2023-2024学年湖南省邵阳市绥宁一中八年级（上）竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年湖南省邵阳市绥宁一中八年级（上）竞赛数学试卷一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（4分）若＝1.442，＝0.6694等于（）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.5522．（4分）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（4分）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数是（）A．20°或55° B．20°或160° C．20°、20°或55°、125° D．20°、125°或20°、70°4．（4分）已知二元一次方程组的解为，请问方程组（）A． B． C． D．5．（4分）若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定6．（4分）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，交换之后的土地的长应该是（）米．A．a+c B．b+c C．a+b D．a+b+c7．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，CD＝7（）A．3 B．11 C．15 D．98．（4分）分式方程无解，则a的值是（）A．3或2 B．﹣2或3 C．﹣3或3 D．﹣2或29．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°10．（4分）如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）某班体育委员统计了全班同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，则该班同学的平均锻炼时间为．12．（4分）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y），c＝2020（x+y）+20212+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝．13．（4分）定义新运算：a⊕b＝a（a﹣b）．例如：3⊕2＝3×（3﹣2）＝3（﹣1﹣4）＝5．若M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，则M，N的大小关系为MN．14．（4分）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠D的大小为．15．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点△ABC＝16，BD＝4，则EF长为．16．（4分）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些分式方程，它们都有一个共同的特点：若，则方程的解为2或；若，则方程的解为3或；若，则方程的解为4或；请你用观察出的特点解决以下问题：（1）若，则此方程的解为；（2）若，则此方程的解为（用含有a的代数式表示）．三、解答题（本小题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．18．（12分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．19．（12分）已知关于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值．20．（12分）某学校响应政策号召，开设了“1小时体育锻炼”活动，学生参加体育运用的热情高涨，现有的足球和篮球不够用了．为解决这一问题，学校准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买10个足球和30个篮球共需4400元．（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元；（2）学校准备购买足球和篮球共50个，且篮球数量不少于足球数量的，预算经费不超过4600元，并说明理由．21．（12分）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1，当D，B，C在同一直线时；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．

2023-2024学年湖南省邵阳市绥宁一中八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CACBBABABA一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（4分）若＝1.442，＝0.6694等于（）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552【解答】解：∵＝0.6694，∴＝4，故选：C．2．（4分）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【解答】解：∵x2+x＝1，∴x6+2x3﹣x7﹣2x+2020＝x4+x4+x3﹣x2﹣5x+2020＝x2（x2+x）+x6﹣x2﹣2x+2020＝x8+x3﹣x2﹣7x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣7x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x6﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．3．（4分）若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数是（）A．20°或55° B．20°或160° C．20°、20°或55°、125° D．20°、125°或20°、70°【解答】解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角大小相等或互补，①这两个角大小相等，如图所示，由题意得，∠B＝∠E，∴∠B＝∠E＝20°，②这两个角互补，如图所示，由题意得，∠B+∠E＝180°，∴∠B＝55°，∠E＝125°，综上所述，这两个角的度数为20°，125°，故选：C．4．（4分）已知二元一次方程组的解为，请问方程组（）A． B． C． D．【解答】解：方程组变形为，∵二元一次方程组的解为，∴，解得．故选：B．5．（4分）若a＝（﹣1）（+1）+|1﹣|，b＝（+）2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定【解答】解：∵a＝（﹣1）（|＝3﹣5+﹣1＝8+，b＝（+）2﹣＝5+3﹣2＝5，又∵1+＜5，∴a＜b，故选：B．6．（4分）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，交换之后的土地的长应该是（）米．A．a+c B．b+c C．a+b D．a+b+c【解答】解：∵原来4块地的总面积＝a2+bc+ac+ab，∴将这8块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）平方米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长＝（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）＝（a7+ac+bc+ab）÷（a+b）＝[a（a+c）+b（a+c）]÷（a+b）＝（a+b）（a+c）÷（a+b）＝a+c．故选：A．7．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，CD＝7（）A．3 B．11 C．15 D．9【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，又∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝5∠ADB，∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．故选：B．8．（4分）分式方程无解，则a的值是（）A．3或2 B．﹣2或3 C．﹣3或3 D．﹣2或2【解答】解：分式方程化为整式方程得，即（a﹣2）x＝3，由于原分式方程无解，所以a﹣2＝0，解得a＝4，如果分式方程有增根x＝1，当x＝1时，a﹣6＝1，解得a＝3，综上所述，a＝8或a＝3，故选：A．9．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°【解答】解：方法一：如图1，在BC上取CD＝AC、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI与△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI+AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD+∠BID＝2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝8∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝8∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°；方法二：如图6，延长CA到D，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI+AC，∴BC＝CD，在△BCI与△DCI中，，∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI分别是∠BAC，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D+∠AID＝2∠D，∠BAC＝8∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°．故选：B．10．（4分）如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④【解答】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a3﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；图②，阴影部分面积相等2﹣b8，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；图③，阴影部分面积相等4﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；图④，阴影部分面积相等2﹣b5，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．∴正确的有①②③④．故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）某班体育委员统计了全班同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，则该班同学的平均锻炼时间为9小时．【解答】解：由折线统计图可得，全班人数为5+5+19+7+4＝40（人），所以该班同学平均锻炼时间为：（小时），故答案为：9小时．12．（4分）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y），c＝2020（x+y）+20212+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3．【解答】解：∵a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1，b﹣c＝2020﹣2021＝﹣1，∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a6+2b2+4c2﹣2ab﹣7ac﹣2bc）＝（a2﹣2ab+b6+a2'﹣2ac+c5+b2﹣2bc+c3）＝[（a﹣b）4+（a﹣c）2+（b﹣c）2]∴a3+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝[（﹣1）4+（﹣2）2+（﹣5）2]＝3．13．（4分）定义新运算：a⊕b＝a（a﹣b）．例如：3⊕2＝3×（3﹣2）＝3（﹣1﹣4）＝5．若M＝ab⊕b，N＝b⊕ab，则M，N的大小关系为M≥N．【解答】解：M﹣N＝ab⊕b﹣b⊕ab＝ab（ab﹣b）﹣b（b﹣ab），＝a2b2﹣ab7﹣b2+ab2＝a6b2﹣b2，∵a＞5，∴原式＝b2（a2﹣3）≥0，即M﹣N≥0，∴M≥N．故答案为：≥．14．（4分）如图，在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，则∠D的大小为110°．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠CBD＝∠ABC∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝110°．故答案为：110°．15．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E为线段AD的中点△ABC＝16，BD＝4，则EF长为2．【解答】解：连接BE，∵线段AD是△ABC的中线，∴，∵S△ABC＝16，∴S△ABD＝4，∵E为线段AD的中点，∴线段BE是△ABD的中线，∴S，∴EF＝4，故答案为：2．16．（4分）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些分式方程，它们都有一个共同的特点：若，则方程的解为2或；若，则方程的解为3或；若，则方程的解为4或；请你用观察出的特点解决以下问题：（1）若，则此方程的解为x＝9或；（2）若，则此方程的解为或（用含有a的代数式表示）．【解答】解：（1）原方程变形得：，即，令t＝x+1，则，那么方程的解为10或，则x+1＝10或，解得：x＝9或，经检验，x＝9或，故答案为：x＝3或；（2）原方程变形得：，则，即，令s＝5x﹣2，那么，则方程的解为a或，即3x﹣2＝a或，解得：或，故答案为：或．三、解答题（本小题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．【解答】解：原式＝．故答案为﹣．18．（12分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）7＝（x﹣y+1）2；（2）令A＝x5﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+2）2，故（x2﹣7x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+4）2＝（x﹣3）7．（3）（n+1）（n+2）（n6+3n）+1＝（n3+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+6n）（n2+3n+8）+1＝（n2+7n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）3，∵n为正整数，∴n2+3n+7也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n7+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．19．（12分）已知关于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值．【解答】解：（1）把m＝4代入方程得：﹣＝，方程两边都乘以（x﹣5）（x+2）得：2（x+6）﹣4x＝x﹣1，解方程得：x＝，检验：当x＝时，（x﹣1）（x+2）≠6，所以x＝是原方程的解，即原方程的解是x＝；（2），方程两边都乘以（x﹣1）（x+6）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣8①，整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，有三种情况：第一种情况：当x﹣2＝0时，方程无解，把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，解得：m＝7；第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣6，解得：m＝﹣；第三种情况：∵（7﹣m）x＝﹣5②，∴当1﹣m＝4时，方程无解，即此时m＝1；所以m＝6或﹣或1．20．（12分）某学校响应政策号召，开设了“1小时体育锻炼”活动，学生参加体育运用的热情高涨，现有的足球和篮球不够用了．为解决这一问题，学校准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买10个足球和30个篮球共需4400元．（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元；（2）学校准备购买足球和篮球共50个，且篮球数量不少于足球数量的，预算经费不超过4600元，并说明理由．【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，一