2025年高考数学一轮复习讲义：直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）

专题46直线与圆、圆与圆的位置关系（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................11

【考点11直线与圆的位置关系................................................11

【考点2】圆的切线、弦长问题................................................17

【考点3】圆与圆的位置关系..................................................22

【分层检测】...............................................................27

【基础篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................35

【培优篇】.................................................................39

考试要求：

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

・知识梳理

L直线与圆的位置关系

设圆C：(%—〃)2+(、一力2=户，直线/：Ax-\-By+C=O,圆心C(Q,6)到直线/的距离为d,由

(x-6z)2+(y—b)2=户，

41nl「八消去y(或X),得到关于％(或y)的一元二次方程，其判别式为/.

[Ax+B_y+C=O

位置关系相离相切相交

图形

方程观点J<0/三0J>0

量化

几何观点d>rd三rd<r

2.圆与圆的位置关系

已知两圆Ci：(%—xi)2+(y—yi)2=T

C2：(%—X2)2+(y-")2="，

则圆心距d=|CiC2I=、/(11-12)2+(yi-丫2~5~^

则两圆Ci,Q有以下位置关系：

位置关系外离内含相交内切外切

圆心距

In-2|<d〈ri

与半径d>ri+nd<|ri1]2|。=|门一二|d=ri+r2

+厂2

的关系

®€)o0©

图示电

公切线条数40213

常用结论

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2+y2=r2上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为xox+yoy=r2.

(2)过圆(X—Q)2+(y—力2=/上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为(次一〃)(1—Q)+(刈-6)。一力=户.

(3)过圆外一点M(xo,yo)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xox+yoy=r2.

2.直线被圆截得的弦长的求法

⑴几何法：运用弦心距4半径厂和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长履3|=2后彳.

2

（2）代数法：设直线y=履+用与圆/+'2+m+切+/=0相交于点M,N,将直线方程代入圆

的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程，求出XM+XN和XM-XN,则\MN\=

q1+吩7（XM~\~XN）2——4XMFN.

5真题自测

一、单选题

L（2024•全国,高考真题）已知直线分+办一。+26=0与圆C：尤?+y?+4y-l=0交于两点，则的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024・全国高考真题）已知》是。,。的等差中项，直线6+勿+。=0与圆/+丁+4丫­1=0交于4,3两点，

则|4B|的最小值为（）

A.1B.2C.4D.275

3.（2023•全国•高考真题）已知实数尤,V满足炉+》2一4》-2》-4=0,则"一丁的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+3丘D.7

4.（2023•全国•高考真题）过点（0,-2）与圆/+/-以-1=0相切的两条直线的夹角为a,贝hina=（）

A.1B.—C.巫D.诿

444

二、多选题

5.（2024•全国•高考真题）抛物线C：：/=©的准线为/,P为C上的动点，过尸作OA:d+（y-4『=1的

一条切线，。为切点，过尸作/的垂线，垂足为8,则（）

A./与：A相切

B.当尸，A,2三点共线时，|尸Q|=JB

C.当|P8|=2时，PA±AB

D.满足I如月产切的点尸有且仅有2个

三、填空题

6.（2023•全国•高考真题）己知直线/：x-冲+1=0与（C:（x-l）2+y2=43C^A,8两点，写出满足"VABC

面积为|"的根的一个值____.

7.（2022•全国•高考真题）若双曲线V一工=1（m>0）的渐近线与圆/+/-4〉+3=0相切，贝1]»1=.

m

8.（2022•全国,高考真题）写出与圆炉+丁=1和（尤-3）2+（丫-4）2=16都相切的一条直线的方

程.

3

参考答案:

题号12345

答案CCCBABD

1.C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点尸(1,-2),从而可得当尸CLAB时，|4B|的最小，结合勾股定理

代入计算，即可求解.

【详解】因为直线ox+6y-a+26=0,gpo(x-l)+/?(y+2)=0,令x-l=O,

则x=l,y=-2,所以直线过定点(1,-2),设尸(1,一2),

将圆C：x2+y2+4y-l=0化为标准式为X2+(>+2)一=5,

所以圆心C(0,-2),半径厂=右，\PC\=1

当尸CLAB时，|48|的最小，

此时|A却=2、户一|PC『=2>后开=4.

故选：C

2.C

【分析】结合等差数列性质将。代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为。,瓦。成等差数列，所以2b=a+c,。=如一。，代入直线方程办+勿+c=0得

九一1二0X=1

ax+by+2b-a=0,即Q（x-l）+8（y+2）=0,令得

y+2=0y=-2，

故直线恒过(1,-2),设网1,一2),圆化为标准方程得：C:f+(y+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当尸CLAB时，|2B|最小，

|PC|=l,|Aq=W=逐,此时|AB|=2|AP|=2jac2-PC2=2>/^T=4.

3.C

4

【分析】法一：令x-y=k,利用判别式法即可；法二：通过整理得（x-2）2+（y_l）2=9,利用三角换元法即

可，法三：整理出圆的方程，设=3利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

【详解】法一：令x-y=k,则彳=左+九

代入原式化简得2丁+（2左一6）y+/-4左一4=0,

因为存在实数V，则A20,即（2左一6）2-4X2,2—44-4）20,

化简得左2-2A:-17V0,解得1-3应〈左V1+3衣，

故工一，的最大值是3五+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（x-2）°+（y-l）2=9,

令x=3cosO+2,y=3sin〃+l,其中640,2可，

贝ij尤一y=3cosO-3sinO+l=30cos[o+：j+l,

，且0,2同，所以6+（号，则6+：=2兀，即0=彳时，无7取得最大值30+1,

法三：由炉+/-4+-2)；-4=0可得(x-2)2+(y-l)2=9,

|2—1|

设无一y=左，则圆心到宜线x-y=k的距离d

解得1-304左V1+30

故选：C.

4.B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得公+8左+1=0,利用韦达定理结合

夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为丁+/-以-1=0,即（x—2y+y2=5,可得圆心C（2,0）,半径“右,

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为A,8,

因为|PC|={22+(_21=2五,贝尸A|=,PC『一产=上,

可得sinZAPC差考,cosZAPC签邛,

贝UsinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x"=姮,

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

5

即ZAPB为钝角，

所以sina=sin（五一ZAPB）=sinZAPB=；

法二：圆T+y>_4x-l=0的圆心C（2,0）,半径厂=行，

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为连接

可得|PC|=百+①）?=2五,则\PA\=\PB\=J|PCf一产=石，

因为|"「+|尸8「一2怛H.归却cosZAPB=|C4「+|c8「-2|04卜|。国cosZACB

且NACB=冗一NAPB,贝U3+3-6cosZAPB=5+5-10cos（7i-Zz4PB）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cos/4P8=-工<0,

4

即,APB为钝角,贝｝|cosa=cos（it-ZAPB）=-cosZAPB=：,

且a为锐角，所以sina:=Jl-cos?a=；

4

方法三：圆/+尸-以-1=0的圆心C（2,0）,半径『=6，

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为>=依-2,即b-y-2=0,

则=非,整理得上？+8左+1=0，MA=64-4=60>0

412*+31

设两切线斜率分别为匕，左2，则尢+心=-8,左右=1,

可得归_周=J（k1+&）2-4\（=2屈,

所以tane=t=后,即至巴=厉，可得costz=*器，

1+k1&cosaV15

rn.i.22♦2sincc

贝sina+cosa=sina-\---------=1,

15

且a£（0㈤，则sina>0,解得sina=.

故选：B.

6

【分析】A选项，抛物线准线为x=-l,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求

出尸的坐标，进而得出切线长；C选项，根据怛却=2先算出p的坐标，然后验证原/例=-1是否成立；D选

项，根据抛物线的定义，户同=|尸同，于是问题转化成|必=户典的尸点的存在性问题，此时考察AF的中垂

线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线丁=以的准线为x=-L,

A的圆心(0,4)到直线x=-l的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和(A相切，A选项正确；

B选项，P,A,B三点共线时，即则P的纵坐标力=4,

由熄=4%,得到与=4,故尸(4,4),

此时切线长|尸2|=，|/＜一＞="2一12=岳，B选项正确;

C选项,当1pBl=2时,xp=l,此时近=4琴=4,故先(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

当尸(1,2)时，A(0,4),B(-l,2),k=---=-2k=-----=2,

PA0—1fAB0—(—1)

不满足左PAG=T；

4(

当尸(1,一2)时，A(0,4),B(-l,2),kPA=~~^=-6,勉=：丁？=6,

0—10—(—1)

不满足kPAkAB=-1；

于是上4LAB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|尸耳=|尸尸这里"1,0),

于是=\PB\时p点的存在性问题转化成|P4|=|尸同时P点的存在性问题,

A(0,4),F(l,0),瓶中点(：,211

47中垂线的斜率为一厂=了,

kAF4

7

于是AF的中垂线方程为：y与抛物线y2=4x联立可得y2T6y+30=0,

o

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个尸点，使得|R4|=|PP|,D选项正确.

方法二：（设点直接求解）

，由可得又A(0,4),X|PA|=|PB|,

设尸U

根据两点间的距离公式，、乙+«-4）2==+1，整理得6+30=0,

V164

A=162-4X30=136>01则关于t的方程有两个解,

即存在两个这样的尸点，D选项正确.

故选：ABD

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|AB|,以及点C到直线A3的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线A3的距离为d,由弦长公式得|小|=2,4-磨,

所以5=3x2”-笛=!，解得：［=述或1=递，

2555

由d=11+112所以方2\=4受出或2半2亚，解得：加=±2或加=±白1.

J1+■Jl+mJl+m5J1+-52

故答案为：2（2,-2，!，-：中任意一个皆可以）.

22

7.B

3

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆

8

心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

丫2Y

【详解】解：双曲线丁―j=lW〉O）的渐近线为y=±±，即％±冲=0,

mm

不妨取X+股=0，圆/+/一4>+3=0,即X2+（,一2）2=1,所以圆心为（0,2）,半径r=1,

一/、一|2m|

依题意圆心（0,2）到渐近线工+切=0的距离d==1,

Vl+m

解得根或机=（舍去）.

33

故答案为：旦.

3

35725

8.y=——％+—或,=——x--^x=-l

442424

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】［方法一］：

显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为％+勿+。二。，

于是荷=1，=4

故。2=1+/①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4Z?+c=4c或3+48+c=4,

724

b=---

b=07或，

再结合①解得c=l或

25空工，

c=---

73

所以直线方程有三条，分别为％+1=0,7%-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（填一条即可）

［方法二］：

设圆/+y2=1的圆心。（0,0）,半径为4二1,

圆（x—3）2+（>—4）2=16的圆心。（3,4）,半径々=4,

则|0。|=5=彳+小因此两圆外切，

9

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l=O符合题意；

又由方程(％-3y+(,一4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3%+4y-5=。,

即为过两圆公共切点的切线方程,

又易知两圆圆心所在直线。。的方程为4尤-3y=0,

4

直线OC与直线x+l=0的交点为(T-§),

7

设过该点的直线为y+g=Wx+i),则7

=1-解得左=五，

从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)

［方法三］：

圆/+,2=1的圆心为。(0,0),半径为1,

圆(%—3)2+(y—4)2=16的圆心。1为(3,4),半径为4,

两圆圆心距为+4?=5，等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

10

当切线为/时，因为/所4以勺=-31,设方程为y=-；3x+/«>0）

__!=]CQC

。到/的距离忑一,解得"“所以/的方程为卜=-“+"

当切线为加时，设直线方程为h+y+p=。，其中。>。，k<o,

当切线为几时，易知切线方程为尤=-1,

35725

故答案为：'=一；%+：或>或％=—1・

442424

考点突破

【考点1】直线与圆的位置关系

一、单选题

1.（2024・安徽•模拟预测）已知直线/:x+（l+a）y=2—a,0C:x2+_y2-6.x+4_y+12=0,则该动直线与圆

的位置关系是（）

A.相离B.相切C,相交D.不确定

2.（2024・湖北•模拟预测）已知点P是直线尤-〉-机=。上的动点，由点P向圆。：/+丁=1引切线，切点分

别为M,N且/〃PN=90,若满足以上条件的点P有且只有一个，则切=（）

A.72B.±72C.2D.±2

二、多选题

11

3.（2024•河北衡水•模拟预测）已知A倒,夜）,仆0,彳J,动点P（x,y）满足四=0阿，则下列结论正确

的是（）

A.点P的轨迹围成的图形面积为兀

B.|即的最小值为1

112

C.儿巴是尸的任意两个位置点，贝|/匕4ew]

D.过点的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小值为近

4.（23-24高三上•河北廊坊,期中）如图,有一组圆C*化eN+）都内切于点P（—2,0）,圆G：（x+3）2+（y_l）2=2,

设直线x+y+2=0与圆C&在第二象限的交点为A-若％4/=逝，则下列结论正确的是（）

A.圆C#的圆心都在直线无+y+2=0上

B.圆的方程为。+52）2+（y-50）2=5000

C.若圆C.与y轴有交点，则上38

D.设直线工=-2与圆6在第二象限的交点为纥，则囚/J=1

三、填空题

5.（2022・全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点4。,-3）的直线/与圆C:尤?+（y-2了=9相交于

N两点，若打…3…，则直线/的斜率为——

6.（19-20高一下•江苏无锡•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直角AABC中，直角顶点A在直线

x-y+4=0上，顶点B,C在圆/+/=10上，则点A横坐标的取值范围是.

参考答案:

题号1234

答案CDABDABD

1.C

【分析】根据题意可得直线/表示过定点4（3,-1）,且除去y=-l的直线，点A在圆上，可判断直线/与圆C

12

相交.

【详解】因为直线/：尤+(1+々))=2—Q,即x+y—2+a(y+l)=0,

(x=3

当y+l=O时，％+y—2=0,解得

[y=-l

所以直线/表示过定点A(3「l),且除去y=-l的直线，

将圆C的方程化为标准方程为(尤-3)2+(y+2)2=l,因为|AC|=1,点A在圆上,

所以直线/与圆C可能相交，可能相切，相切时直线/为了=-1,不合题意，

所以直线/与圆C相交.

故选：C.

2.D

【分析】连接O"，CW,结合圆的切线性质可推得点尸在以点。为圆心，&为半径的圆C上，再由题意可

知该圆与直线尤-y-相=。相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.

【详解】连接OM,ON,则RW_LOM,RV_LON.

又NMPN=9QQM=ON,所以四边形MPNO为正方形，二|尸。|=夜|次|=0,

于是点尸在以点。为圆心，血为半径的圆C上.

又由满足条件的点尸有且只有一个，则圆C与直线x-y=。相切,

所以点。到直线x-y=0的距离〃=及，，工=应，解得机=±2.

故选：D.

3.ABD

【分析】由1PAi=夜户同得V+y2=l,计算面积可判断A；结合图象可知，当O,B,P共线的时候忸耳取值

最小值，可判断B；过A向圆引切线，用两条切线夹角来可判断C；分别用斜率存在和不在两种情况写出过

点的直线方程，然后由圆的几何性质求IMM，进而结合基本不等式可得|MN|的最小值，即可判断D.

目2

【详解】由|尸山=拒|尸即得：=2/+＞一9即冗2+y2=],

27

13

点尸的轨迹为圆心0（0,0）,半径r=l的圆.

对于A：面积为兀产=无，故A正确；

对于B：点8在圆内，由图知忸性OP,当。,B,尸共线的时候等号成立，

所以忸尸|最小值为1-乎，故B正确，

对于C：因为|OA|=&,r=l,所以过A向圆引切线，切线长等于1,则两条切线夹角为故C不正确.

对于D：斜率不存在时，过点的直线方程为x=；,此时

斜率存在时，过点的直线方程为=即履一八,+；=0,

则圆心到该直线的距离d=-55=T+1,

J1+:2241+—

由圆的几何性质，\MN\=2=』4一〃-2受b+,

11\lbTiTFjvi+廿Vi+r

当％=0时，|MV|=g；

当上＞0时，|脑7|=』"||^＞道；

I2k2

当左＜0时，河=++17^=「一一］’,/应，当且仅当;=%即左=—1时取等号，

V7（-左）k

综上所述，MN的最小值为a,故D正确.

故选：ABD.

4.ABD

【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆C«的方程判断B；求出圆C上的圆心到了轴的距离，结合

直线与圆相交判断C；求出点线的纵坐标判断D.

1-0

【详解】圆G的圆心G（-3,l）,直线尸C1的方程为丁=«+2）,即x+y+2=0,

由两圆内切连心线必过切点，得圆Ck的圆心都在直线PG上，即圆c«的圆心都在直线无+y+2=0上，A正

14

确;

14+%=-2

显然1%=应（左+1）,设点4（无&,然）,则|V12+12^+2|=V2(^+D，而4<-2,

解得4=-"3,%=上+1,因此圆C1的圆心Q（-警，与3,半径为^^』=正（左+1）,

2222

c2

圆Ck的方程为（》+与）2+（y-9）2=&F，贝U圆99的方程为（x+52）+（y-50）2=5000,B正确;

圆Ck的圆心到v轴距离为卓，若圆C*与y轴有交点，则到0w向卜+1），

222

解得424忘+3y8.6，而左eN+，因此左29,C错误;

在（》+^^）2+“一个）2=%等中，令了=一2,得点纥的纵坐标为无+1,因此I4为+"=1,D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：直线/：y=fcv+b上两点44%）,3襄2，%）间的距离记・|x「X2l；

直线/：x=my+t上两点A（无1，%）,8（%，%）间的距离|AB|=J1+疗.I%%I-

5+血

7

【分析】设N（w，%）,直线MN的方程为>3,联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，

根据根的判定式A>0,求出人的取值范围，根据以4.=^5》0”，即可得到％=2%,即可求出储

【详解】解：由题意得C（0,2）,直线"N的斜率存在，设N（%,%），直线MN的方程为>=依-3,

与》2+（>_2）2=9联立，得（左2+1）尤2_10履+16=0,A=100Z:2-64（^2+1）=36k2-64>0,,

%+%=V+1,网无2=武[因为"的=：SAACM，所以;x3x"|=|x；x5x卜|,则冈=2㈤，于是无2=2占,

（由点A及C在y轴上可判断出X],%同号）

3x-10k_

所以1£1，两式消去4,得左2=电，满足A>o,所以左=±组.

2x；=T77

I'k2+\

故答案为：土组

7

6.[-2-^,-2+76]

【分析】由题意画出图形，画出以原点为圆心，以26为半径的圆，结合图形分析推理，点A在这个圆截直

线x-y+4=0所得弦上时，满足要求，列出不等式求解即得.

【详解】如图所示，显然直线x-y+4=0与圆/+丁=10相交，

15

当点A为直线上的定点且在圆外，直线4氏AC与圆相切时，SBAC最大，

点A是直线被圆所截弦上的点（除弦的端点外）时，点A对圆上两点所张角在（0,加，

点A在直线上从弦端点开始远离圆方向运动时，SBAC逐渐变小，点A移动到某位置A使得直线AB,AC为

圆的切线，aBAC就为直角，再沿着此方向移动，SB4C将小于直角，则A为点A的边界位置，

当点A在4处时，ABOC为正方形，则。4=2岔，

则点A是以。为圆心，2石为半径的圆截直线x-y+4=0所得弦上的点时符合要求，即直线上的点A在该圆及

内部，

|04区25/5,A（x,x+4）,则+（x+4>V20n%2+4x—2V0=>—2—>/6VxV—2+y/6,

点A横坐标的取值范围是［-2-后,-2+而］.

故答案为：［-2,-2+峋

【点睛】（1）直线上的动点与圆的关系类问题，利用数形结合的思想，分析图形的几何特征是解题的关键；

⑵圆相外的定点向圆引的两条切线夹角是该点对圆上两点所张的角中最大的.

反思提升：

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与厂的关系.

（2）代数法：联立方程之后利用/判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

【考点2】圆的切线、弦长问题

一、单选题

1.（23-24高二下•广东茂名•阶段练习）已知圆C:（x-3y+（y-4）2=9,直线/:（〃z+3）x—（〃z+2）y+〃2=O.

则直线/被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2币B.710C.2.x/2D.娓

2.（2024•辽宁•模拟预测）过点尸（。⑼作圆尤2+丁=2的切线，A为切点，1pAl=1,则2”人的最大值是（）

A.V15B.V13C.4D.3

二、多选题

3.（2022•福建泉州•模拟预测）已知点M在直线/：y—4=Mx-3）上，点N在圆。:尤2+,2=9上，则下列说

16

法正确的是（）

A.点N至心的最大距离为8

B.若/被圆。所截得的弦长最大，则上=4]

c.若/为圆。的切线，则上的取值范围为，0,11

D.若点M也在圆。上，则。至!|/的距离的最大值为3

4.（23-24高二上•湖南常德•期末）已知圆M:（尤+1了+丁=2,直线/：x-y-3=0,点P在直线/上运动，直

线P4,尸3分别与圆M切于点A,5.则下列说法正确的是（）

A.|尸山最短为«

B.|上4|最短时，弦A3所在直线方程为y=x

C.存在点P,使得".尸8=0

D.直线A3过定点为（一于-彳）

三、填空题

5.（2022・四川成都•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线“x-y+2=。与圆C:/+y2一2彳-3=0交

于A,8两点，若钝角VABC的面积为右，则实数a的值是

6.（2024•全国,模拟预测）在平面直角坐标系中，P的坐标满足Qj+2）,reR,已知圆。:（％-3丫+y?=1,

过尸作圆C的两条切线，切点分别为A8,当NAP3最大时，圆C关于点P对称的圆的方程为

参考答案:

题号1234

答案AAABDABD

1.A

【分析】先求出直线/所过的定点*2,3）,数形结合得到当CP，/时，直线/被圆C截得的弦长最小，再由

垂径定理得到最小值.

【详角军】直线/:（根+3）%—（根+2）y+机=%（工一丁+1）+3尤一2,=。，

fx—y+1=0fx=2/、

令I」2y=0'解得「=3’所以直线/恒过定点尸（2,3），

圆C:（x-3）2+（y-4）2=9的圆心为C（3,4）,半径为r=3,

且|PC『=（2一3了+（3_4）2=2<9,即尸在圆内，

17

当CP，/时，圆心C到直线I的距离最大为d=\PC\=y[2,

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2护工7=2近・

2.A

【分析】先根据切线长度求出|0P|为定值，即。2+/=3,设2a-6一,两个方程联立，禾烟△对求

的取值范围.

【详解】由题意：|OP『=|OA「+|AP『,即4+匕2=3.

设2a-b=f,则b=2a-t,+b2=3）+（2a—Z）"=3=>5a2—4at+t2—3=0.

因为关于。的一元二次方程一定有解，

所以A=1）2-4*5*（『-3"0"415n-店4/4上.

故选：A.

3.ABD

【分析】求出圆心。到直线/距离的最大值，可求得N至！|/的最大距离，可判断A选项的正误；将圆心的坐

标代入直线/的方程，求出左的值，可判断B选项的正误；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线

的距离公式求出后的值，可判断C选项的正误；分析可知当直线/与圆。相切，求出。至心的距离的最大值，

18

可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由题意可知，直线/过定点P（3,4）,

圆。的圆心为原点。，半径为3,设圆心。到直线/的距离为d.

当时，d=\OP\=y/32+42=5,

当OP与直线/不垂直时，d<\OP\=5.

综上所述，d<\O^[=5,所以，点N至卜的最大距离为5+3=8,A对；

4

对于B选项，若/被圆。所截得的弦长最大，则直线/过圆心。，可得-3k=T,所以％=§,B对；

对于C选项，若/为圆。的切线，则g望=3,解得笈=三，C错；

VFTi24

对于D选项，若M也在圆。上，则直线/与圆。相切或相交，

当直线/与圆。相切时，。至M的距离取最大值3,D对.

故选：ABD.

4.ABD

【分析】确定当MP1/时，卢河|最小，即可求得1PAi的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，

求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点P,使得R4.尸2=0,求出此时

IMP|=2,和M到直线/的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点尸在直线/上运动,

求出A3所过定点，判断D.

【详解】由题意知，圆M:（x+l『+y2=2的半径为近,且l:x-y-3=0,

故附=yj\PMf-\MAf=yj\PMf-2,

即当1PMi最小时，|出|最短，当MP4时，|加|最小，

最小值为।旨L20,故1pAi的最小值为5（2应）2一2=痛,A正确;

19

当1pAi最短时，MP11,故MP的斜率为-1,

又故A3的斜率为1,设其方程为x-y+〃?=。，

由于此时|孥="，也刊=2近，故地=改也=学=",

112\MP\2五2

所以M到A3的距离为J(0)2-(日)=日.

则有J__与丝)=三，解得〃2=0或价=2,

V22

由于AB〃/,结合图形可知二者之间的距离应小于|MP|=2后，

当〃?=2时，无一y+2=0和/间的距离为与岂=述＞2日，

V22

m=0时，AB的方程为尤-V=。和/间的距离为学=述＜2及，

V22

故|PA|最短时，弦A3所在直线方程为丫=/B正确；

假设存在点P,使得尸A.尸8=0，则R4_LP3,

此时ABP为等腰直角三角形，则NAPM=45,结合M4_LX4,

则AM4P为等腰直角三角形，而|肱4|=应，故|MP|=2,

由于M到直线/的最短距离为2a＞2,故不存在点P,使得卓•尸2=0,C错误；

设4%,%),8(%,%)/(/，%),由于直线P4,P8分别与圆M相切，

故直线PA,PB的方程分另U为Ui+D(x+1)+=2,(马+l)(x+1)+y2y=2,

将P(x0,y0)代入，即(Xj+1)(尤0+1)+%%=2,(%+1)(尤0+1)+%%=2,

可得A3的方程为。+1)(%+1)+”0=2,

由于-3=。，即%=/一3,故(尤+1)(无o+l)+y(%-3)=2

1

fx+1+y=0x=——

即%(x+l+y)+(x-3y-l)=。，由于x()eR,故令(\2

[x-3y-l=01

产一5

即直线AB过定点为D正确，

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性

20

较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点

问题.

3_

5.—/—0.75

4

【分析】由钝角VABC的面积为求得sinNACB=¥，得至=q，进而求得圆心到直线的距离

为1,结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.

【详解】解：由圆C:Y+y2-2x-3=0,即(x-l『+y2=4,

可得圆心坐标为C(l,0),半径为厂=2,

因为钝角VABC的面积为相，可得S曲=gx2X2sinNACB=退，

解得sinNACB=,因为g<ZACB<",所以/AC8=—,

223

可得IA81=VAC2+BC2-2AC-BCcosZACB=273,

设圆心到直线的距离为d,又由圆的弦长公式，可得2犷9=26,解得4=1,

根据点到直线G-y+2=0的距离公式d=}^=l,解得0一;

y/a+14

3

故答案为：

4

6.(尤+2)~+(y-5y=1

【分析】求出点尸的轨迹，利用切线的性质探讨-4P3取最大的等价条件，由此求出点尸的坐标，再由对

称求出圆方程.

【详解】依题意，点尸的轨迹为直线/：y=