2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷1（新高考专用）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷01（新高考专用）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（2024•吉林长春•模拟预测）已知集合&=国y=log2（2-x）｝,B=｛y|y=2-2｝,则枷=（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+e）D.

2.（2023•江苏•三模）已知复数z满足z（l+i）=5+i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（23-24高一下•安徽滁州•阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四

象，四象生八卦，易经包含了深萎的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形

ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心，则瓦不说=（）

A.V2-1B.1C.72D.1+72

4.（23-24高二上•山东青岛•阶段练习）等比数列｛。.｝的各项均为正数，且%%+%%=18,则

log3ax+log3«,+■.■+log3=（）

A.12B.10C.5D.21og35

5.（2024•浙江嘉兴•二模）若正数x，y满足/-2孙+2=0,则*+＞的最小值是（）

A.屈B.—C.2A/2D.2

2

6.（2024・陕西西安・模拟预测）如图，在正四棱柱-AqGR中，AAi=3AB,则异面直线与AR所

成角的余弦值为（）

37

C.一D.——

510

22

7.（23-24高三上•四川成者B•期中）己知耳，工分别为双曲线=-3=l（a>0,6>0）的左、右焦点，过工与双

ab

曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点尸，若|3|=3|桃则双曲线的离心率为（）

A.3B.75C.GD.2

8.（2023•河北•模拟预测）设。=电立，b=二,。=叱，贝IJ（）

3e24兀

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（2024・福建厦门•一模）己知函数/（x）=2sin12x高，则（）

A./（x）的最小正周期为T

B./（x）的图象关于点成中心对称

7T

C./（X）在区间0,-上单调递增

D.若/（x）的图象关于直线x=x°对称，则sin2x°=g

10.（2024•广东佛山•模拟预测）若（1一1）6=〃0+%%+〃2必,贝!J（）

A.a0=1

B.%=20

C.2弓+4a2+8/+16%+32«5+64a6=0

D.K+%+4+闻=h+%+

IL（2024•河北保定•三模）已知抛物线CV=©的焦点为七过点尸的直线/与抛物线c交于A乃两点,0

为坐标原点，直线k过点A且与OA垂直，直线k过点B且与OB垂直，直线4与12相交于点。，则（）

A.设4B的中点为H,则轴

2

B.点。的轨迹为抛物线

C.点Q到直线/距离的最小值为26

D.AAB。的面积的取值范围为［8,+8）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）

12.（23-24高三下•广东广州•阶段练习）已知等比数列｛%,｝的前〃项和为S“，且5=27,S6=35,数列｛aj

的公比4=.

13.（2024•广东深圳•二模）已知圆锥的内切球半径为1,底面半径为&,则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

/、\y/x—2+a,x>2

14.（2024•北京海淀•三模）设函数“无）=［,_斗x<2且a*，给出下列四个结论：

①当。=2时，存在乙方程=r有唯一解；

②当。€（0,1）时，存在/,方程f（x）=r有三个解；

③对任意实数。（。>0且"1）,“X）的值域为［。,+8）；

④存在实数。，使得了（尤）在区间（a,+s）上单调递增；

其中所有正确结论的序号是.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2024•全国•模拟预测）记VABC的内角A,3,C所对边分别为a,b,c,已知

Z?（3cosC-l）=c（l-3cosB）.

⑴证明：b+c-3a；

（2）求cosA的最小值.

16.（15分）（2024•河南•一模）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用

户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某

机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP,得到如下

数据：

青年人中年人老年人

对短视频剪接成长视频的A叩有需求2a+45200a

对短视频剪接成长视频的APP无需求a+b1504b

3

其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.

⑴求。,方的值;

（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是

否有差异？

n(ad-bc)2

参考公式：Z其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)，

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.（15分）（2024•全国•一模）如图，棱柱ABCD-ABCQ的所有棱长都等于2,ZABC=ZA,AC=6Q0,

平面AA|C]C±平面ABCD.

⑴求平面DAA,与平面CA4所成角的余弦值；

⑵在棱CG所在直线上是否存在点P,使得8尸//平面。4G.若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理

由.

22

18.（17分）（2024•四川乐山三模）已知椭圆E9+4=1（八6>0）的左、右焦点分别为公，工,AC分别是

椭圆E的上下顶点，分别是椭圆E的左右顶点，点尸上亨J在椭圆E上，且AP月外的面积为g.

⑴求椭圆E的方程；

（2）点。是椭圆E上的动点（不与A5c。重合），/是E在点A处的切线，直线交。。于点“，直线C。

交/于点N,求证：直线的斜率为定值.

19.（17分）（23-24高三上•北京海淀•阶段练习）已知函数"x）=eE-x-1

⑴当4=1时，求函数的极值；

（2）求函数〃尤）的单调区间；

⑶若对任意的实数人,6,函数y=/（x）+6+6与直线>=履+方总相切，则称函数为"恒切函数当。=1

4

x1

时，若函数g（x）=Je/（x）+m是“恒切函数〃，求证：-三〈机W0.

28

参考答案:

题号12345678910

答案ADDBABCBBCACD

题号11

答案BD

1.A

【分析】先化简集合A,B,再利用集合的交集运算求解.

x

【详解】解：因为集合A={dy=log2（2-x）}={x|x<2\,B=\y\y=2^=[y\y>0},

所以4「3=（0,2）,

故选：A

2.D

【分析】利用复数除法求出z,即可判断.

【详解】因为2=四=包儿二D=H=3一2i,

1+i22

所以点（3,-2）位于第四象限.

故选：D.

3.D

【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.

【详解】在正八边形ABCDEFG"中，连接"C,则"C//AB,

而NABC=135。，即N3CW=45。，于是NHCD=90。，

在等腰梯形AKC//中，C//=l+2xlxcos45;=1+A/2.

所以福•丽=ix|而|cos/aro=i^i=i+JL

5

【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.

【详解】因为｛&J是各项均为正数的等比数列，44+%。7=18,

所以生。6+。4。7=2。5。6=18,即。5&=9,贝4弓。==…=。5〃6=9

记s=log3ax+log3%+,••+log3Go，则S=log3%o+log3%+…+log3ax,

两式相加得2s=logs(o1al0)+log3(a2o9)+---+log3)=10xlog39=20,

所以S=10,BPlog3at+log3a2+•­•+log3al0=10.

故选：B.

5.A

x1

【分析】根据题意可得y=：+±,利用基本不等式求解.

2x

【详解】由尤2-2xy+2=0可得>=：Y+—1,

2x

x13x1l3x1FT

..x-\-y=x-\1—=1-22J----=,

2x2xV2x

当且仅当当=工，即彳=逅时，等号成立，此时y=9>0符合题意.

2x33

所以无+y的最小值为几.

故选：A.

6.B

【分析】平行移动AQ与A8相交构成三角形，指明NABG或其补角就是异面直线AB与AQ所成的角，在

三角形中由余弦定理解出即可.

如图连接,因为A3CD-A耳G2为正四棱柱，

所以AB//C.D,且AB=G2,所以四边形ABQD,为平行四边形，

所以BG//AR,则ZA.BQ或其补角就是异面直线\B与AD,所成的角,

设AB=1,则43=厢，BG=M,AG=也，

6

由,余人弦、4定,理E/得口：IcosZ/4ABnC-jI=10、+1g0—2=—9

2x1010

故选：B.

7.C

b

【分析】设过F?与双曲线的一条渐近线y=±尤平行的直线交双曲线于点尸，运用双曲线的定义和条件可得

a

l^l=3«,\PF2\=a,\FtF2\=2c,再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值.

【详解】设过F?与双曲线的一条渐近线y=2bx平行的直线交双曲线于点尸，

a

由双曲线的定义可得IP耳ITPg1=2。，

由|防|=3|至|，可得1P用=3。，|尸工|=。，|FrF21=2c,

b,cosZF.FP=,=—

由tanN耳片尸=—可得-?f庐c,

a卜/

在三角形尸耳工中，由余弦定理可得：

2

I尸耳2=|PF2|+1/777|2-2|%I百巴IcosN耳鸟］,

22

即有9a=合+公2—2〃x2cx@,化简可得i=«,

c3

所以双曲线的离心率e=£=百.

a

故选：C.

8.B

InX

【分析】根据所给数的结构特征，设函数/5)=与，(尤>0),利用导数判断其单调性，利用单调性比较大

x

小，可得答案.

【详解】设函数/(©=与，(尤>0),则:(尤)=上二空,@>0),

XX

当0<x<加'时，f'M>0,当尤A加时,广(无)<0,

故“X)在(0,6)单调递增，在(金,+00)上单调递减，

„lnV3In否/-Ine，/、Inn2In五厂、

Xa=——=—^=f(^),b=F=/(e),c=——=~^=f^n),

3行e4兀而

因为正<有<五<e,故/(百)>/(6)>/(e),即a>c>b,

故选：B

【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导

数判断单调性，进而比较大小.

7

9.BC

【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.

【详解】由"x)=2sin(2xq],最小正周期T=g=兀，A错;

由/(7)=2sin(2xy-])=0,即(可,。)是对称中心，B对；

由xe0q，则%-乂-三中，显然了⑴在区间04上单调递增，C对；

jr71SirI

由题意2%---=kji-i—=>2x=kji-i---,故sin2%o=±—,D错.

32062

故选：BC

10.ACD

623456

【分析】将％=0,x=2,x=±lA(x-1)=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6xACD,利用二项式

展开式的通项公式判断B即可.

【详解】将l=0代入(％-1)6=%+4%+%/+//+%%6得(0-1)6=%,解得%=1,A正确；

由二项式定理可知(AI),展开式的通项为Tr+i=C"6f(-1)-,

令6—r=3得r=3,所以g=C：(—1)=—20,B错误；

23456

将x=2代入(x—I)，=%+%%+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x得

(2—1)=%+2q+4a2+8q+16g+32a,+64%，

即2q+4〃2+8色+164+32%+644=0,CTF*；

将X=1代入(X—1)6=%+4%+。2%2+%%3+&/+%X5+以%6得。一])二/+“+4+生+g+%+%，

即4+卬+%+%+“4+〃5+〃6=。(X)，

将广一1代入(兄-1)6=/+4%+%%2+。3%3+。4%4+。5%5+〃6%6得(一1一球二4-4+%/+=一。5+。6，

即%—%+%—〃3+〃4—〃5+〃6=64(^2),

①+②得2(%+/+4+々6)=钿，所以/+%+%+。6=32,

①)-②得2(q+%+%)=—64,所以％+/+%=—32,

所以|%+%+〃4+4|=|%+%+。5|，D正确；

故选：ACD

11.BD

8

【分析】通过设/：x=my+l,设4/,2°）,8（62,26）,然后联立方程后结合韦达定理得到°+"血然后求出直

线4与4,进而求出。点坐标,然后可以判断A,B选项，然后通过参数机表示点。到直线/的距离和AABQ的面

积，进而可以判断.

【详解】易知尸。,0),设/：尤=町+1,设A(a2,2a),B(Z?2,2b),

[x=my+1,c

将/与抛物线C的方程联立，则，-'可得y2_4my-4=0,

[y=4x,

所以2。+28=4/九，2a-2b=即a+b=2m,ab--l,

所以yH=^^^=2加，因为坛4=工,所以直线40：了=_20_2。)+/,有无=_2,+°2+4,

2aaa

292

同理可知，直线BQ：%=-7丁+/+4,所以—y+a2=-—y+b2,

baQbQ

所以(2-务°=/-此所以改几=(a+6)(〃-6),所以人=学=〃-划抑A错误；

abab2

又无0=—2根+。？+4=+a2+4=ab+a2+b2+4=(a+b)2-ab+4=4m2+5,

aa2

所以Q的轨迹方程为尢=4丁+5,即B正确；

匚q』lm2-(4m2+5)+113m2+4_~~1

。到/的距禺d=-----/-----=/=3〃+l+-y==,

Vm+1y/m+1+1

因为所以〃=3府工+册一力,即C错误；

因为IA5|=Q2+b2+2=(a+b)2-2ab+2=4m2+4=4(m2+1),

2222

所以S^ABQ=—•4(m+1)-(3A/m+1+.)=2^m+l(3m+4)^2x4=8zgpD正确.

2，加+1

故选:BD.

【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.

【详解】由题意可知：4工1,

根据等比数列的前"项公式可得：S3="（i）=27①,$6="'（j）=35②,

31-q6i_q

359

联立①②可得1+八||,解得q

故答案为：|

13.8兀

【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.

【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

9

s

AB

设圆锥高为/2,母线长为/,

则在三角形">田中有膏+产=产,即〃2+2=/①，

又由△SOOySOd得幺=与4,即/=应(/?一1)②,

rI

所以由①②得/=3后,/?=4,

所以圆锥的表面积为S=S底+5=兀厂2+兀〃=2兀+6兀=8兀.

故答案为：8兀.

14.①②④

【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.

由|2-2|=0nx=l；72^2+2=2,怛-2|=2,结合图象:

当XG(YO,1]时,函数单调递减，且/(x)e[0,2)；

当xe[l,+8),函数单调递增，/(x)e[0,+oo).

所以当此2时，方程=f有唯一解.故①正确;

由，一2卜0nx=loga2<0；由图象可知,

10

当x«y』og〃2］时，函数单调递减，〃x)e［0,+8)；

当xe(log02,2)时，函数单调递增，/(x)e(0,2-a2)；

当xe［2,y)时，函数单调递增，/(x)G(a,+oo).

因为2——a=—(a+2)(a—1),因为0<a<l,所以—(a+2)(a—1)>0,即2—a?〉。.

所以，当a<f<2-/时，方程〃x)=f有三个解.故②正确;

如图:

由.工一4=0n尤=log”2,再由logfl2>2n]<q<0,

此时〃x)在(-匕2)上单调递减，在［2,y)上单调递增，且0<2-4<°,

所以此时函数的值域不是［0,+8).故③错误；

由①可得，当。=2时，函数/'(X)在(2,+8)上单调递增.

即：存在实数。，使得了(无)在区间(4,+8)上单调递增.故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答.

15.⑴证明见解析

【分析】(1)将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；

(2)利用第一问的结果代入cosA的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.

【详解】(1)已知可3cosc—I)=c(l—3cos3),

由正弦定理得：sinB(3cosC-1)=sinC(1-3cos3),

整理得：sinC—3cosBsinC=3sinBcosC-sinB,

sinB+sinC=3(cosBsinC+sinBcosC)=3sin(B+C).....①

11

因为A=7T-(5+C)=>sinA=sin(兀一(5+。))=sin(5+C)②

②代入①有：sinB+sinC=3sinA,

再由正弦定理得b+c=3a.

(2)由余弦定理得：

“b2+c2-a29b2+9c2-(b+cYS(b2+c2\-2bc8x26c-26c7

2bc18bc18bc18bc9

7

当且仅当匕=c时，等号成立，所以cosA的最小值为

16.⑴。=6=50

(2)有差异

【分析】（1）根据题意列式求解即可；

（2）根据题意可得2x2列联表，计算并与临界值对比分析.

](2a+46)+(a+外=400

【详解】（1）由题意可得:1+46=250解得a=b=5Q.

（2）零假设为"。：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异.

由已知得,如下2x2列联表:

青年人中老年人合计

对短视频剪接成长视频的APP有需求300250550

对短视频剪接成长视频的APP无需求100350450

合计4006001000

可得2_1000x(300x350-100x250)2

n寸力—400x600x450x550»107.744>10.828,

根据小概率值0=0.001的独立性检验，我们推断名不成立,

所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异.

17.

⑵存在，点尸在GC的延长线，且CP=GC.

【分析】（1）取AC中点。，先证4。，平面ABCD.再以。为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方

12

法求二面角所成的余弦.

(2)根据P在线段CG上，设屈=2京，再由丽和平面DAG的法向量，求彳，即可得解.

取AC中点。，连接A。，AC,BD.

因为各棱长均为2,且ZAZ?C=60。，所以AABC是等边三角形.

所以AC=2.

又因为A4,=2,NAAC=60。，所以惧AC是等边三角形.

所以419_LAC,又平面A41GC_L平面ABCD,平面441GCf)平面=AC,

A。u平面A41cC，

所以AQ_L平面ABCD.

由AC工BD,所以可以以。为原点，建立如图空间直角坐标系.

那么：D(-73,0,0),4(0-1,0),4(0,0,73),C(0,l,0).

设平面D4A]的法向量为质=(x,y,z),则

m-IDA=o(x,y,z)•(石i,o)=oV^x-〉=o

m-DA=0(x,y,z)«6,0,3)=0［百x+百y=0

因为03，平面CA4,,可取平面CAA的法向量力=(1,0,0).

西m-n娱\[3等x[5即为平面叱与平面CM所求角的余弦值.

则cosm,n=

(2)因为G(0,2，⑹，5(>/3,0,0)

设网看,如4),因为P在C。上，可设屈=4工\

则(%，%-1，4)=2(。,1,石),

可得尸(0,1+九网.

13

设平面。4G的法向量为了=（々,%，22），

fs-DA^=O（无2，%/2）•（后。，6）=。Jx2+z2=0

人［•西=0=仇,%/2）・（必,2,不）=0=］氐2+2%+白22=0'

由s-RP=0=（1,0,—1）-^—^3,1+2,^/32j=0=>—^/3—^/32=0=>2=—1.

所以存在点P,使得3尸//平面DAC，此时点尸在CC的延长线，且CP=CC.

18.（吟+9=1

（2）证明见解析

【分析】（1）根据条件求。/，c的值，确定椭圆的标准方程.

（2）因为直线。。的斜率不为0,可设直线。。方程为：x=沙+2,与直线A3方程联立可得M点坐标,

与椭圆方程联立，可得。点坐标，进一步写出直线CQ的方程，令y=l得N点坐标，列出直线的斜率,

化简即可.

【详解】（1）S.PFF=—x2cxc=^/3.

△年222

•••点「‘孝］在椭圆E上，

33

,1,4解得片=4或。一=了（舍）

一二+22=14

aa-3

a-b"=3,:.b2=1.椭圆E的方程为J+『=1.

易知直线。。斜率不为0,设直线。。方程为了=0+2,。（毛,％）

直线方程为：x—2y+2=0,

x—2y+2=021+441

联立得M

x=ty+2

14

由,得卜2+4);/+4"=0,

x=ty+2

-2r+8

•••D(2,O),:.yo=-^—^,xo="o+2=0+4•

2-t

直线CQ的斜率为:k

%CQ2。+2)

・・・直线CQ方程为：》二而5元一1.

令y=i,得N|等『』)

「1

•k=___2^11______=_2+'_=_J_

■,MN~2/+44(Z+2)--2(z+2)-2*

2—t2—t

所以直线MN的斜率为定值.

19.⑴“X)有极小值"0)=0,无极大值.

(2)答案见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)利用极值的定义求解即可；

(2)分类讨论求〃x)的单调区间即可；