2025年高考数学一轮复习讲义：直线与椭圆、双曲线（原卷版）

专题49直线与椭圆、双曲线（新高考专用）

2

3

【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系.....................................3

【考点2】中点弦及弦长问题..................................................5

【考点3】直线与椭圆、双曲线的综合问题......................................7

【分层检测】9

【基础篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培优篇】.................................................................12

真题自测

一、解答题

L（2024・全国•高考真题）已知椭圆C：1+/=l（a>6>0）的右焦点为点在C

上，且叱J_x轴.

⑴求C的方程；

（2）过点P（4,0）的直线交C于A3两点，N为线段EP的中点，直线N8交直线M/于点Q,

证明：轴.

2.（2024•全国•高考真题）已知双曲线C:上—/=网徵>o）,点爪&4）在C上,k为常数,

0<k<l.按照如下方式依次构造点£（"=2,3,…）：过月一作斜率为左的直线与C的左支交

于点。“一1，令巴为关于、轴的对称点，记4的坐标为（乙,%）.

⑴若A=—,求％2,丁2；

（2）证明：数列｛玉-%｝是公比为号的等比数列；

⑶设S”为q匕+冏+2的面积，证明：对任意正整数a,Sn=Sn+i.

3.（2023•全国•高考真题）已知椭圆C:=l（a>b>0）的离心率是好，点4（-2,0）在C

ab3

上.

⑴求C的方程；

（2）过点（-2,3）的直线交C于P,。两点，直线AP,AQ与'轴的交点分别为",N,证明：线段

MN的中点为定点.

4.（2023•全国•高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2遍,0）,离心率为

45.

⑴求C的方程；

⑵记C的左、右顶点分别为4，A,过点（T,o）的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线肱&与“交于点P.证明:点尸在定直线上.

22

5.（2022•全国•高考真题）已知双曲线。：3一当=13>0/>0）的右焦点为方（2,0）,渐近线

ab

方程为y=土gx.

⑴求。的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于42两点，点尸住,%）,。（々，力）在C上，且

2

%>%>0,%>0.过尸且斜率为飞的直线与过Q且斜率为6的直线交于点放从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A3上；@PQ//AB.（3）\MA\^MB\.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

6.（2022•全国•高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点尸（1,-2）的直线交E于M,N两点，过加且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,

点“满足=证明：直线过定点.

即考点突破

【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系

一、解答题

1.（2024•安徽•三模）已知椭圆c'+y'l的右焦点为足C在点P（%,%）（%片。）处的切线

/分别交直线x=l和直线x=2于两点.

（1）求证：直线为x+2%y-2=0与C相切；

⑵探究：焉\MF是\否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

2.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）椭圆E的焦点为（而,。）和卜而,0）,短轴长为2.

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵设椭圆上、下顶点分别为4、2,过点。的直线4与椭圆E交于A、8两点（不与

片、鸟两点重合）.

①求证：A片与8鸟的交点的纵坐标为定值；

②已知直线4：x+2y-6=。，求直线B鸟、4围成的三角形面积最小值.

3.（2025•广东•一模）设A3两点的坐标分别为卜百,。）,（若网）•直线A"，3”相交于点H,

且它们的斜率之积是设点H的轨迹方程为C.

（1）求C;

3

（2）不经过点A的直线/与曲线C相交于E、歹两点，且直线AE与直线AF的斜率之积是-g,

求证：直线/恒过定点.

4.（2024•内蒙古赤峰•三模）已知点尸为圆C:（x-2『+y2=4上任意一点，A（-2,0）,线段2

的垂直平分线交直线PC于点M,设点M的轨迹为曲线

（1）求曲线”的方程；

⑵若过点M的直线/与曲线H的两条渐近线交于S,T两点，且Af为线段ST的中点.

（i）证明：直线/与曲线H有且仅有一个交点；

（ii）求证：|0斗|07|是定值.

22

5.（2024・安徽•一模）已知双曲线C：二-七=1（。>0*>0）的离心率为2.且经过点（2,3）.

ab

⑴求C的方程；

⑵若直线/与C交于A,8两点，且0408=0（点。为坐标原点），求|筋|的取值范围.

2

6.（2024•上海浦东新•三模）已知双曲线C:Y-2L=1,点a、F,分别为双曲线的左、右焦

3

点，4（%1，%）、BO：2,%）为双曲线上的点.

（1）求右焦点尸2到双曲线的渐近线的距离；

（2）若求直线A3的方程；

⑶若A£//B居，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支,求四边形

A月居B的面积的取值范围.

反思提升：

1.判断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Ax+By+C=0（A、

3不同时为0）代入圆锥曲线C的方程"x,y）=0.消去>（或x）得到一个关于变量

x（或y）的方程ar+bx+cnOl或ay2+by+c=0i）.

（1）当aWO时，则/>0时，直线/与曲线C相交；/=0时，直线/与曲线C相

切；/V0时，直线/与曲线C相离.

⑵当a=0时，即得到一个一次方程，则/与C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线/与抛

物线的对称轴平行或重合.

2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交

点.

【考点2】中点弦及弦长问题

4

一、解答题

22

1.（2024•河南新乡•模拟预测）已知椭圆C:5+当=1（。＞10）的左、右焦点分别为耳B，

ab

且用用=2,过点尸2作两条直线直线乙与C交于A3两点，《A3的周长为40.

（1）求C的方程；

4

（2）若［AB的面积为求4的方程;

⑶若乙与C交于两点，且4的斜率是4的斜率的2倍，求期的最大值•

2.（2024•河北沧州・模拟预测）已知直线/：，=履+m与椭圆C:=1（。＞6＞0）相交于

"b2

A8两点，M为弦A3的中点，。为坐标原点，直线0M的斜率记为左0”.

（1）证明：%+尢=0；

（2）^k-kOM———,焦距为2班.

①求椭圆C的方程；

②若点N为椭圆C的右顶点，|AB|=2|M0|,且直线AB,AN与x轴围成底边在x轴上的等

腰三角形，求直线/的方程.

22

3.（2024・广东广州•三模）一般地，当几＞0且/U1时，方程j+斗=彳（。＞6＞0）表示的椭

ab

2222

圆C/称为椭圆1r+%=1（"＞6＞0）的相似椭圆.已知椭圆c：'+'=l,椭圆C/（彳＞0且

无声1）是椭圆C的相似椭圆，点尸为椭圆C＜上异于其左，右顶点M,N的任意一点.

（1）当ae（O,l）时，直线丁=7"+〃（机＞0,〃＜0）与椭圆C,G（自上而下依次交于R,Q,S,T

四点，探究田。|,|ST|的大小关系，并说明理由.

（2）当彳=e?（e为椭圆C的离心率）时，设直线与椭圆C交于点A,B,直线PN与椭圆

C交于点。，E,求|AB|+|DE|的值.

4.（2025•广东广州•模拟预测）在平面直角坐标系中，点T到点尸（2,0）的距离与到直线

x=l的距离之比为夜，记T的轨迹为曲线E,直线4交E右支于A,5两点，直线乙交E右

支于C,。两点，“〃2.

⑴求E的标准方程；

（2）证明：OAOB=OCOD-,

5

⑶若直线4过点（2,0）,直线4过点（8,0）,记AB,C。的中点分别为P,Q,过点。作E两

条渐近线的垂线，垂足分别为N,求四边形PMQN面积的取值范围.

22

5.（2024•安徽池州二模）已知双曲线C:5-4=1（"0/>0）的右焦点网2,0）,离心率

ab

为空,过产的直线4交C于点AB两点，过户与《垂直的直线/，交C于。,E两点.

3

77

（1）当直线4的倾斜角为B时，求由A,民。,E四点围成的四边形的面积；

4

⑵直线/：元=妆+3分别交44于点若“为AB的中点，证明：N为DE的中点.

22

6.（2023・广西南宁•模拟预测）已知双曲线C:*-方=1（。>0*>0）经过点卜2,«）,其渐

近线方程为y=±A/2X.

⑴求双曲线C的方程;

⑵过点尸（1,1）的直线/与双曲线C相交于48两点,P能否是线段A8的中点？请说明理由.

反思提升：

1.弦及弦中点问题的解决方法

⑴根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系

表示中点；

（2）点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关

系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.

2.弦长的求解方法

（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.

⑵当直线的斜率存在时,斜率为左的直线/与椭圆或双曲线相交于A（xi,yi）,3（X2,

”）两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|=\]l+lc\x\—X2I

=q（1+后）[（X1+X2）2-4xiX2]；

②1+p|yi-/|（左#0）

*2

=噂（1+/1（v+券）—4yiy2].

【考点3】直线与椭圆、双曲线的综合问题

一、解答题

22

1.（2024・上海,高考真题）在平面直角坐标系中，已知点A为椭圆「土+<=1上一点，

6

可、尸2分别为椭圆的左、右焦点.

(1)若点A的横坐标为2,求|A£|的长；

(2)设『的上、下顶点分别为、/2,记△然鸟的面积为S”AM}M2的面积为S2,若耳2S?,

求的取值范围

⑶若点A在x轴上方，设直线A工与:T交于点8,与V轴交于点K,附延长线与「交于点C,

是否存在x轴上方的点C,使得百A+耳8+耳。=1(F2A+F2B+F2C)^6R)成立?若存在，

请求出点C的坐标;若不存在，请说明理由.

2.(2023・四川绵阳•三模)在平面直角坐标系g中：①已知点A("0),直线/人挈，

动点尸满足到点A的距离与到直线I的距离之比坐；②已知点ST分别在X轴，y轴上运动，

o1

且|ST|=3,动点尸满op=ps+(or；③已知圆C的方程为/+丁=4,直线/为圆C的

切线，记点A(五o),网-点0)到直线/的距离分别为44，动点尸满足印=闻即=心.

(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；

⑵记(1)中动点尸的轨迹为E,经过点。(1,0)的直线，交E于M,N两点，若线段MN

的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点。纵坐标的取值范围.

221

3.(2023•江苏连云港•模拟预测)已知椭圆=+2=1(°>6>0)的离心率为一，抛物线

ab2

f=4y的焦点为点R过点尸作y轴的垂线交椭圆于P,。两点，|尸。|=孚.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线/交椭圆于3,C两点，设/与无轴的交点为。，8C的

S18

中点为的中垂线交x轴于点G,若，GED,的面积分别记为工，$2,且肃=病，

点A在第一象限，求点A的坐标.

4.(2025•黑龙江大庆•一模)已知双曲线E的中心为坐标原点，左焦点为卜石,。)，渐近线

方程为y=±今x.

(1)求£T的方程；

(2)若互相垂直的两条直线//均过点打外⑼伉>四，且"N*),直线4交E于A2两点，

直线4交E于C，。两点，〃,N分别为弦A3和C。的中点，直线MN交x轴于点

7

Q3⑼(”eN*),设p,=2".

①求露

2n

②记4=|PQ|,b„=2n-l（n^）,求-㈠）"4k.

k=l

5.（2025咛夏•模拟预测）在平面直角坐标系无，中，点T到点尸（2,0）的距离与到直线x=l

的距离之比为近，记T的轨迹为曲线E,直线《交E右支于A,8两点，直线4交E右支于

C,。两点，“/加

⑴求E的标准方程；

⑵若直线4过点（2,0）,直线4过点（8,0）,记AB,8的中点分别为尸，Q,过点。作E两条

渐近线的垂线，垂足分别为M,N,求四边形PMQN面积的取值范围.

6.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）如图，在平面直角坐标系立力中，双曲线

，一J=l（a>0,b>0）的上下焦点分别为耳（0,c）,6（0,—c）.已知点（e,和仅，夜）都在

双曲线上，其中e为双曲线的离心率.

⑴求双曲线的方程;

⑵设A3是双曲线上位于V轴右方的两点，且直线4月与直线8月平行，A居与交于点R

（i）若|A耳|-忸典=2,求直线A［的斜率；

（ii）求证：|尸国+|尸图是定值.

反思提升：

1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的

方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求

的方法.

2.直线方程的设法，根据题意，如果需栗讨论斜率不存在的情况，则设直线方程

为x=ty+m避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y=kx

+6的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.

8

【基础篇】

一、单选题

1.（23-24高三下•广东广州•阶段练习）已知正实数。,6满足。+2b=1,则右+扬的取值范

围是（）

1淮史匹

~2,~1

22

2.（2023•江西•模拟预测）已知直线/1：＞=2尤+2过椭圆。；4+2r=1（。＞。＞0）的一个焦

点，与C交于48两点，与4平行的直线4与C交于N两点，若A8的中点为P,MN

4

的中点为。且PQ的斜率为-则。的方程为（）

22

3.（2024•山东泰安三模）已知/（G。）为双曲线C:J=1（a＞0,b〉0）的右焦点，

ab

直线x=c与C的两条渐近线分别交于A,B两点，。为坐标原点，△OAB是面积为4的直

角三角形，则C的方程为（）

272222

A.x2-y2=lB.---匕=1C.--^=1D.士一匕=1

224442

4.（2022•全国•模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为尸（-2,0）,过

斤的直线/与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为N（-3,-l）,则C的离心率为（）

A.册B.毡C.@D.g

32

二、多选题

22

5.（2024・四川・一模）已知椭圆E:'+匕=1的左顶点为A,左、右焦点分别为月,工，过

43

点月的直线与椭圆相交于P,。两点，则（）

A.闺闾=1

B.|PQ|＜4

C.当鸟,P,。不共线时，△月尸。的周长为8

D.设点P到直线x=T的距离为d,则1=2归耳|

9

2

6.（22-23高二下•广西,期中）已知双曲线C:/-匕=1的左、右焦点分别为不居，抛物线

3一

y2=2px（p>0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下

列说法正确的是（）

A.p=4B.月产月的周长为16

C.片尸耳的面积为2nD.cos/耳尸鸟=：

7.（2022・福建泉州•模拟预测）已知尸一工分别是双曲线C：土-9=1的左、右焦点，点M

4'

是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段4耳为直径的圆经过点则（）

A.也的面积为豆B.点M的横坐标为2或-2

C.C的渐近线方程为〉=±；xD.以线段月入为直径的圆的方程为炉+丁=3

三、填空题

2

8.（2024・北京・高考真题）若直线y=Mx-3）与双曲线3-y2=i只有一个公共点，贝必的

一个取值为.

9.（2022•安徽蚌埠•三模）已知椭圆弓+4=l（a>&>0）的离心率为电，直线I与椭圆交于A,

ab2

8两点，当AB的中点为M（1,1）时,直线/的方程为.

22

10.（2024•黑龙江吉林•二模）椭圆土+匕=1的左，右焦点分别为月，工，过焦点打的直

169

线交椭圆于A,B两点，设&（外,%）,8（9,%）,若AABg的面积是4,则|另-丫2|=.

四、解答题

22

11.（2024•陕西西安•模拟预测）已知椭圆C:=+与=1（。>6>0）的一个焦点与抛物线

ab

丁=4尤的焦点重合，离心率为二.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点尸［g,。］作斜率为。的直线交椭圆C于RQ两点，求弦PQ中点坐标.

22

12.（2023•云南昆明•模拟预测）已知双曲线C：二-2=1（。>0,6>0）上任意一点Q（异于

ab

顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为：，E在双曲线C上，尸为双曲线C的右焦点，|跖|

的最小值为JIU-3.

（1）求双曲线C的标准方程；

10

⑵过椭圆W+t=l（加＞"＞0）上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线

mn

两条渐近线的直线，交两渐近线于M,N两点，且1PMi2+|PN『=5,是否存在相，〃使得

椭圆的离心率为逆？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.

3

【能力篇】

一、单选题

22

1.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C:1-匕=1（。＞0）的左、右焦点分别为耳,耳，直线

CL18

/过点尸2且与双曲线C交于A2两点，若隹=33区,|4凰=2忸团，则下列说法不正确的是

（）

A.双曲线C的离心率为M

B.双曲线C的渐近线方程为＞=±3岳

C.过点尸21的直线机与双曲线C交于两点且尸为建V的中点，则直线机的方

程为y=3x+1

D.AB用巴的面积为3屏

二、多选题

2

2.（2024•新疆乌鲁木齐•三模）已