2025年高考数学一轮复习讲义：直线的方程（原卷版）

专题43直线的方程（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点11直线的倾斜角与斜率................................................4

【考点2】求直线的方程......................................................5

【考点3）直线方程的综合应用.................................................6

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】..................................................................9

考试要求：

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截

式与一次函数的关系.

■,知识梳理

1.直线的倾斜角

⑴定义：当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成

的角a叫做直线/的倾斜角；

(2)规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为£；

(3)范围：直线的倾斜角a的取值范围是同0。・&<180。｝.

2.直线的斜率

(1)定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母女表

zj、,即k一二tana.

⑵计算公式

①经过两点Pi(xi,yi),尸2(x2,y2)(xiWx2)的直线的斜率左=或二

X2.X]

②设P1(X1,>1),尸2。2,*)(其中X1—X2)是直线/上的两点,则向量P1P2=(尤2—九1,第一>1)以及

与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线I的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),

则女=±

3.直线方程的五种形式

名称几何条件方程适用条件

斜截式纵截距、斜率

与x轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率y—yo==(%—xo)

y-yix-xi与两坐标轴均不垂直

两点式过两点

yi12~-XI的直线

不过原点且与两坐标

截距式纵、横截距~+j=l

a-b--轴均不垂直的直线

Ax+By+C=Q

一般式所有直线

(A2+B2#0)

|常用结论

1.直线的倾斜角a和斜率左之间的对应关系:

2

c兀71兀

a00<a<22<«<7l

2

k0k>0不存在k<0

2.截距和距离的不同之处

“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负

数.

,真题自测

一、单选题

1.（2024・全国•高考真题）已知直线办+a+2b=。与圆GM+y2+4y—1=。交于A1两点，则依用的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024•北京•高考真题）已知M={(%,y)ly=%+，(/-X：）,l<x<2,0<r<l）是平面直角坐标系中的点集.设

d是“中两点间距离的最大值，S是〃表示的图形的面积，则（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=Vio,S<1D.J=710,S>1

3.（2024•北京・高考真题）圆尤2+V-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.我B.2C.3D.3A/2

4.（2024・全国・高考真题）已知6是。，。的等差中项，直线依+勿+。=0与圆/+»2+4丫-1=0交于48两点,

贝力28|的最小值为（）

A.1B.2C.4D.275

5.（2023•全国•高考真题）过点（。,-2）与圆/+>2-©_1=0相切的两条直线的夹角为a,贝”ina=（）

姮MD.逅

A.1B.r

44

二、填空题

6.（2024•天津•高考真题）圆（x-iy+y?=25的圆心与抛物线丁=2内（0>0）的焦点/重合，A为两曲线的

交点，则原点到直线AF的距离为

■考点突破

【考点1】直线的倾斜角与斜率

一、单选题

1.（2022・贵州毕节•三模）曲线y=l+万下与直线（2无+1卜-（左+l）y+l=0有两个交点，则实数上的取值范围

3

为（）

A.（。,+8）B.

2.（2024高二上•全国•专题练习）已知直线"-丁+2=0和以M（3,-2）,N（2,5）为端点的线段相交，则实数

%的取值范围为（）

（41「3）

I3」L2）

431（41P3）

[32」I3jL2）

二、多选题

3.（2024•山东•二模）已知直线+m+2=0,圆C:（工一+（y-2了=5,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（-2,1）B.直线/与圆C相交

C.当直线/平分圆C时，机=-3D.当点C到直线/距离最大值时，，"=；

4.（2024•江西模拟预测）已知集合4={（尤,丫）,+冲+2。=0},B=\^x,y'）\ax+ay-l=6\,则下列结论正确

的是（）

A.V6zeR,Aw0B.当〃=一1时,

C.当A5=0时，a=lD.BdteR,使得A=5

三、填空题

5.（2023・江苏•模拟预测）设屋R,直线:丘+y-左=0,直线4：%-6+2"3=0,记//分别过定点A5,

且乙与4的交点为C,则|AC|+\BC\的最大值为.

6.（2022高二•全国•专题练习）己知两点“（0,-5）、N（4,3）,给出下列曲线方程：①x+2y+l=0；②

22

（x+l）2+（y+l）2=2；③亍+丁=1；④十/=1.则曲线上存在点p满足“闫列的方程的序号是

反思提升：

（1）斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.

（2）倾斜角和斜率范围求法：①图形观察（数形结合）；②充分利用函数左=tana的单调性.

【考点2】求直线的方程

一、单选题

1.（2023•江苏淮安•模拟预测）在平面直角坐标系xQv中，直线/通过原点，；7=（3,4）是/的一个法向量，则

直线/倾斜角的余弦值为（）

4433

A.—B.一C.一D.--

5555

4

2.（2024•全国模拟预测）已知曲线〃力=加在点处的切线为/,贝心在'轴上的截距为（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、多选题

3.（2023•浙江宁波•一模）已知直线/：〃?x-y+,〃+1=0（，〃>0）与圆。：/=4相交于两点，与

两坐标轴分别交于C,。两点，记VAO3的面积为H，△COD的面积为Sz,则（）

A.^<2B.存在机，使星=3C.|AB|>^D.存在机，使卜|CE>|

4.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知圆C：（X-2）2+/=4,直线/：（〃?+1）龙+2y—3=0（;”wR）,

贝U（）

A.直线/恒过定点（L1）

B.存在实数处使得直线/与圆C没有公共点

C.当根=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆/+y2-2x+8y+l=0恰有两条公切线

三、填空题

5.（2024•天津河东•一模）已知过点尸（4,-3）的直线（不过原点）与圆C:f+（y+5）2=a相切，且在无轴、V

轴上的截距相等，贝M的值为.

6.（2023•江西南昌•一模）函数〃尤）=丁—依在尤=1处的切线平行于直线为一y—l=0,则切线在y轴上的

截距为.

反思提升：

⑴求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求

出待定系数，即得所求直线方程.

（2）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、

截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.

【考点3】直线方程的综合应用

一、单选题

L（2022・安徽黄山•二模）已知抛物线。：'2=2.（夕>0）的焦点为尸，过点R（2,l）的直线/与抛物线C交于

A、B两点,R为线段A3的中点，若|冏+|印=5,则直线/的斜率为（）

5

1

A.-B.1C.2D.4

2

/、ccy+1

2.（2024・陕西商洛•三模）已知P（%,%）是圆（7:丁+/一2X一2丫+1=0上任意一点，贝|2n^的最大值为（

X。-J

1-4-77

A.-2B.——C.'5

23

二、多选题

3.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知圆C：（无一2）2+/=4,直线/：+l）x+2y—3-机=0（mwR）,

贝U（）

A.直线/恒过定点（1,1）

B.存在实数如使得直线/与圆C没有公共点

C.当帆=-3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆Y+y2-2x+8y+l=0恰有两条公切线

4.（2021•江苏常州•模拟预测）已知函数了OOnA^TI+lx-ll，则下列结论正确的是（）

A.在区间（一*0）上单调递减，（1,”）上单调递增

B./（元）的最小值为近，没有最大值

C.存在实数/，使得函数/Q）的图象关于直线x=/对称

D.方程f（x）=2的实根个数为2

三、填空题

5.（2022•黑龙江齐齐哈尔・二模）已知直线/:履->+1+2左=0,若直线/在两坐标轴上的截距相等，则实数

上的值为;若直线/不经过第三象限，则左的取值范围是.

6.（22-23高二上•江苏盐城•期中）已知P、0分别在直线/,：x-y+l=O与直线4：x-y-1=0上，且P。口，

点A（T,4）,8（4,0）,贝|AP|+|PQ|+|0B|的最小值为.

反思提升：

1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动

中有定”.若直线的方程为丁=左。-1）+2,则直线过定点（1,2）.

2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多

边形面积.

3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本

不等式求解.

・分层检测

6

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•河南信阳•三模）动点尸在函数>=111（4-犬）-111》的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围

是（）

2.（2024・重庆•三模）当点P（-LO）到直线/：（34+l）x+（2+l）y—（44+2）=0的距离最大时，实数2的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

2

3.（2024•山东青岛•二模）抛物线、二工2的焦点到双曲线r上—匕=i的渐近线的距离为（）

24

△若RA/3nV6

126126

4.（2020高三・全国•专题练习）在平面直角坐标系xOy（。为坐标原点）中，不过原点的两直线

ll-.x-my+2m-1=G,机-2=。的交点为p,过点。分别向直线4,4引垂线，垂足分别为M,N,

则四边形OMPN面积的最大值为（）

35

A.3B.-C.5D.-

22

二、多选题

5.（2024•全国•模拟预测）已知直线/:履->+2k+1=0与圆O：/+y2=9,则下列结论正确的是（）

A.直线恒过定点（2,-1）

B.直线/与圆。相交

3

C.若％=?，直线/被圆。截得的弦长为26

D.若直线/与直线无+43），+左2=0垂直，贝心=；

6.（23-24高二上•安徽马鞍山•阶段练习）已知圆C:（x-l），（y-2y=25,直线

/:（2a+1）龙+（〃z+l）y—7m—4=0.则以下几个结论正确的有（）

A.直线/与圆C相交

B.圆C被y轴截得的弦长为2"

C.点C到直线/的距离的最大值是石

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/的方程为2x-y-5=。

7

7.（2024・云南昆明•模拟预测）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句："白日登山望烽火，黄昏饮马傍

交河"隐藏着一个有趣的数学问题一一"将军饮马"，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河

边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m,n,其方程分别为2》-y=0,

y=0,将军的出发点是点4（3,1）,军营所在位置为3（6,3）,则下列说法错误的是（）

A.若将军先去河流根饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（1,2）

B.将军先去河流”饮马，再返回军营的最短路程是否

C.将军先去河流机饮马，再去河流w饮马，最后返回军营的最短路程是相

D.将军先去河流"饮马，再去河流机饮马，最后返回军营的最短路程是2a

三、填空题

8.（2024•天津南开•二模）过圆C：x2+y2=〃2上的点贝l,⑹作圆c切线/,贝心的倾斜角为.

9.（2024•北京•三模）已知抛物线。:丁=4》的焦点为人准线与x轴的交点为4点2在C上.若I尸加=2,

则直线AB的方程为.

10.（2024•山西朔州•模拟预测）已知A,8分另IJ为曲线y=2e'+x和直线y=3x-3上的点，则的最小值

为.

四、解答题

11.（23-24高二上•山东德州•期中）已知直线6：（m+2）x+冲-6=0和直线4：mx+y-3=0,其中根为实

数.

⑴若4J-4,求相的值；

（2）若点尸在直线4上，直线/过产点，且在％轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线/的

方程.

12.（2024•陕西西安・二模）解答下列问题.

⑴已知直线《：“x-3y+46=0与直线:2x+6y-2。=。相交，交点坐标为（1,2）,求a,b的值；

⑵已知直线/过点尸（2,3）,且点M（3,l）到直线/的距离为1,求直线/的方程.

【能力篇】

一、单选题

1.（2022・四川南充•三模）设。为坐标原点，点A（0,4）,动点P在抛物线无2=4y上，且位于第二象限，M

是线段B4的中点，则直线的斜率的取值范围为（）

A.（2,+co）B.[2,+oo）

C.（ro,—2）D.（—co,—2]

8

二、多选题

2.（2024•江苏南通・模拟预测）设抛物线C：Y=4y的焦点为产，P是C上的一个动点，则下列结论正确的

是（）

A.点尸到P的距离比至I]x轴的距离大2

B.点P到直线y=x-3的最小距离为加

C.以尸歹为直径的圆与X轴相切

D.记点P在C的准线上的射影为则不可能是正三角形

三、填空题

3.（2024・辽宁沈阳・模拟预测）已知圆C:/+y2=1,直线/%+y+2=0,尸为直线/上的动点，过点尸作

圆C的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过定