，不是整数，而大于泊勺比邻

「整数为/,则第p百分位数为第

-------------------

若，•是整数，则第p百分位数为第

i项与第（i+1）项数据的平均数

【考点2】总体集中趋势的估计

一、单选题

1.（2024・广东惠州・模拟预测）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知

识测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为。，众数为6,平均值为。，则（）

频数

0

8

6

4

2

O

B.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每

天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了

6

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时

二、多选题

3.（2025•广东•一模）现有十个点的坐标为（%,0）,（孙0"..,（/,0）,它们分别与（乂,10）,（%,10）,…,（如,10）

关于点（3,5）对称.已知王,无2,…,税的平均数为。，中位数为b,方差为c,极差为d,贝1|加这组

数满足（）

A.平均数为6-aB.中位数为6-b

C.方差为cD.极差为d

4.（23-24高一下•全国，期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称

形态，图（2）形成"右拖尾"形态，图（3）形成"左拖尾"形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

B.图（2）的平均数（众数（中位数

C.图（2）的众数〈中位数（平均数

D.图（3）的平均数〈中位数〈众数

三、填空题

5.（2022・北京•模拟预测）某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学科的表现，绘制了各科年级

排名的散点图（如下图所示）.

7

语文和英语年级排名散点图语文和数学年级排名散点图

30o30o

25o25o

20o20o

15o15o

10O10O

5050

0°0

05010015020025030035050100150200250300350

语文排名语文排名

关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：

①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；

②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；

③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；

④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以内的概率为g.

其中所有正确结论的序号是.

6.（2014高三•全国•专题练习）为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区

进行了"家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、

乙、丙所调查数据的标准差分别为名，$2，鼻，则它们的大小关系为.（用连接）

频率

反思提升：

（1）众数、中位数、平均数的应用要点

中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水

平，我们需根据实际需栗选择使用.

8

（2）频率分布直方图的数字特征

①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布

直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；

②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

【考点3］总体离散程度的估计

一、单选题

1.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知有4个数据的平均值为5,方差为4,现加入数据6和10,则这6

个数据的新方差为（）

713

A.-B.—C.6D.10

33

2.（2024・陕西西安•模拟预测）已知一组样本数据如々,…,毛的方差为10,且%+%=%+%,则样本数据

•X1Tx2+1,退-1,匕+1,%的方差为（）

A.9.2B.10.8C.9.75D.10.25

二、多选题

3.（2024•山东泰安•模拟预测）下列结论正确的是（）

A.回归直线y=bx+a至少经过其样本数据（人,%）,（々，%），一（%，%）中的一个点

B.已知命题p：Vx,ye（0,l）,x+y<2,则命题p的否定为业ye（0,1）,x+y22

c.若x为取有限个值的离散型随机变量，则［E（X）TNE（X2）

D.若一组样本数据耳、々、L、%的平均数为10,另一组样本数据2%+4、2%+4、L、2招+4的

方差为8,则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为17和54

4.（2024•福建福州•模拟预测）下列说法中，正确的是（）

A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32

B.已知随机变量J服从正态分布尸《<4）=0.84；则P（2<J<4）=0.34

C.己知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为》=0+晟；若5=2,x=i,y=3,则&=1

D.若样本数据为,尤2,…，占0的方差为2,则数据2%-1,2々-1,…,2为0-1的方差为4

三、填空题

5.（2023•吉林•一模）吉林市一中学有男生900人，女生600人.在“书香校园”活动中，为了解全校学生的

读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别

为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为分

钟，方差为.

9

6.（2022・北京•模拟预测）某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学科的表现，绘制了各科年级

排名的散点图（如下图所示）.

语文和英语年级排名散点图语文和数学年级排名散点图

300300

250250

r0o2

00

翳5o5o

10OOO

5()5()

0050100150200250300350°050100150200250300350

语文排名

关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：

①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；

②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；

③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；

④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以内的概率为

其中所有正确结论的序号是.

反思提升：

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）较大，数据的离散程

度越大；标准差（方差）较小，数据的离散程度越小.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•模拟预测）某高校为宣扬中华文化，举办了〃论语吟唱〃的比赛，在比赛中，由A,B两

个评委小组（各9人）给参赛选手打分.根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则

10

A.2组打分的方差小于A组打分的方差

B.2组打分的中位数为75

C.A组的意见相对一致

D.A组打分的众数为50

2.（2024•四川•一模）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg）,

将全部数据按区间［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5组,得到如图所示的频率分布直方图：

根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）

A.图中。的值为0.005

B.这200天中有140天的日销售量不低于80kg

C.这200天销售量的中位数的估计值为85kg

D.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾

客的需求），则每天的苹果进货量应为91kg

3.（2024•广东珠海•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.一组数据的标准差为0,则这组数据中的数均相等

B.两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等

C.若两个变量的相关系数越接近于0,则这两个变量的相关性越强

D.已知变量X;，由它们的样本数据计算得到片的观测值上25.527,长的部分临界值如下表：

2

P（K>k0）0.10.050.0250.01

k。2.7063.8415.0246.635

则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量x,y没有关系

4.（2024・四川资阳•二模）某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量（单位：克）

如下：48,49,50,50,50,50,51,52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有

（）

A.4袋B.6袋C.7袋D.8袋

二、多选题

11

5.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10,平均值为9,第二层的样本量为20,平均

值为12,则所抽样本的平均值为11

C.若随机变量X~8（5,£|,则P（X=2）=去

D.若随机变量X~N（4,b2）（b>。）,若尸（妹2）=0.8,则尸（x>6）=0.2

6.（2024・湖北•模拟预测）某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得

到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,则关于这组数据的结论

正确的是（）

A.极差是4B.众数小于平均数

C.方差是1.8D.数据的80%分位数为4

7.（24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习）某地农研所为研究新的大豆品种，在面积相等的80块豆田上种植

一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量（单位：kg）,将所得数据按[150,160）,[160,170）,[170,180）,

[180,190）,[190,200）,[200,210]分成六组，得到如图所示的频率分布直方图:

则下列结论正确的是（）

A.这80块豆田的亩产量的中位数低于180kg

B.这80块豆田的亩产量的极差不高于60kg

C.在这80块豆田中，亩产量不低于190kg的豆田所占比例为20%

D.这80块豆田的亩产量的第75百分位数高于180kg

三、填空题

8.（2024・广东珠海•一模）甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成

绩为72分，方差为90分2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分2.那么甲、乙两班全部90名学生的平

均成绩是分，方差是分2.

12

9.（2024•上海•模拟预测）已知样本号,孙'，尤2024的平均数为2,方差为2023,则片,尺,……，芯）24的平均数

为.

10.（2024•江西・模拟预测）某新能源汽车4s店五月份的前8天汽车销量（单位:辆）分别为：3,7,11,5,8,15,21,9,

则这组数据的75%分位数为.

四、解答题

11.（2024•四川绵阳•模拟预测）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，

3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关

知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100

分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.

⑴根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）；

⑵为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案：

方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡；

方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费

充值卡.

你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由.

12.（2024•四川成都•模拟预测）某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023

年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间［0,30］内，并按［0,5）,［5,10）,

…,［25,30］分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

频率

⑴求图中〃的值，并估计居民网购消费金额的中位数;

13

（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全2x2列联表，并判断是否有

99%的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由.

男女合计

网购迷20

非网购迷47

合计

下面的临界值表仅供参考:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001